模型13 半角模型（原卷版）

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： BD2+E2=DE2 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D 图示（1） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转90° （2）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 的延长线上，∠EF=45°，连接EF， 则：EF=DF-BE 图示（2） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形BD 中，B=D， BD+ =180° ∠ ∠ ，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF= BD ∠ ，连接EF，则：EF=BE+DF 图示（3） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转∠BD 的大小 【专题说明】 半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用， 掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。 【知识总结】 过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称 为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角 形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形 全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 一、半角模型特征 1、共端点的等线段； 2、共顶点的倍半角； 二、半角模型辅助线的作法 1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转 角； 2、旋转的条件：具有公共端点的等线段； 3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 【例1】．如图，正方形BD 的边长为4，点E，F 分别在B，D 上，若E＝5，且∠EF＝ 45°，则F 的长为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图四边形BD 中，D∥B，∠BD＝90°，B＝B+D，∠D＝45°，E 为D 上一点， 且∠BE＝45°．若D＝4，则△BE 的面积为（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】．如图，△B 是边长为5 的等边三角形，△BD 是等腰三角形，且∠BD＝120°， 以点D 为顶点作一个60°的角，使其两边分别交B、于点M、，则△M 的周长为 ． 例题精讲 【变式1-3】．如图，在正方形BD 中，点是对角线BD 的中点，点P 在线段D 上，连接P 并延长交D 于点E，过点P 作PF⊥P 交B 于点F，连接F、EF，F 交BD 于G，现有以 下结论： ①P＝PF； ②BG2+DP2＝GP2； ③PB﹣PD＝ BF； ④S 四边形PEFG＝S△PG． 以上结论正确的有 （填入正确的序号即可）． 【例2】．如图，△EF 中∠EF＝45°，G⊥EF 于G，且GF＝2，GE＝3，求S△EF． 变式训练 【变式2-1】．如图，等边△B 中，D、E 为B 边上的点，BD＝2E，∠DE＝30°，DE＝3，E 的长为 ． 【变式2-2】．如图，在梯形BD 中，D∥B（B＞D），∠D＝90°，B＝D＝12，∠BE＝45°， 若E＝10．求E 的长度． 【变式2-3】．如图①，在△B 中，∠B＝90°，B＝，点D 和点E 均在边B 上，且∠DE＝ 45°． （1）如图②，把△BD 绕点顺时针旋转90°至△G，可使B 与重合，连接EG， 求证：△DE≌△GE； （2）试猜想BD、DE、E 应满足的数量关系，并写出推理过程． 1．如图，已知等边三角形△B 边长为，等腰三角形△BD 中∠BD＝120°，∠MD＝60°，角的 两边分别交B，于点M，，连接M，则△M 的周长为（ ） 实战演练 ． B．2 ．3 D．4 2．如图，菱形BD 的边B＝20，面积为320，∠BD＜90°，⊙与边B，D 都相切，＝10，则⊙ 的半径长等于（ ） ．5 B．6 ．2 D．3 3．如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝6，点E、F 分别在B、D 上，若E＝ ，∠EF＝45°， 则F 的长为 ． 4．P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E，交P、PB 于、D，若⊙的半径为r，△PD 的周长 等于3r，则t∠PB 的值是 ． 5．如图，在正方形BD 中，点M，在B，D 上运动，且∠M＝45°，在M 上截取一点G，满 足BM＝GM，连接G，取M，的中点F，E，连接GF，GE，令M，交BD 于，两点，若 B＝4，当GF+GE 的取值最小时，则的长度为 ． 6．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，G 分割成四个小矩形，P 是EF 与G 的交点， 若矩形PF 的面积恰是矩形GPE 面积的2 倍，试确定∠F 的大小并证明你的结论． 7．如图，正方形BD 的边长为1，点M、分别在B、D 上，且△M 的周长为2，求△M 的面 积的最小值． 8．如图，E 是正方形BD 中D 边上一点，以点为中心把△DE 顺时针旋转90°． （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后E 点的对应点记为M，点F 在B 上，且∠EF＝45°，连接EF． ①求证：△MF≌△EF； ②若正方形的边长为6， ，求EF． 9．如图，边长为1 的正方形BD 中，点E、F 分别在边D、D 上，连接BE、BF、EF，且有 F+E＝EF． （1）求（F+1）（E+1）的值； （2）探究∠EBF 的度数是否为定值，并说明理由． 10．在正方形BD 中，连接BD． （1）如图1，E⊥BD 于E，直接写出∠BE 的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，将△EB 以旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到 △B1E1，B1与BD 交于M，E1的延长线与BD 交于．求证：BM2+D2＝M2．（提示，将△D 绕点顺时针旋转90°，得到△FB，并连接FM．） （3）如图3，E、F 是边B、D 上的点，△EF 周长是正方形BD 周长的一半，E、F 分别 与BD 交于M、，写出线段BM、D、M 之间的数量关系，并证明． 声明：试题解析著初中数学；邮箱：lsys @xym；学号：30145887 11．如图，四边形B 为正方形，若点坐标为（0，5）． （1）如图1，直接写出点B 的坐标 ； （2）如图1，点D 为线段上一点，连接BD，若点到BD 的距离为1，求点到BD 的距离； （3）如图2，若D 为x 轴上一点，且D＝2，M 为y 轴正半轴上一点，且∠DBM＝45°， 直接写出点M 的坐标 ． 12．（1）【探索发现】 如图1，正方形BD 中，点M、分别是边B、D 上的点，∠M＝45°，若将△D 绕点顺时针 旋转90°到△BG 位置，可得△M≌△MG，若△M 的周长为6，则正方形BD 的边长为 ． （2）【类比延伸】 如图（2），四边形BD 中，B＝D，∠BD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、分别在边B、 D 上的点，∠M＝60°，请判断线段BM，D，M 之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3，四边形BD 中，B＝D＝10，∠D＝120°，点M，分别在边B，D 上，连接M， M，△BM 是等边三角形，M⊥D，D＝5（ ﹣1），请直接写出M 的长． 13．请阅读下列材料： 问题：正方形BD 中，M，分别是直线B、D 上的动点，∠M＝45°，当∠M 交边B、D 于 点M、（如图①）时，线段BM、D 和M 之间有怎样的数量关系？ 小聪同学的思路是：延长B 至E 使BE＝D，并连接E，构造全等三角形经过推理使问题 得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中，线段BM，D 和M 之间的数量关系； （2）当∠M 分别交边B，D 的延长线于点M/时（如图②），线段BM，D 和M 之间的 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）在图①中，若正方形的边长为16m，D＝4m，请利用（1）中的结论，试求M 的 长． 14．问题背景： 如图1，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝120°，∠B＝∠D＝90°，E，F 分别是B，D 上的 点，且∠EF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题 的方法是：延长FD 到点G，使DG＝BE ，连接G，先证明△BE≌△DG，再证明 △EF≌△GF，可得出结论，他的结论应是 ． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化BD，四周修有步行小径，且B＝D，∠B+∠D ＝180°，在小径B，D 上各修一凉亭E，F，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达 经测量得到∠EF＝ ∠BD，BE＝10 米，DF＝15 米，试求两凉亭之间的距离EF． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点，抛物线 经过、两点，与x 轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 为直线上方抛物线上一动点， ①连接B、D，设直线BD 交线段于点E，求 的最大值； ②过点D 作DF⊥，垂足为点F，连接D，是否存在点D，使得△DF 中的∠DF＝2∠B， 若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．