专题12 平行线的证明压轴题的三种考法（原卷版）

专题12 平行线的证明压轴题的三种考法 类型一、三角形折叠问题 例1．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．在三角形纸片中，点D，E 分别 在边 上，将 沿 折叠，点落在点 的位置． (1)如图1，当点落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系是 ； (2)如图2，当点落在 内部时，且 ， ，求 的度数； (3)如图3，当点落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y 之间的数量关系． 例2．在 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，P 是边 上的动点（不与 重合），连接 ，将 沿 翻折得 ，记 ． (1)如图1，点 与点 重合时，用含 的式子表示 ； (2)当点 与点 不重合时， ①如图2，若 平分 交 于点 ，猜想 之间存在的等 量关系，并说明你的理由； ②若 ，请直接写出 的大小（用含 的式子表示）． 【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片 折叠，使个顶点重合于点 ．这时， __________ ； （2）如果三角形纸片 折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图 ，那么(1)中的结 论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系______ _； （4）折叠后如图 ，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系：_______； 【变式训练2】（1）如图，把 沿 折叠，使点 落在点 处，试探究 、 与 的关系； （2）如图2，若 ， ，作 的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，求 的度数； （3）如图3，若点 落在 内部，作 ， 的平分线交于点 ，此时 ， ， 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 【变式训练3】有一张正方形纸片BD，点E 是边B 上一定点，在边D 上取点F，沿着EF 折叠，点落在点′处，在边B 上取一点G，沿EG 折叠，点B 落在点B′处． (1)如图1，当点B 落在直线′E 上时，猜想两折痕的夹角∠FEG 的度数并说明理由． (2)当∠′EB = ′ ∠B′EB 时，设∠′EB = ′ x． ①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG 的度数；若不可能，请说明理 由． 类型二、三角形内角和定理与外角和定理 例．在 中， ， 平分 ，点F 为射线 上一点（不与点E 重合）， 且 于点D． (1)如图1，如果点F 在线段 上，且 ， ，则 ______． (2)如果点F 在 的外部，分别作出 和 的角平分线，交于点K，请在图2 中补全图形，探究 、 、 三者之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若点 与点 重合， 、 分别平分 和 的外角 ，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ， 交 的延长线于点 ，若 ，且 ，求 的度数． 【变式训练1】如图1， 是 中 边上的高，点D 是 上一点，连接 交 于 点F， ． (1)求证： ； (2)若 ，求证： ； (3)如图2，在（2）的条件下，延长 至点G，连接 ， ，若 ， ，求线段 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定） 【变式训练2】综合与探究： (1)如图1， ， 分别是 的两个内角 ， 的平分线，说明 的理由． 【深入探究】 (2)①如图2， ， 分别是 的两个外角 ， 的平分线， 与 之 间的等量关系是 ； ②如图3， ， 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， ， 交于点 ，探究 与 之间的等量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在 中， ， 分别平分 ， ， ， ， 分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分别平分 ， ．若 ，则 的度数是 ． 类型三、平行线性质与判定 例．如图①，已知 ，一条直线分别交 、 于点E、F， ， ，点Q 在 上，连接 ． (1)已知 ，求 的度数； (2)求证： 平分 ． (3)在（1）的条件下，若 ，将 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边 转至线段 上时停止转动，记旋转角为 ，请求出当 为多少度时， 与 某一边平行？ (4)在（3）的条件下，直接写出 与 之间的关系． 【变式训练1】如图， ，点P 在直线 上，作 ，交 于点M，点 F 是直线 上的一个动点，连接 ， 于点E， 平分 ． (1)若点F 在点E 左侧且 ，求 的度数； (2)当点 在线段 （不与点M，E 重合）上时，设 ，直接写出 的度数 （用含 的代数式表示）； (3)将射线 从（1）中的位置开始以每秒 的速度绕点P 逆时针旋转至 的位置，转 动的时间为t 秒，求当t 为何值时， 为直角三角形． 【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知 ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形 中， ，点E 是线段 上一点． ， ，求 的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形 中， ，点E 是线段 上一点，若 平分 ， ． ①试求出 的度数； ②已知 ， ，点G 是直线 上的一个动点，连接 并延长． 21 若 恰好平分 ，当 与四边形 中一边所在直线垂直时， _______ _； 22 如图4，若 是 的平分线，与 的延长线交于点F，与 交于点P，且 ，则 ________ （用含 的代数式表示）． 课后训练 1．如图，长方形纸片 ，点 ， 分别在 ， 边上，将纸片沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，然后再次折叠纸片使点 与点 重合，点 落在点 ，折痕为 ，若 ，则 度． 2．如图， 中沿 将四边形 翻折，使点 、点 分别落在点 和点 处，再 将 沿 翻折，使点 落在点 处，若 ， ，则 的度数为 ． 3．在 中， ，点D 是 下方一点，连接 ， ，过点D 作 ， 连接 ，分别过点B、D 作直线 、 ，使得 ， 平分 ， 平分 ，则 ． 4．（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边 形 外点 的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3 的形 状，若 ， ，求 的度数； （4）在图3 中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系， 当点 在 边上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其 它条件不变），上述 ， 的位置关系改变吗？为什么？ 5．如图1 至图2，在 中， ，点 在边 所在直线上，作 垂直于直线 ，垂足为点 ； 为 的角平分线， 的平分线交直线 于点 ． (1)如图1，延长 交 于点 ，若 ， ． ① ________； ②求证： ； (2)如图2，当 ， 与 反向延长线交于点 ，用含 的代数式表示 ；