模型19 费马点最值模型（原卷版）(1)

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° （1）如图1，当B＝＝2，求B 的值； （2）如图2，当B＝，点P 是△B 内一点，且P＝2，PB＝ ，P＝3，求∠P 的度数； （3）如图3，当＝4，B＝ （B＞），点P 是△B 内一动点，则P+PB+P 的最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】如图， 是边长为1 的等边 内的任意一点，求 的取 值范围 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 △B 的费马点（Fermtpt）．已经证明：在三个内角均小于120°的△B 中，当∠PB＝∠P＝ ∠BP＝120°时，P 就是△B 的费马点．若点P 是腰长为 的等腰直角三角形DEF 的费马 点，则PD+PE+PF＝ ． 例题精讲 【变式1-3】．如图，P 为正方形BD 对角线BD 上一动点，若B＝2，则P+BP+P 的最小值 为______ 【例2】如图，P 是边长为2 的正方形BD 内一动点，Q 为边B 上一动点，连接P、PD、 PQ，则P+PD+PQ 的最小值为________ 变式训练 【变式2-1】．如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上任 意一点，则M+MD+ME 的最小值为（ ） ．3+2 B．4+3 ．2+2 D．10 【变式2-2】．如图，已知正方形BD 内一动点E 到、B、三点的距离之和的最小值为1+ ，则这个正方形的边长为 ． 【变式2-3】．两张宽为3m 的纸条交叉重叠成四边形BD，如图所示，若∠α＝30°，则对 角线BD 上的动点P 到，B，三点距离之和的最小值是 ． 1．如图，正方形BD 内一点E，E 到、B、三点的距离之和的最小值为 ，正方形的 边长为_______． 2．如图，在边长为6 的正方形BD 中，点M，分别为B、B 上的动点，且始终保持BM＝． 连接M，以M 为斜边在矩形内作等腰Rt△MQ，若在正方形内还存在一点P，则点P 到 点、点D、点Q 的距离之和的最小值为 ． 3．如图，四个村庄坐落在矩形BD 的四个顶点上，B＝10 公里，B＝15 公里，现在要设立 两个车站E，F，则E+EB+EF+F+FD 的最小值为 公里． 4．如图，P 为等边三角形B 内一点，∠BP 等于150°，P＝5，PB＝12，求P 的长． 5．将△B 放在每个小正方形的边长为1 的格中，点B、落在格点上，点在B 的垂直平分线 上，∠B＝30°，点P 为平面内一点． （1）∠B＝ 度； （2）如图，将△P 绕点顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）P+BP+P 的最小值为 ． 6．如图1，P 是锐角△B 所在平面上一点．如果∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，则点P 就叫做△B 费马点． （1）当△B 是边长为4 的等边三角形时，费马点P 到B 边的距离为 ． （2）若点P 是△B 的费马点，∠B＝60°，P＝2，P＝3，则PB 的值为 ． （3）如图2，在锐角△B 外侧作等边△B′，连接BB′．求证：BB′过△B 的费马点P． 7．如图（1），P 为△B 所在平面上一点，且∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，则点P 叫做△B 的费 马点． （1）若点P 是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马 点． （2）如果点P 为锐角△B 的费马点，且∠B＝60°．求证：△BP∽△BP； （3）已知锐角△B，分别以B、为边向外作正△BE 和正△D，E 和BD 相交于P 点． 如图（2） ①求∠PD 的度数； ②求证：P 点为△B 的费马点． 8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点 叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的 “最近值”． 【基础巩固】 （1）如图1，在等腰Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 边上的高，已知D 上一点E 满足∠DE ＝60°，＝ ，求E+BE+E＝ ； 【尝试应用】 （2）如图2，等边三角形B 边长为 ，E 为高线D 上的点，将三角形E 绕点逆时针 旋转60°得到三角形FG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形B 的“最 近值”； 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形BD 中，过B 的中点E 作B 垂线交D 的延长线于点F，连接、DB， 已知∠BD＝75°，B＝6，求三角形FB“最近值”的平方． 9．如图①，点M 为锐角三角形B 内任意一点，连接M、BM、M．以B 为一边向外作等边 三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． （1）求证：△MB≌△EB； （2）若M+BM+M 的值最小，则称点M 为△B 的费马点．若点M 为△B 的费马点，试求 此时∠MB、∠BM、∠M 的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△B 的B、为一边向外作等边△BE 和等边△F，连接E、BF，设交点为M，则点M 即为△B 的 费马点．试说明这种作法的依据． 10．问题提出 （1）如图①，已知△B 中，B＝3，将△B 绕点逆时针旋转90°得△′B′，连接BB′．则BB′ ＝ ； 问题探究 （2）如图②，已知△B 是边长为4 的等边三角形，以B 为边向外作等边△BD，P 为 △B 内一点，将线段P 绕点逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q． ①求证：△DQ≌△BP； ②求P+PB+P 的最小值； 问题解决 （3）如图③，某货运场为一个矩形场地BD，其中B＝500 米，D＝800 米，顶点，D 为 两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在B 边上（含B，两点）开一 个货物入口M，并修建三条专用车道P，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为 10000 元，当M，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果 保留整数） 11．【问题情境】 如图1，在△B 中，∠＝120°，B＝，B＝5 ，则△B 的外接圆的半径值为 ． 【问题解决】 如图2，点P 为正方形BD 内一点，且∠BP＝90°，若B＝4，求P 的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形BD 是一个边长为3 m 的隔离区域设计图，E 为大门，点E 在边B 上， E＝ m，点P 是正方形BD 内设立的一个活动岗哨，到B、E 的张角为120°，即∠BPE ＝120°，点、D 为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得 Q 到、D、P 三个岗哨的距离和最小，试求Q+QD+QP 的最小值．（保留根号或结果精 确到1m，参考数据 ≈17，1052＝11025）． 12．已知抛物线y＝﹣ x2+bx+4 的对称轴为x＝1，与y 交于点，与x 轴负半轴交于点，作 平行四边形B 并将此平行四边形绕点顺时针旋转90°，得到平行四边形′B′′′． （1）求抛物线的解析式和点、的坐标； （2）求平行四边形B 和平行四边形′B′′′重叠部分△′D 的周长； （3）若点P 为△内一点，直接写出P+P+P 的最小值（结果可以不化简）以及直线P 的 解析式． 13．如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为（0，2），点D 在x 轴的正半轴上， ∠DB＝30°，E 为△BD 的中线，过B、E 两点的抛物线 与x 轴相交于、F 两点（在F 的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）等边△M 的顶点M、在线段E 上，求E 及M 的长； （3）点P 为△B 内的一个动点，设m＝P+PB+P，请直接写出m 的最小值，以及m 取得 最小值时，线段P 的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/3 22:37:10；用户：初中数学；邮箱：lsys@xym；学号：30145887