模型18 奔驰模型（原卷版）

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 超酷炫又实用：S= ❑ √3 4 2 【例1】．如图，点D 是等边△B 内部一点，BD＝1，D＝2，D＝ ，则∠DB＝ ． 变式训练 【变式1-1】．如图，点D 是等边△B 内一点，D＝3，BD＝3，D＝ ，△E 是由△BD 绕 点逆时针旋转得到的，则∠D 的度数是（ ） ．40° B．45° ．105° D．55° 【变式1-2】．如图，等边三角形B 内有一点P，分别连接P、BP、P，若P＝6，BP＝8， P＝10．则S△BP+S△BP＝ ． 【变式1-3】．如图，点P 是正方形BD 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 ． 例题精讲 1．如图，点是等边三角形B 内一点，＝2，B＝1，＝ ，则△B 与△B 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 2．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为（ ） ．24+9 B．48+9 ．24+18 D．48+18 3 如图，是正△B 内一点，=3，B=4，=5，将线段 B 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 B´，有下列结论∶ ①△B´ 可以由△B 绕点B 逆时针旋转 60°得到; ②点 与´的距离为 4; ③∠B=150°; ④S四边形AOBO´ ＝6＋3❑ √3; ⑤S∆AOC＋S∆AOB ＝6＋9 4 ❑ √3 其中正确的结论是（ ) ①②③⑤ B ①②③④ ①②③④⑤ D ①②③ 4 如图，在菱形 BD 中，∠B=60°，对角线平分∠BD，点 P 是△B 内一点，连接 P，PB，P 若 P=6，PB=8，P=10，则菱形 BD 的面积等于 5．如图，点P 是正方形BD 内一点，若 ， ，P＝1，则∠BP＝ ． 6．已知P 是等边△B 内一点，若P＝3，PB＝5，P＝4，则△B 的面积＝ ． 7．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为 ． 8．如图，P 是等边三角形B 内的一点，且P＝3，PB＝4，P＝5，以B 为边在△B 外作 △BQ≌△BP，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号） ①△BPQ 是等边三角形②△PQ 是直角三角形③∠PB＝150° ④∠P＝120° 9．如图，P 是正三角形B 内的一点，且P＝6，PB＝8，P＝10．若将△P 绕点逆时针旋转后， 得到△P′B． （1）求点P 与点P′之间的距离； （2）求∠PB 的度数． 10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形B 内部有一点P，P＝3，PB＝4，P＝5，求∠PB 的度数． 解：将△P 绕点逆时针旋转60°，得到△P′B，连接PP′，则△PP′为等边三角形． ∵PP′＝P＝3，PB＝4，P′B＝P＝5， ∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为 三角形． ∴∠PB 的度数为 ． （2）类比延伸 如图2，在正方形BD 内部有一点P，若∠PD＝135°，试判断线段P、PB、PD 之间的数 量关系，并说明理由． 11．【方法呈现】： （1）已知，点P 是正方形BD 内的一点，连P、PB、P．将△PB 绕点B 顺时针旋转90° 到△P′B 的位置（如图1），设B 的长为，PB 的长为b（b＜），求△PB 旋转到△P′B 的过 程中边P 所扫过区域（图1 中阴影部分）的面积； 【实际运用】： （2）如图2，点P 是等腰Rt△B 内一点，B＝B，连接P，PB，P．若P＝2，PB＝4，P ＝6，求∠PB 的大小； 【拓展延伸】： （3）如图3，点P 是等边△B 内一点，P＝3，PB＝4，P＝5，则△P 的面积是 （直 接填答） 12．（1）如图1，点P 是等边△B 内一点，已知P＝3，PB＝4，P＝5，求∠PB 的度数． 分析：要直接求∠PB 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因 此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内． 解：如图2，作∠PD＝60°使D＝P，连接PD，D，则△PD 是等边三角形． ∴ ＝D＝P＝3，∠DP＝∠PD＝60° ∵△B 是等边三角形 ∴＝B，∠B＝60°∴∠BP＝ ∴△BP≌△D ∴BP＝D＝4， ＝∠D ∵在△PD 中，PD＝3，P＝5，D＝4，PD2+D2＝P2 ∴∠PD＝ ° ∴∠PB＝∠D＝∠DP+∠PD＝60°+90°＝150° （2）如图3，在△B 中，B＝B，∠B＝90°，点P 是△B 内一点，P＝1，PB＝2，P＝3，求 ∠PB 的度数． （3）拓展应用．如图（4），△B 中，∠B＝30°，B＝4，B＝5，P 是△B 内部的任意一点， 连接P，PB，P，则P+PB+P 的最小值为 ． 13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P 是正方形 BD 内一点，连结P，PB，P 现将△PB 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P′B，连接PP′．若 P¿ ❑ √2，PB＝3，∠PB＝135°，则P 的长为 ，正方形BD 的边长为 ． （变式猜想）（2）如图2，若点P 是等边△B 内的一点，且P＝3，PB＝4，P＝5，请猜 想∠PB 的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下 的问题： 如图3，在四边形BD 中，D＝3，D＝2，∠B＝∠B＝∠D＝45°，则BD 的长度为 ． 14．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形B 内有一点P，且P＝3，PB＝4，P＝ 5，求∠PB 度数． 小明发现，利用旋转和全等的知识构造△P′，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将 问题解决（如图2）． 请回答：图1 中∠PB 的度数等于 ，图2 中∠PP′的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在平面直角坐标系xy 中，点坐标为（−❑ √3，1），连接．如果点B 是x 轴上的 一动点，以B 为边作等边三角形B．当（x，y）在第一象限内时，求y 与x 之间的函数 表达式．