模型19 轴对称——海盗埋宝模型-解析版

轴对称 模型（十九）——海盗埋宝模型 【结论】如图 ，△D 和△BE 是等腰直角三角形，，B 为直角顶点，F 为DE 的中点，连 接F，FB，则△FB 是等腰直角三角形 【特征】⑴两等腰直角三角形 ⑵一组底角共顶点 ⑶另一组底角顶点相连取中点 【证明】 （方法一：倍长中线法） 如图，延长 F 至点P 使得 FP=F，连接 PE，PB，延长 PE 交于点Q 在△DF 和△EPF 中，DF=EF, ∠DF=∠EFP, F=PF, ∴△DF≌△EPF(SS)，∴D=EP,∠DF=∠EPF ∴D∥EP ∴∠EQ＝∠DQ＝90° 在四边形 EQB 中， ∠EQ＋∠EB＝90°＋90°＝180°， ∴∠QEB＋∠QB＝360°-180°=180° 又∵∠QEB＋∠PEB＝180°， ∴∠QB＝∠PEB 在△B 和△PEB 中，=PE, ∠B＝∠PEB, B=BE, △B △PEB(SS) ∴ ≌ B=PB ∴ ，∠B＝∠PBE ∠B ∴ ＋∠BE＝∠PBE＋∠BE,即∠BP＝∠BE=90° △BP ∴ 是等腰直角三角形又∵F 是P 的中点，∴BF⊥P,BF=F △FB ∴ 是等腰直角三角形，F 为直角顶点 （方法二∶构造手拉手模型） 将△D 沿 对称，得△P，将△EB 沿 B 对称，得△QB，连接EP，DQ 易证△PE≌△DQ（手拉手模型）， ∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的结论） ∵F 是△DPE 的中位线，BF 是△DQE 的中位线 ， ∴F＝ 1 2 PE，F∥PE，BF＝ 1 2 DQBF∥DQ， F=BF ∴ ，F⊥BF， ∴△FB 是等腰直角三角形，F 为直角顶点 1．（山东省莱城区（五四学制）2017-2018 学年八年级上学期期末数学试题）如图，两个等腰 和 ， 点 在 上， ，连接 ，取 的中点 ，连接 求证： 【答】见解析 【分析】延长 交 于点 利用三角形的中位线定理解答 【详解】如图所示，延长 交 于点 ∵ 为等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∵ 为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴点 为线段 的中点 M ∵ 为F 的中点 ∴ 为 的中位线 ∴ 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，能分析题意并正确的作出辅助线是关键 1．（湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021 学年八年级下学期期中数学试题）某研究性学习小组在探究矩形 的折纸问题时，将一块直角三角板的直角项点绕矩形BD（B＜B）的对角线的交点旋转（图①⇒图②），图中的 M、分别为直角三角形的直角边与矩形BD 的边D、B 的交点． （1）如图①，当三角板一直角边与D 重合时，该学习小组成员意外的发现：B2＝D2+2，请你说明理由； （2）试探究图②中B、、M、DM 这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）如图③，若D＝8，B＝6，E 为矩形外的一点，且E⊥E，F 为E 的中点，为的中点，取的中点G，连接BG， 当F 在线段BG 上时，则BF 的值为 ． 【答】（1）见解析；（2）M2+2=DM2+B2，理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，连接D，由矩形性质，中垂线性质，勾股定理和等量代换即可证得结论； （2）如图2，延长M 交B 于E，方法类似（1），求证△BE≌△DM（S），进而得E=M，即E2=M2，等量替换得出结 论B2＋DM2＝M2＋2； （3）如图3，过点B 做B⊥于点，连接F，先由矩形性质和勾股定理得出＝10，再由F 是△E 的中位线得F∥E 进而 得∠F＝∠E＝90°，用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求得FG= =25，根据勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：（1）连结D， ∵矩形BD 的对角线交于点， ∴B=D ，∠D=90° ， ∵三角板一直角边与D 重合， ∴⊥BD，即垂直平分BD， ∴B=D， ∵∠D=90° ∴D2=2+D2 ∴B2=2+D2 ； （2）M2+2=DM2+B2 ，理由如下： 延长M 交B 于E， ∵矩形BD 的对角线交于点， ∴B=D ，∠B=∠DB=90°，B∥D， ∴∠B=∠D，∠BE=∠DM， ∴△BE≌△DM ， ∴E=M，BE=DM， ∵M⊥， ∴E=M， ∵∠B=∠DB=90°， ∴E2=BE2+B2， M2=2+M2， ∴2+M2=BE2+B2， 即2+M2=DM2+B2； （3）当F 在线段BG 上时，则BF 的值为 ， 过点B 做B⊥于点，连接F． ∵D＝8，B＝6，， ∴ 根据等面积可得： ， ， ∵是中点，G 是中点，=10， ∴G= ， ， ， 又∵F、为E、中点， ∴F∥E， ∴∠F=∠E=90°， ∵G 为 中点，=10 ， ∴FG= =25， ∴在 中， ． 【点睛】这是一道四边形综合题，主要运用了矩形判定与性质，线段中垂线判定与性质，勾股定理，三角形全等 的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，解题关键是准确添加辅助线，巧 妙构造特殊三角形（如：直角三角形和矩形）和灵活运用所学知识解决综合题． 1．（专题32 图形的变化（翻折与旋转变换）-解答题专项训练-备战2022 年中考数学临考题号押题（全国通 用））如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝α，点D 在边上（不与点，重合），连接BD，点K 为线段BD 的中点， 过点D 作DE⊥B 于点E，连接K，EK，E． (1)如图1，若α＝45°，则△EK 的形状为 ． (2)在（1）的条件下，若将图1 中△DE 绕点顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B 三点共线， 点K 为线段BD 的中点，如图2 所示．求证：BE﹣E＝2K． (3)若B＝8，＝15，点D 在边上（不与点，重合），D＝2D，将线段D 绕点旋转，点K 始终为BD 的中点，则线段 K 长度的最大值是多少？请直接写出结果． 【答】(1)等腰直角三角形； (2)见解析； (3) 【分析】（1）首先利用直角三角形斜边上中线的性质得EK＝KB＝DK ，再利用等腰三角形的性质和三角 形外角的性质可得∠KE＝2∠B＝90°，从而得出答； （2）在BD 上截取BG＝DE，连接G，设交BD 于Q，利用SS 证明△E≌△BG，得E＝G，∠5＝∠BG，从而解决问题； （3）取B 的中点，连接，K，利用直角三角形斜边上中线的性质求出的长，再利用三角形中位线定理得K 的长， 最后利用三角形三边关系可得答． (1) 解：△EK 是等腰直角三角形，理由如下： ∵∠＝45°，∠B＝90°， ∴∠＝∠B＝45°， ∴＝B， ∵DE⊥B， ∴∠DEB＝90°， ∵DK＝KB， ∴EK＝KB＝DK ， ∴∠KEB＝∠KBE， ∴∠EKD＝∠KBE+∠KEB＝2∠KBE， ∵∠DB＝90°，DK＝KB， ∴K＝KB＝KD ， ∴∠KB＝∠KB，EK＝K， ∴∠DK＝∠KB+∠KB＝2∠KB， ∴∠EK＝∠EKD+∠DK ＝2（∠KBE+∠KB） ＝2∠B ＝90°， ∴△EK 是等腰直角三角形， 故答为：等腰直角三角形； (2) 证明：如图，在BD 上截取BG＝DE，连接G，设交BD 于Q， α ∵∠＝45°，DE⊥E， ∴∠ED＝90°，∠DE＝45°， ∴△DE 是等腰直角三角形， ∴DE＝E＝BG， 1+ 3 ∵∠ ∠＝∠2+ 4 ∠＝90°，∠1＝∠2， 3 ∴∠＝∠4， ∵＝B， ∴△E≌△BG（SS）， ∴E＝G，∠5＝∠BG， ∴∠EG＝∠B＝90°， ∴△EG 是等腰直角三角形， ∵KD＝KB，DE＝BG， ∴KE＝KG，∴K＝EK＝KG， ∴BE﹣E＝2K； (3) 解：∵D＝2D，＝15，∴D＝10， 取B 的中点，连接，K， ∵点K 始终为BD 的中点， ∴K 是△BD 的中位线， ∴K D＝5， 在Rt△B 中，由勾股定理得，B 17， ∴ ， ∵K≤K+， ∴K 的最大值为5 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三 角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，综合性较强，作出合适的辅助线是解题的关键． 2．（2019 年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级一模数学试题）如图，在 中，∠8=90°，∠B=，点D 在边上（不 与点、重合）连接BD，点K 为线段BD 的中点，过点D 作 于点E，连结K，EK，E，将△DE 绕点顺时针 旋转一定的角度（旋转角小于90 度) (1)如图1．若=45 ，则 的形状为__________________； (2)在（1)的条件下，若将图1 中的三角形DE 绕点旋转，使得D，E，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2 所示，求证： ； (3)若三角形DE 绕点旋转至图3 位置时，使得D，E，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE， E，K 三者之间的数量关系（用含的三角函数表示） 【答】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-E=2K； 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=K，∠EK =90°即可； （2）在BD 上截取BG=DE，连接G，设交BF 于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SS 可证△E BG ≌△ ，由全等三 角形对应边、对应角相等的性质易证△EG 是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得K=EK=KG，等 量代换可得结论 （3）在BD 上截取BG=DE，连接G，设交BE 于Q，根据等角的余角相等可得∠E= BG ∠ ，由tα 的表示可得 ，易证△E BG ∽△ ，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论 【详解】（1）等腰直角三角形； 理由：如图1 中， =45° ∵∠ ，∠B=90°， = B=45° ∴∠∠ ， =B ∴ ， DE B ∵ ⊥， DEB=90° ∴∠ ， DK=KB ∵ ， EK=KB=DK= ∴ BD， KEB= KBE ∴∠ ∠ ， EKD= KBE+ KEB=2 KBE ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， DB=90° ∵∠ ，DK=KB， K=KB=KD= ∴ BD， KB= KB ∴∠ ∠ ，EK=K， DK= KB+ KB=2 KB ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， EK= EKD+ DK=2 ∴∠ ∠ ∠ （∠KBE+ KB ∠ ）=2 B=90° ∠ ， EK ∴△ 是等腰直角三角形． （2）证明：如图2 中，在BD 上截取BG=DE，连接G，设交BF 于Q． α=45° ∵∠ ，DE E ⊥， ED=90° ∴∠ ，∠DE=45°， DE ∴△ 是等腰直角三角形， DE=E=BG ∴ ， 1+ 3= 2+ 4=90° ∵∠ ∠ ∠ ∠ ，∠1= 2 ∠， 3= 4 ∴∠ ∠， =B ∵ ， E BG ∴△≌△ （SS）， E=G ∴ ，∠5= BG ∠ ， EG= B=90° ∴∠ ∠ ， EG ∴△ 是等腰直角三角形， KD=KB ∵ ，DE=BG， KE=KG ∴ ， K=EK=KG ∴ ， BE ∴ －E= BE－BG=EG=EK＋KG =2K． （3）解：结论：BE-E•tα=2K． 理由：如图3 中，在BD 上截取BG=DE，连接G，设交BE 于Q． DE E ∵ ⊥，∠B=90°， E+ EQ=90°, BG+ QB=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ EQ= QB ∵∠ ∠ ， E= BG ∴∠ ∠ ， 在Rt△B 中，tα= ， 在Rt△DE 中，tα= ， ∴ ， DE=E·tα E BG ∴△∽△ ， E= BG ∴∠ ∠ ， EG= B=90° ∴∠ ∠ ， KD=KB ∵ ，DE=BG， KE=KG ∴ ， EG=2K ∴ ， BE ∵ －BG=EG=2K， BE ∴ －DE=2K， BE ∴ －E•tα=2K． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角 三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键 3．（【万唯原创】2017 年安徽省中考数学-逆袭卷-特训18）如图，在 和 中， ， ， ，连接 ，点 是 的中点，连接 、 ． （1）如图①，当点 在 上时，求证： ； （2）如图②，若 ， ， ，求 的长； （3）如图③，若 ， ，求 的值． 【答】（1）见解析；（2） ；（3） ． 【详解】（1）证明：如解图①，连接 ， 在 中， ， ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ∵ 是 的外角， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ； 第4 题解图① （2）解：如解图②，延长 交 于 ，连接 、 ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ 在 中，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， 由勾股定理得 ， ∴ ； 第4 题解图② （3）解：如解图③，延长 交 于 ，连接 ∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，且 ，∴ ∵ ，∴ ， ∴ 是 的中位线， ∴ 设 ，∵ ， ∴ ∴ ， ∴ 在 和 中， ，∴ ， ∴点 与点 关于 对称，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 连接 ，在 中， 由勾股定理得 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ 第4 题解图③