模型39 数轴上动点问题（解析版）(1)

1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数． （一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 点表示的整数有___________ 解：∵P+PB＝5， ∴点P 在，B 两点之间，，B 两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1， 变式训练 【变式1-1】．如图，点为原点，、B 为数轴上两点，B＝15，且＝2B，点P 从点B 开始以 每秒4 个单位的速度向右运动，当点P 开始运动时，点、B 分别以每秒5 个单位和每秒 2 个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t 秒，若3P+2P﹣mBP 的值在某段时间内 不随着t 的变化而变化，则m＝ 25 或 55 ． 解：∵B＝15，＝2B， ∴＝ B＝10，B＝ B＝5， ∴点对应数为﹣10，B 点对应数为5， 设经过t 秒，则P＝ ＝ ，P＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t， 当t≤15 时， 3P+2P﹣mBP ＝45 3 ﹣t+10+8t 2 ﹣mt ＝（5 2 ﹣m）t+55， ∴当5 2 ﹣m＝0，即m＝25 时，3P+2P﹣mBP 的值在某段时间内不随着t 的变化而变化， 当t＞15 时， 3P+2P﹣mBP ＝3t 45+10+8 ﹣ t 2 ﹣mt ＝（11 2 ﹣m）t 35 ﹣ ， ∴当11 2 ﹣m＝0，即m＝55 时，上式为定值﹣35，也不随t 发生改变， 故m 为25 或55． 故答为：25 或55． 【变式1-2】．已知数轴上两点、B 对应的数分别是6，﹣8，M、、P 为数轴上三个动点， 例题精讲 点M 从点出发，速度为每秒2 个单位，点从点B 出发，速度为M 点的3 倍，点P 从原 点出发，速度为每秒1 个单位． （1）若点M 向右运动，同时点向左运动，求多长时间点M 与点相距46 个单位？ （2）若点M、、P 同时都向右运动，求多长时间点P 到点M，的距离相等？ （3）当时间t 满足t1＜t≤t2时，M、两点之间，、P 两点之间，M、P 两点之间分别有47 个、37 个、10 个整数点，请直接写出t1，t2的值． 解：（1）设运动时间为t 秒， 由题意可得：6+8+2t+6t＝46， ∴t＝4， ∴运动4 秒，点M 与点相距46 个单位； （2）设运动时间为t 秒，由题意可知：M 点运动到6+2t，点运动到﹣8+6t，P 点运动到 t， 由t＝﹣8+6t 可得t＝16， 当t＜16 时，点在点P 左侧，若MP＝P，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t， 解得t＝ （s）； 当t＞16 时，点在点P 右侧，若MP＝P，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t， 解得t＝ （s）， ∴运动 s 或 s 时，点P 到点M，的距离相等； （3）由题意可得：M、、P 三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小， M、两点距离最大，M、P 两点距离最小，可得出M、P 两点向右运动，点向左运动 ①当t1＝4s 时，P 在4，M 在14，在﹣32， 再往前一点，MP 之间的距离即包含10 个整数点，P 之间有47 个整数点； ②当继续以6 个单位每秒的速度向左移动，P 点向右运动， 若点移动到﹣33 时，此时、M 之间仍为47 个整数点， 若点过了﹣33 时，此时、M 之间为48 个整数点 故t2＝ +4＝ （s）， ∴t1，t2的值分别为4s， s． 【例2】．如图，周长为6 个单位长度的圆上的六等分点分别为，B，，D，E，F，点落在 2 的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023 的点是 点 D ． 解：由图形可知，旋转一周，点B 对应的数是1，点对应的数是0，点D 对应的数是﹣ 1，点E 对应的数是﹣2，点F 对应的点为﹣3，点对应的点为﹣4， 继续旋转，点B 对应的点为﹣5，点对应的点为﹣6． 2023÷6 ∵ ＝337…1， ∴数轴上表示﹣2025 的点与圆周上点D 重合． 故答为：点D． 变式训练 【变式2-1】．在数轴上，点，，B 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 或 或 秒． 解：由题知，P 点对应的数为：﹣15+4t，Q 点对应的数为：9+t， （1）当为PQ 中点时， 根据题意得15 4 ﹣t＝9+t， 解得t＝ ， （2）当P 是Q 的中点时， 根据题意得2（4t 15 ﹣ ）＝9+t， 解得t＝ ， （3）当Q 是P 的中点时， 根据题意得2（9+t）＝4t 15 ﹣ ， 解得t＝ ， 故答为： 或 或 ． 【变式2-2】．如图：在数轴上点表示数﹣3，B 点示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点B 与数表示的点重合； （2）若点 、点B 和点分别以每秒2 个单位、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数 轴上同时向左运动． ①若t 秒钟过后，，B，三点中恰有一点为另外两点的中点，求t 值； ②当点在B 点右侧时，是否存在常数m，使mB 2 ﹣B 的值为定值，若存在，求m 的值， 若不存在，请说明理由． 解：（1）B＝9﹣（﹣3）＝12， 12÷2＝6， B 的中点表示的数为：9 6 ﹣＝3， 3 1 ﹣＝2，3+2＝5， 则点B 与5 表示的点重合； （2）①由题意可知， t 秒时，点所在的数为：﹣3 2 ﹣t， B 点所在的数为：1﹣t， 点所在的数为：9 4 ﹣t， （）若B 为中点， 则 ． ∴t＝1； （）若为B 中点， 则 ， ∴t＝4； （）若为B 中点， 则 ， ∴t＝16， ∴综上，当t＝1 或4 或16 时，，B，三点中恰有一点为另外两点的中点； ②假设存在． ∵在B 右侧，B 在右侧， ∴B＝9 4 ﹣t﹣（1﹣t）＝8 3 ﹣t， B＝1﹣t﹣（﹣3 2 ﹣t）＝4+t， mB 2 ﹣B ＝m（8 3 ﹣t）﹣2（4+t） ＝8m 3 ﹣mt 8 2 ﹣﹣t ＝8m 8 ﹣﹣（3mt+2t） ＝8m 8 ﹣﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0 即m＝ 时， mB 2 ﹣B＝8×（﹣ ）﹣8＝﹣ 为定值， ∴存在常数m＝﹣ ，使mB 2 ﹣B 的值为定值． 1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1m），刻度尺上表示“0m”“8m”的 刻度分别对应数轴上的是﹣3 和x 所表示的点，那么x 等于（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 解：根据数轴可知： 3+8 ﹣ ＝5， 故选：． 2．等边△B 在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0 和﹣1，若△B 绕顶点沿顺时 针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2021 次后， 点B（ ） ．对应的数是2019 B．对应的数是2020 ．对应的数是2021 D．不对应任何数 解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是、B、循环排列，2021 次 后共得出2022 个顶点， 2022÷3 ∵ ＝674， ∴最后一个点为， ∵最后一个点是翻转了2021 次后得到的， ∴点表示的数为2021， ∴点B 表示的数为2020， 故选：B． 3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示 数x 的点与表示数﹣1 的点的距离，|x 2| ﹣的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2 的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ） ①若|x 2022| ﹣ ＝1，则x＝2021 或2023； ②若|x 1| ﹣＝|x+3|，则x＝﹣1； ③若x＞y，则|x 2| ﹣＞|y 2| ﹣； ④关于x 的方程|x+1|+|x 2| ﹣＝3 有无数个解． ．1 B．2 ．3 D．4 解：①若|x 2022| ﹣ ＝1，可得x 2022 ﹣ ＝±1，则则x＝2021 或2023；所以①说法正确； ②若|x 1| ﹣＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1 的点和表示数3 的点的距离相等的点，即 可得出x＝﹣1；所以②说法正确； ③当y＜x＜0 时，则|x 2| ﹣＜|y 2| ﹣，所以③说法不正确； ④因为|x+1|+|x 2| ﹣＝3 的几何意义是到数轴上表示﹣1 的点与表示2 的点的距离和等于3 的点，即﹣1≤x≤2 时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确． 故选：． 4．数轴上点表示的数是﹣3，把点向右移动5 个单位，再向左移动7 个单位到′，则′表示的 数是 ﹣ 5 ． 解：依题意得：﹣3+5 7 ﹣＝﹣5，即则′表示的数是﹣5． 故答为：﹣5． 5．数轴上点表示﹣8，点B 表示6，点表示12，点D 表示18．如图，将数轴在原点和点 B，处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M 从点出发，以4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 过点后继续以原来的速度向终点D 运动；点M 从点出发的同时， 点从点D 出发，一直以3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动．其中 一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t 秒，t ＝ 44 时，M、两点相遇 （结果化为小数）． 解：当点M、都运动到折线段﹣B﹣上，即t≥2 时，M 表示的数是 ×（t 2 ﹣）＝2t 4 ﹣， 表示的数是12 3 ﹣（t 2 ﹣）＝18 3 ﹣t， ∵M、两点相遇时，M、表示的数相同， 2 ∴t 4 ﹣＝18 3 ﹣t， 解得：t＝ ＝44， 故答为：44． 6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点、B、把数轴分成①②③④四部分，点、 B、对应的数分别是、b、，且b＜0． （1）原点在第 ② 部分（填序号）； （2）化简式子：|﹣b| | | || ﹣﹣﹣； （3）若| 5|+ ﹣ （+1）2＝0，且B＝2B，求点B 表示的数． 解：（1）∵点、B、对应的数分别是、b、，且b＜0， ∴＜0，b＞0， ∴原点在点和点B 之间， 又∵从左到右的点、B、把数轴分成①②③④四部分， ∴原点在第②部分； 故答为：② （2）∵＜0，b＞0， ∴﹣b＜0，＞0， ∴﹣＞0， | ∴﹣b| | | || ﹣﹣﹣＝b﹣﹣（﹣）﹣（﹣）＝b ++ ﹣﹣ ＝+b﹣； （3）∵| 5|+ ﹣ （+1）2＝0， 又∵| 5|≥0 ﹣ ，（+1）2≥0， 5 ∴﹣＝0，+1＝0， ∴＝5，＝﹣1， ∵B 对应的数是b，5＞b＞﹣1， ∴B＝5﹣b，B＝b﹣（﹣1）＝b+1， 又∵B＝2B， 5 ∴﹣b＝2×（b+1），即3b＝3， 解得：b＝1， ∴点B 表示的数为1． 7．已知b 是最小的正整数，且（﹣5）2与|+b|互为相反数． （1）填空：＝ ﹣ 1 ，b＝ 1 ，＝ 5 ； （2）若P 为一动点，其对应的数为x，点P 在0 和2 表示的点之间运动，即0≤x≤2 时， 化简：|x+1| | ﹣x 1|+2| ﹣ x+5|（请写出化简过程）； （3）如图，，b，在数轴上所对应的点分别为，B，，在（1）的条件下，若点以1 个单 位长度/s 的速度向左运动，同时，点B 和点分别以2 个单位长度/s 和5 个单位长度/s 的 速度向右运动．ts 后，若点B 与点之间的距离表示为B，点与点B 之间的距离表示为 B．请问：B﹣B 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请 求其值． 解：（1）依题意得，b＝1，﹣5＝0，+b＝0， 解得＝﹣1，＝5． 故答为：﹣1，1，5； （2）点P 在0 和2 表示的点之间运动，即0≤x≤2 时， 当0≤x≤1 时，x+1＞0，x 1≤0 ﹣ ，x+5＞0， 原式＝x+1+x 1+2 ﹣ x+10 ＝4x+10； 当1＜x≤2 时，x+1＞0，x 1 ﹣＞0，x+5＞0， 原式＝x+1﹣x+1+2x+10 ＝2x+12． 综上可知，|x+1| | ﹣x 1|+2| ﹣ x+5|＝4x+10 或2x+12； （3）不变， 理由：t 秒后点表示的数是﹣1﹣t，B 点表示的数是1+2t，的表示的数是5+5t， ∵B＝1+2t﹣（﹣1﹣t） ＝3t+2， B＝5+5t﹣（1+2t） ＝3t+4， ∴B﹣B＝2， ∴B﹣B 的值不变，是2． 8．数轴上有、B、三点，如图1，点、B 表示的数分别为m、（m＜），点在点B 的右侧， ﹣B＝2． （1）若m＝﹣8，＝2，点D 是的中点． ①则点D 表示的数为 ﹣ 2 ． ②如图2，线段EF＝（E 在F 的左侧，＞0），线段EF 从点出发，以1 个单位每秒的速 度向B 点运动（点F 不与B 点重合），点M 是E 的中点，是BF 的中点，在EF 运动过 程中，M 的长度始终为1，求的值； （2）若﹣m＞2，点D 是的中点，若D+3BD＝4，试求线段B 的长． 解：（1）①∵m＝﹣8，＝2， ∴B＝2﹣（﹣8）＝10． ∵﹣B＝2， ∴＝12， ∴点对应的数字为4， ∵点D 是的中点， ∴D＝ ＝6， 设点D 表示的数为x， 4 ∴﹣x＝6， ∴x＝﹣2． ∴点D 表示的数为﹣2． 故答为：﹣2； ②设EF 运动的时间为t 秒， 则点E 对应的数字为t 8 ﹣，点F 对应的数字为t 8+ ﹣ ， ∵点M 是E 的中点，是BF 的中点， ∴点M 对应的数字为 ＝ ，点对应的数字为 ＝ ， ∵M＝1， | ∴ |＝1． 解得：＝0 或＝4， ∵＞0， ∴＝4； （2）设点对应的数字为，点D 对应的是为d， ∵点、B 表示的数分别为m、（m＜），点在点B 的右侧，﹣B＝2， ∴＝+2，B＝﹣m． ∵点D 是的中点， ∴d＝ ， ∴D＝ m＝ ，BD＝﹣ ＝ ， ∵D+3BD＝4， ∴ ＝4， 解得：﹣m＝3． ∴B＝3． 9．如图，数轴上点，B 分别表示数，b，其中＜0，b＞0． （1）若＝﹣7，b＝3，求线段B 的长度及线段B 的中点表示的数； （2）该数轴上有另一点D 表示数d． ①若d＝2，点D 在点B 的左侧，且B＝5BD．求整式2+8b+2023 的值； ②若d＝﹣2，且B＝5BD，能否求整式2+8b+2023 的值？若能，求出该值；若不能，说 明理由． 解：（1）∵＝﹣7，b＝3， ∴线段B 的中点表示的数＝3﹣ ×（| 7|+3 ﹣ ）＝3﹣ ×10＝3 5 ﹣＝﹣2； （2）①∵d＝2，点D 在点B 的左侧，且B＝5BD， ∴B＝b﹣，BD＝b 2 ﹣， ∴b﹣＝5（b 2 ﹣）， +4 ∴ b＝10， 2+8 ∴ b+2023 ＝2（+4b）+2023 ＝2×10+2023 ＝2043； ②能求出代数式的值， ∵d＝﹣2，点D 在点B 的左侧，且B＝5BD， ∴B＝b﹣，BD＝b+2， ∴b﹣＝5（b+2）， +4 ∴ b＝﹣10， 2+8 ∴ b+2023 ＝2（+4b）+2023 ＝2×（﹣10）+2023 ＝﹣20+2023 ＝2003； 10．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5 2| ﹣表示5 与2 差的绝对值，也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之 间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5 与﹣2 的差的绝对值，也可理解为5 与﹣ 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点45 的相反数的点B，再把点向左移动15 个单位，得 到点，则点B 和点表示的数分别为 ﹣ 45 和 35 ，B，两点间的距离是 8 ； （2）若点表示的整数为x，则当x 为 ﹣ 2 时，|x+6|与|x 2| ﹣的值相等； （3）要使代数式|x+1|+|x 2| ﹣取最小值时，相应的x 的取值范围是 ﹣ 1≤ x ≤2 ． 解：（1）45 的相反数是﹣45，即点B 表示的数为﹣45；点表示的数为5 15 ﹣ ＝35；B， 两点间的距离是35﹣（﹣45）＝35+45＝8； 故答为：﹣45，35，8； （2）∵|x+6|与|x 2| ﹣的值相等， ∴x+6＝x 2 ﹣此种情况等式不成立， 或x+6＝﹣（x 2 ﹣），x＝﹣2， ∴x＝﹣2 时，|x+6|与|x 2| ﹣的值相等； 故答为：﹣2； （3）∵|x+1|+|x 2| ﹣值最小， ∴在数轴上可以看作表示x 的到﹣1 的距离与到2 的距离和最小， ∴数x 只能在﹣1 与2 之间，包括﹣1 与2 两个端点， 1≤ ∴﹣ x≤2． 故答为：﹣1≤x≤2． 11．如图，已知点为数轴的原点，点、B、、D 在数轴上，其中、B 两点对应的数分别为﹣ 1、3． （1）填空：线段B 的长度B＝ 4 ； （2）若点是B 的中点，点D 在点的右侧，且D＝，点P 在线段D 上运动．问：该数轴 上是否存在一条线段，当P 点在这条线段上运动时，P+PB 的值随着点P 的运动而没有 发生变化？ （3）若点P 以1 个单位/秒的速度从点向右运动，同时点E 从点以5 个单位/秒的速度向 左运动、点F 从点B 以20 个单位/秒的速度向右运动，M、分点别是PE、F 的中点．点 P、E、F 的运动过程中， 的值是否发生变化？请说明理由． 解：（1）∵、B 两点对应的数分别为﹣1、3， ∴＝1，B＝3， ∴B＝+B＝4． 故答为：4； （2）数轴上存在一条线段，当P 点在这条线段上运动时，P+PB 的值随着点P 的运动而 没有发生变化．理由： 、B 两点对应的数分别为﹣1、3， ∴＝1，B＝3， ∵点是B 的中点， ∴＝B＝4． ∴＝+＝5， ∴点对应的数为﹣5． 又∵D＝，点D 在点的右侧， ∴D 点对应的数为4． 设P 点对应的数为x， ①P 点在射线上时，P＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x， ∴P+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2 2 ﹣x， ∴P+PB 的值随着点P 的运动而发生变化； ②P 点在线段B 上时，P＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB