专题08 一元二次方程应用的四种考法（原卷版）

专题08 一元二次方程应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240 元，按每千克400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10 元，则平均每周的销售量可增加40 千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600 元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000 元吗？请说明理由． 【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60 元，当售价为100 元时，平均 每天能售出200 双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间 存在如图所示的函数关系． (1)求出y 与x 的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000 元的利润？若能，求出定价； 若不能，请说明理由． 【变式训练2】某服装店以每件30 元的价格购进一批 恤，如果以每件40 元的价格出售，那么一个月内 能售出300 件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1 元，销售量就会减少10 件，设这种 恤的销售单 价提高 元． (1)该服装店希望一个月内销售这种 恤能获得利润3360 元，并且尽可能减少库存，则这种 恤的销售单价 应提高多少元？ (2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息 解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2 元/千克． 青菜售价为 元/千克时，每天可销售 千克． 每千克每涨价 元，每天少销售5 千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售 千克的青菜，则获利多少 元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为多少元/千克？ 类型二、几何图形运动问题 例．如图，已知，B，，D 为矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q 分别从点，同时出发， 点P 以 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以 的速度向点D 移动，设移动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，P，Q 两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接 ． ①当 为等腰三角形时，求t 的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，已知，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，动点 从 开始沿 边向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边向 以 的速度运动， 、 分别从点 、 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动， 设运动时间为t 秒． (1) 为何值时， ？为什么？ (2)当 m 时，求t 的值． 【变式训练2】如图，在矩形 中， ，动点P、Q 分别从点、同时出发，点P 以 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以 的速度向点D 移动（点P 停止移动时，点Q 也 停止移动）．设移动时间为t（s）．连接 ， ． (1)用含t 的式子表示线段的长： __________； __________． (2)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 ？ (3)当t 为何值时，四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由． 【变式训练3】如图， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 分别从点 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点Q 以 的速度向 移动． (1) 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？ (2) 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是 ？ (3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？ 类型三、工程问题 例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面“白改黑”工程． 该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30 米，大型 设备每小时铺设路面60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工 程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000 米多了 9000 米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m 小时， 同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m 米，使用时间增加了 小时，求m 的值． 【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定 由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的 工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成 任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式训练2】2020 年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以 应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500 万个，第三天生产720 万个， 若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1 条生产线最大产能是1500 万个/天，若每增加1 条生产线，每条生产线的最大产能将 减小50 万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500 万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越 大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000 万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理 由． 【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000 米．甲，乙分别从桥梁两端 向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样． 甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每 合格完成1 米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天 少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计划多 万元．求的值． 类型四、行程问题 例．周末，小明和小红约着一起去公跑步锻炼身体若两人同时从地出发，匀速跑向距离 处的B 地， 小明的跑步速度是小红跑步速度的12 倍，那么小明比小红早5 分钟到达B 地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从地到达B 地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30 分钟内，平均每分钟消耗热量10 卡路里，超过30 分钟后，每多跑步1 分钟，平均每分钟消耗的热量就增 加1 卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300 卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【变式训练1】小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后， 又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s 后保持匀速运动．下图记录了 小明的速度 以及球的速度 随时间 的变化而变化的情况，小明在4s 时第一次追上球． （提示：当速度均匀变化时，平均速度 ，距离 ） (1)当 时，求 关于t 的函数关系式； (2)求图中的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球 次数共有____次，并简要说明理由． 【变式训练2】“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重 庆到上海比原铁路全程缩短了320 千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120 千米/小时， 全程设计运行时间只需8 小时，比原铁路设计运行时间少用16 小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事 件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m 的值． 课后作业 1．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，“天上王母蟠桃，人间合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市 时，某超市以相同的进价购进两批枇杷，第一批400 千克，以每千克20 元出售；第二批300 千克，以每千 克16 元出售，两批枇杷全部售完，超市共获利7200 元． (1)求枇杷的进价是每千克多少元？ (2)枇杷很受欢迎，该超市以比前两次每千克少2 元的进价购进第三批枇杷600 千克，计划两天售完，第一 天将枇杷涨价到每千克20 元出售，结果仅售出200 千克，第二天超市决定在第一天售价的基础上降价促销， 若在第一天售价的基础上每降2 元，第二天的销量在第一天的基础上增加20 千克，到了晚上关店时还剩部 分枇杷没售完，超市老板便把剩余枇杷免费分享给员工，第三批枇杷的利润恰好为4040 元，求第二天枇 杷的售价为每千克多少元？ 2．如图，是正方形BD 的对角线，D＝8，E 是的中点，动点P 从点出发，沿B 方向以每秒1 个单位的速度 向终点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度先沿B 方向运动到点，再沿D 方向向终点 D 运动，以EP、EQ 为邻边作平行四边形PEQF，设点P 运动的时间为t 秒（0＜t＜8） (1)当t＝1 时，试求PE 的长； (2)当点F 恰好落在线段B 上时，求BF 的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF 为菱形时，求t 的值． 3．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度 米秒与时间 秒 之间满足一次函 数关系，其图象如图所示； (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状 态下的平均速度 ， 表示这段时间起始时刻的速度， 表示这段时间结束时刻的速度．若该车 刹车后秒内向前滑行了 米，求的值． 4． 年注定是不平凡的三年，2018 年非洲猪瘟疫情爆发，2019 年中国猪肉价格持续高涨，2020 年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019 年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场 监督等部门的高度重视，据统计，2019 年1 月精品瘦肉的售价为32 元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少， 市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020 年1 月猪肉的售价比2019 年1 月上涨 了 ，市民王大爷2020 年1 月18 号在双福镇永辉超市购买 千克的精品瘦肉花了324 元． (1)求的值； (2)双福镇永辉超市将进价为52 元/千克的精品瘦肉，按2020 年1 月18 号的价格出售，平均每天能售出150 千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1 元， 其日销量就增加10 千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040 元的利润，并尽可能让消费者 得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？ 5．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80 千克，每千克16 元出售；第二批60 千克，每千克18 元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960 元 (1)求樱桃的进价是每千克多少元？ (2)该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20 元出售，结果仅售出40 千 克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上 每降价05 元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加5 千克到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第 三批樱桃获得的利润为880 元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？