专题11.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】（原卷版）

专题112 三角形内角和定理的运用【八大题型】 【人版】 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】..............................................................................................1 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】..........................................................................................2 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】..............................................................................................3 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】.....................................................................................................4 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】.................................................................................................. 5 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】..........................................................................................6 【题型7 判断直角三角形】.....................................................................................................................................8 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】..............................................................................................9 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个 内角均大于0°且 小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 【例1】（2021 秋•涡阳县期末）在△B 中，已知∠B＝∠+10°，∠＝∠B+25°，求∠的度数． 【变式1-1】（2022 春•武侯区校级期中）如图，点E、D 分别在B、上．若∠B＝30°，∠＝ 50°，则∠1+ 2 ∠＝ °． 【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△B 中，D 为边B 上的高，∠B＝30°，∠D＝20°，则∠B 是 度． 【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、E 是△B 的高，直线BD、E 相交所成的角中有一 个角为45°，则∠B 等于 ． 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 【例2】（2022 春•西湖区校级月考）如图，在△B 中，∠B＝60°，∠BE＝40°，D 平分∠B， 1 E⊥B 于点E，则∠DB 的度数为（ ） ．100° B．90° ．80° D．50° 【变式2-1】（2021 秋•靖西市期末）△B 中，∠＝50°，∠B＝30°，E 平分∠B，点F 为E 上一 点，FD⊥B 于点D，则∠EFD 的度数为（ ） ．5 B．10 ．12 D．20 【变式2-2】（2022 春•鼓楼区校级期末）如图，在△B 中，D 是高，E 是角平分线． （1）若∠B＝32°，∠＝60°，求∠DE 的度数； （2）若∠﹣∠B＝18°，求∠DE 的度数． 【变式2-3】（2022 春•锡山区期中）已知：如图，△B 中，D⊥B 于点D，BE 是∠B 的平分 线，若∠D＝30°，∠B＝80°． （1）求∠EB 的度数； （2）求∠B 的度数． 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝ ∠F＝90°，∠＝45°，∠E＝60°，点在边DF 上，，B 分别交DE 于点G，．若B∥EF，则 ∠GD 的度数为（ ） 1 ．30° B．45° ．60° D．75° 【变式3-1】（2022 春•兴宁区校级期末）如图，在△BG 中，D 为G 上一点，B∥D，点E 是 边B 上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF 平分∠EDG，若∠GD＝72°，则∠BDF 的度 数为（ ） ．50° B．40° ．45° D．36° 【变式3-2】（2022 春•泌阳县期末）如图，在△B 中，平分∠B，B⊥，为垂足，D∥，若∠B ＝40°，试求∠BD 的大小．（提示：延长交B 于点E） 【变式3-3】（2022 春•铜梁区校级期中）如图，D 是△BE 的角平分线，过点B 作B⊥B 交 D 的延长线于点，点F 在B 上，连接EF 交D 于点G． （1）若2 1+ ∠ ∠EB＝180°，求证：EF∥B； （2）若∠＝72°，∠EB＝78°，求∠BE 的度数． 1 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 【例4】（2022 春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片B 中，∠B＝∠，将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点落到B 边上的E 点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点恰好与点D 重合，折痕为EF（如图丙），则∠B 的大小为 °． 【变式4-2】（2021 春•丹阳市期中）如图，△B 中，D⊥B 于点D，BE⊥于点E，D 与BE 交 于点，将△B 沿M 折叠，使点与点重合，若∠B＝135°，则∠1+ 2 = ∠ °． 【变式4-3】（2022 春•铁西区期末）有一张三角形纸片B，已知∠B＝30°，∠＝50°，点D 在边B 上，请在边B 上找一点E，将纸片沿直线DE 折叠，点B 落在点F 处，若EF 与三 角形纸片B 的边平行，则∠BED 的度数为 ． 【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△B 中，∠＝110°，点D 在△B 内，将射线B 沿直线BD 翻折，将射线沿直线D 翻折，两射线交于点E，若∠BE＝150°，则∠BD 的度数为 ． 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 【例5】（2021 秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α 是另一个内角的两倍时，我 们称此三角形为“倍角三角形”，其中α 称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一 个内角为99°，那么倍角α 的度数是 ． 【变式5-1】（2022 春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â 是另外一个内角á 的1 2时， 我们称此三角形为“友好三角形”，á 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内 角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ． 【变式5-2】（2022 春•安溪县期末）新定义：在△B 中，若存在最大内角是最小内角度数 1 的倍（为大于1 的正整数），则称△B 为“倍角三角形”．例如，在△B 中，若∠＝90°， ∠B＝60°，则∠＝30°，因为∠最大，∠最小，且∠＝3∠，所以△B 为“3 倍角三角形”． （1）在△DEF 中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF 为“ 倍角三角形”． （2）如图，在△B 中，∠＝36°，∠B、∠B 的角平分线相交于点D，若△BD 为“6 倍角三 角形”，请求出∠BD 的度数． 【变式5-3】（2021 秋•福田区校级期末）我们定义： 【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4 倍，那么这样的 三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是 “完美三角形”． 【简单应用】如图1，∠M＝72°，在射线M 上找一点，过点作B⊥M 交于点B，以为端 点作射线D，交线段B 于点（点不与、B 重合点） （1）∠B＝ °，△B （填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠B＝90°，求证：△是“完美三角形”； 【应用拓展】 如图2，点D 在△B 的边B 上，连接D，作∠D 的平分线交于点E，在D 上取一点F，使 ∠EF+∠BD＝180°，∠DEF＝∠B，若△BD 是“完美三角形”，求∠B 的度数． 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 【例6】（2021 秋•青田县期末）如图，直线l∥线段B，点是直线l 上一动点．在△B 中，D 是△B 的高线，E 是∠B 的角平分线． （1）如图1，若∠B＝65°，∠B＝80°，求∠DE 的度数； （2）当点在直线l 上运动时，探究∠BD，∠DE，∠BE 之间的数量关系，并画出对应图 形进行说明． 1 【变式6-1】（2022 春•顺德区期中）如图，在△B 中，B，是△B 的内角平分线且B，相交于 点． （1）若∠B＝80°，∠B＝40°，求∠B 的度数； （2）若∠＝60°，求∠B 的度数； （3）请你直接写出∠与∠B 满足的数量关系式，不需要说明理由． 【变式6-2】（2022 春•海门市期末）已知：△B，点D，E 分别在边，B 上，连接BD，E， BD 与E 交于点，∠B﹣∠B＝54°． （1）如图1，当BD，E 都是△B 的角平分线时，求∠B 的度数； （2）如图2，当BD，E 都是△B 的高时，求∠B 的度数； （3）如图3，当∠BD＝2∠E 时，探究∠BE 与∠D 的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】（2022 春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△B 中，∠＞∠B，E 平分∠B，D⊥B 于D． 猜想∠B、∠、∠ED 的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠的值求 ∠ED 值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 / ∠度 70 70 60 60 80 1 ∠ED/度 30 15 20 30 上表中＝ ，于是得到∠B、∠、∠ED 的数量关系为 ． （2）小明继续探究，在线段E 上任取一点P，过点P 作PD⊥B 于点D，请尝试写出 ∠B、∠、∠EPD 之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、两个字母位置，如图2，过E 的延长线是一点F 作FD⊥B 交B 的延长线于D，当∠B＝80°，∠＝24°时，∠F 度数为 °． 【知识点2 直角三角形的判定】 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 【题型7 判断直角三角形】 【例7】（2021 春•历下区期中）在下列条件：①∠+∠B＝∠，②∠：∠B：∠＝5：3：2， ③∠＝90°﹣∠B，④∠＝2∠B＝3∠中，能确定△B 是直角三角形的条件有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-1】（2022 秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠+∠B＝∠；（2）∠：∠B：∠ ＝1：2：3；（3）∠＝∠B¿ 1 2∠；（4）∠¿ 1 2∠B¿ 1 3∠中，能确定△B 为直角三角形的条件 有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-2】（2021 秋•谢家集区期中）如图，在△B 中，∠B＝30°，∠＝62°，E 平分∠B． （1）求∠BE； （2）若D⊥B 于点D，∠DF＝74°，证明：△DF 是直角三角形． 【变式7-3】（2022 春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α 与β 满足α+2β＝ 100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． 1 （1）如图1，△B 中，∠B＝80°，BD 平分∠B． 求证：△BD 为“奇妙三角形” （2）若△B 为“奇妙三角形”，且∠＝80°．求证：△B 是直角三角形； （3）如图2，△B 中，BD 平分∠B，若△BD 为“奇妙三角形”，且∠＝40°，直接写出∠ 的度数． 【知识点3 直角三角形的性质】 直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余． 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 【例8】（2022 秋•宁晋县期中）如图，在△B 中，∠B＝90°，≠B，D 是斜边B 上的高， DE⊥，DF⊥B，垂足分别为E、F，则图中与∠（∠除外）相等的角的个数是（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△B 和Rt△DEF，∠B＝∠EDF＝90°， 点F、、D、共线，B、EF 相交于点M，且EF⊥B，则图中与∠E 相等的角有（ ）个． ．5 B．4 ．3 D．2 【变式8-2】（2022 春•邓州市期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，BE 平分 ∠B，D、BE 相交于点F． （1）若∠D＝36°，求∠EF 的度数； （2）试说明：∠EF＝∠FE． 1 【变式8-3】（2022 春•米东区期末）如图1，∠B＝∠D＝90°，∠B＝∠D，E⊥D，且BE 平 分∠B． （1）求证：∠E＝∠B； （2）求证：∠ED+∠EB＝∠BE； （3）求证：∠EF＝∠FE． 1