专题11.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】（解析版）

专题112 三角形内角和定理的运用【八大题型】 【人版】 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】..............................................................................................1 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】..........................................................................................3 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】..............................................................................................7 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】....................................................................................................10 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】................................................................................................14 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】........................................................................................18 【题型7 判断直角三角形】...................................................................................................................................24 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】............................................................................................28 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个 内角均大于0°且 小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 【例1】（2021 秋•涡阳县期末）在△B 中，已知∠B＝∠+10°，∠＝∠B+25°，求∠的度数． 【分析】将第一个等式代入第二等式用∠表示出∠，再根据三角形的内角和等于180°列 方程求出∠，然后求解即可． 【解答】解：∵∠B＝∠+10°，∠＝∠B+25°， ∴∠＝∠+10°+25°＝∠+35°， 由三角形内角和定理得，∠+∠B+∠＝180°， 所以，∠+ +10°+ +35° ∠ ∠ ＝180°， 解得∠＝45°． 【变式1-1】（2022 春•武侯区校级期中）如图，点E、D 分别在B、上．若∠B＝30°，∠＝ 50°，则∠1+ 2 ∠＝ °． 【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+ 2 ∠＝∠B+∠，从而可求解． 【解答】解：∵∠1+ 2+ ∠ ∠＝180°，∠B+ + ∠∠＝180°， 1 1+ 2 ∴∠ ∠＝∠B+∠， ∵∠B＝30°，∠＝50°， 1+ 2 ∴∠ ∠＝∠B+∠＝30°+50°＝80°． 故答为：80°． 【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△B 中，D 为边B 上的高，∠B＝30°，∠D＝20°，则∠B 是 度． 【分析】分两种情况：△B 为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即 可作答． 【解答】解：当△B 为锐角三角形时，如图， ∠BD＝180°﹣∠B﹣∠DB＝180° 30° 90° ﹣ ﹣ ＝60°， ∠B＝∠BD+∠D＝60°+20°＝80°； 当△B 为钝角三角形时，如图， ∠BD＝180°﹣∠B﹣∠DB＝180° 30° 90° ﹣ ﹣ ＝60°， ∠B＝∠BD﹣∠D＝60° 20° ﹣ ＝40°． 综上所述，∠B＝80°或40°． 故答为：80 或40． 【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、E 是△B 的高，直线BD、E 相交所成的角中有一 个角为45°，则∠B 等于 ． 【分析】根据三角形的内角和定理．分∠B 与这个45°的角在一个四边形内，及∠B 与这 个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论． 【解答】解：若∠B 与这个45°的角在一个四边形BDE 内， 1 因为BD、E 是△B 的高，设BD 的延长线交E 的延长线于． ∴∠E＝∠DB＝90°， ∵∠＝45°， ∴∠DE＝180° 45° ﹣ ＝135° ∴∠B＝∠DE＝135°； 若∠B 与这个45°的角不在一个四边形BDE 内， 因为BD、E 是△B 的高， 如图：∠B＝180°﹣（180° 45° ﹣ ）＝45°， 所以∠B 等于45 度． 若∠B 是钝角，∠是锐角， 易知∠BD＝40°，∠＝45° 综上所述，∠的值为45°或135°． 故答为：45°或135°． 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 【例2】（2022 春•西湖区校级月考）如图，在△B 中，∠B＝60°，∠BE＝40°，D 平分∠B， E⊥B 于点E，则∠DB 的度数为（ ） 1 ．100° B．90° ．80° D．50° 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B 与∠BD 的度数即可求解． 【解答】解：∵E⊥B， ∴∠BE＝90°， ∵∠BE＝40°， ∴∠B＝50°， ∵∠B＝60°，D 平分∠B， ∴∠BD¿ 1 2∠B＝30°， ∴∠DB＝180°﹣∠B﹣∠BD ＝180° 50° 30° ﹣ ﹣ ＝100°． 故选：． 【变式2-1】（2021 秋•靖西市期末）△B 中，∠＝50°，∠B＝30°，E 平分∠B，点F 为E 上一 点，FD⊥B 于点D，则∠EFD 的度数为（ ） ．5 B．10 ．12 D．20 【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论． 【解答】解：∵∠＝50°，∠B＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠﹣∠＝180° 50° 30° ﹣ ﹣ ＝100°， ∵E 是∠B 的平分线， ∴∠BE＝50°， ∴∠FED＝50°+30°＝80°， 又∵DF⊥B， ∴∠FED+∠EFD＝90°， ∴∠EFD＝90° 80° ﹣ ＝10°， 1 故选：B． 【变式2-2】（2022 春•鼓楼区校级期末）如图，在△B 中，D 是高，E 是角平分线． （1）若∠B＝32°，∠＝60°，求∠DE 的度数； （2）若∠﹣∠B＝18°，求∠DE 的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据角平分线的定义求出∠E，根据垂直 求出∠D＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠D，再求出答即可； （2）求出∠＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠B，根据角平分线的定义求出 ∠E，根据垂直求出∠D＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠D，再求出答即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝88°， ∵E 是角平分线， ∴∠E¿ 1 2 ∠B＝44°， ∵D 是高， ∴∠＝90°， ∵∠＝60°， ∴∠D＝90°﹣∠＝30°， ∴∠DE＝∠E﹣∠D＝44° 30° ﹣ ＝14°； （2）∵∠﹣∠B＝18°， ∴∠＝18°+∠B， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162° 2 ﹣∠B， ∵E 是角平分线， ∴∠E¿ 1 2 ∠B＝81°﹣∠B， ∵D 是高， ∴∠＝90°， ∵∠＝18°+∠B， ∴∠D＝90°﹣∠＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B， ∴∠DE＝∠E﹣∠D＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°． 【变式2-3】（2022 春•锡山区期中）已知：如图，△B 中，D⊥B 于点D，BE 是∠B 的平分 1 线，若∠D＝30°，∠B＝80°． （1）求∠EB 的度数； （2）求∠B 的度数． 【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠B ＝40°，再根据角平分线的定义可求解； （2）由∠BD＝∠B﹣∠D 可求解∠BD＝50°，由角平分线的定义可求解∠B＝∠EB＝20°， 由三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：（1）∵D⊥B， ∴∠D＝90°， ∴△D 是直角三角形， ∵∠D＝30°， ∴∠＝90°﹣∠D＝60°， ∵∠B＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝40°， ∵BE 是△B 的平分线， ∴∠EB¿ 1 2∠B＝20°； （2）∵∠B＝80°，∠D＝30°， ∴∠BD＝∠B﹣∠D＝50°， 由（1）可知∠EB＝20°， ∵BE 是∠B 的平分线， ∴∠B＝∠EB＝20°， 在△B 中，∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝110°． 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝ ∠F＝90°，∠＝45°，∠E＝60°，点在边DF 上，，B 分别交DE 于点G，．若B∥EF，则 ∠GD 的度数为（ ） 1 ．30° B．45° ．60° D．75° 【分析】在△B 中，利用三角形内角和定理可求出∠B（即∠G）的度数，由B∥EF，利用 “两直线平行，同位角相等”可得出∠G 的度数，在△G 中，利用三角形内角和定理可求 出∠G 的度数，再结合对顶角相等可得出∠GD 的度数． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠＝45°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝180° 90° 45° ﹣ ﹣ ＝45°，即∠G＝45°． ∵B∥EF， ∴∠G＝∠E＝60°， ∴∠G＝180°﹣∠G﹣∠G＝180° 60° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， ∴∠GD＝∠G＝75°． 故选：D． 【变式3-1】（2022 春•兴宁区校级期末）如图，在△BG 中，D 为G 上一点，B∥D，点E 是 边B 上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF 平分∠EDG，若∠GD＝72°，则∠BDF 的度 数为（ ） 1 ．50° B．40° ．45° D．36° 【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BD，根据角平分线的定义可得∠EDB＝ ∠BD，设∠EDB＝∠BD＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据 ∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可． 【解答】解：∵B∥D， ∴∠EBD＝∠BD， ∵∠EBD＝∠EDB， ∴∠EDB＝∠BD， 设∠EDB＝∠BD＝x°， ∵∠GD＝72°， ∴∠GDE＝2x°+72°， ∵DF 平分∠EDG， ∴∠EDF¿ 1 2∠EDG＝x°+36°， ∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°， 故选：D． 【变式3-2】（2022 春•泌阳县期末）如图，在△B 中，平分∠B，B⊥，为垂足，D∥，若∠B ＝40°，试求∠BD 的大小．（提示：延长交B 于点E） 【分析】延长交B 于点E，根据垂直的定义得到∠B＝∠BE＝90°，根据三角形内角和得 出∠B＝50°，根据角平分线的定义得到∠E＝50°，根据平行线的性质得到∠ED＝50°，根 据角的和差即可得解． 【解答】解：延长交B 于点E， ∵B⊥， ∴∠B＝∠BE＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝50°， 1 ∵平分∠B， ∴∠E＝∠B＝50°， ∵D∥， ∴∠ED＝∠E＝50°， ∴∠BD＝∠BE+∠ED＝140°． 【变式3-3】（2022 春•铜梁区校级期中）如图，D 是△BE 的角平分线，过点B 作B⊥B 交 D 的延长线于点，点F 在B 上，连接EF 交D 于点G． （1）若2 1+ ∠ ∠EB＝180°，求证：EF∥B； （2）若∠＝72°，∠EB＝78°，求∠BE 的度数． 【分析】（1）先根据垂直等于得到∠B＝90°，则∠+∠B＝90°，再证明2 + ∠∠EB＝ 180°，加上2 1+ ∠ ∠EB＝180°，则∠1＝∠，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠B＝18°，则∠ED＝18°，根据三角形内 角和定理得到∠ED+∠ED＝∠+∠BE，即18°+78°＝72°+∠BE，从而可求出∠BE 的度数． 【解答】（1）证明：∵B⊥B， ∴∠B＝90°， + ∴∠∠B＝90°， ∵D 是△BE 的角平分线， ∴∠B¿ 1 2∠EB， ∴∠+1 2 ∠EB＝90°， 即2 + ∠∠EB＝180°， 2 1+ ∵∠ ∠EB＝180°， 1 ∴∠＝∠， ∴EF∥B； （2）解：∵∠B＝90°，∠＝72°， ∴∠B＝18°， ∴∠ED＝∠B＝18°， ∵∠DE＝∠BD， 1 ∴∠ED+∠ED＝∠+∠BE， 即18°+78°＝72°+∠BE， ∴∠BE＝24°． 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 【例4】（2022 春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片B 中，∠B＝∠，将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点落到B 边上的E 点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点恰好与点D 重合，折痕为EF（如图丙），则∠B 的大小为 °． 【分析】设∠＝x，根据翻折不变性可知∠＝∠ED＝x，∠＝∠BED＝∠+∠ED＝2x，利用三 角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：设∠＝x，根据翻折不变性可知∠＝∠ED＝x，∠＝∠DEB＝∠+∠ED＝2x， ∵B＝， ∴∠B＝∠＝2x， + ∵∠∠B+∠＝180°， 5 ∴x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠B＝72°． 故答为：72． 【变式4-2】（2021 春•丹阳市期中）如图，△B 中，D⊥B 于点D，BE⊥于点E，D 与BE 交 于点，将△B 沿M 折叠，使点与点重合，若∠B＝135°，则∠1+ 2 = ∠ °． 【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+ 2 ∠＝2∠M，根据垂直的定义得到 1 ∠D＝∠EM＝90°，利用平角的定义得到∠BD+∠D+∠M+∠EM＝180°，即可求出结果． 【解答】解：由折叠性质可知，∠M＝∠M，∠M＝∠M，∠M＝∠M， 1 ∴∠＝180° 2 ﹣∠M，∠2＝180° 2 ﹣∠M， 1+ 2 ∴∠ ∠＝2（180°﹣∠M﹣∠M）＝2∠M＝2∠M， ∵∠B＝135°， ∴∠BD＝45°， ∵D⊥B，BE⊥， ∴∠D＝∠EM＝90°， ∴∠D＝90° 2 ﹣∠，∠EM＝90° 1 ﹣∠， ∵∠BD+∠D+∠M+∠EM＝180°， 即45°+90° 2+90° 1 ﹣∠ ﹣∠+1 2 （∠1+ 2 ∠）＝180°， ∴1 2（∠1+ 2 ∠）＝45°， 1+ 2 ∴∠ ∠＝90°， 故答为：90． 【变式4-3】（2022 春•铁西区期末）有一张三角形纸片B，已知∠B＝30°，∠＝50°，点D 在边B 上，请在边B 上找一点E，将纸片沿直线DE 折叠，点B 落在点F 处，若EF 与三 角形纸片B 的边平行，则∠BED 的度数为 ． 【分析】分两种情况：①当点F 在B 的上方时，②当点F 在B 的下方时，根据折叠性 质、平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：①当点F 在B 的上方时，如图： ∵∥EF，∠＝50°， ∴∠BEF＝∠＝50°， ∴∠BED＝∠FED¿ 1 2∠BEF¿ 1 2 ×50°＝25°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180° 30° 25° ﹣ ﹣ ＝125°； ②当点F 在B 的下方时，如图： ∵∥EF，∠＝50°， 1 ∴∠EF＝∠＝50°， ∵∠F＝∠B＝30°， ∴∠BGD＝50°+30°＝80°， ∴∠BDG＝180° 80° 30° ﹣ ﹣ ＝70°， ∴∠BDE¿ 1 2∠BDG¿ 1 2 ×70°＝35°； 综上所述，∠BDE 的度数为35°或125°． 故答为：35°或125°． 【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△B 中，∠＝110°，点D 在△B 内，将射线B 沿直线BD 翻折，将射线沿直线D 翻折，两射线交于点E，若∠BE＝150°，则∠BD 的度数为 ． 【分析】当点E 在△B 外时，根据四边形的内角和求出∠BE+∠E，再由折叠性质求得 ∠BD+∠D，由三角形内角和求得∠B+∠B，便可求得∠BD+∠BD，最后由三角形内角和 求得∠BD；当点E 在△B 内时，根据三角形内角和求出结果便可． 【解答】解：当点E 在△B 外时，如图， ∵∠＝110°，∠BE＝150°， ∴∠BE+∠E＝360° 110° 150° ﹣ ﹣ ＝100°， 由折叠性质知，∠BD＝∠EBD¿ 1 2∠BE，∠D＝∠ED¿ 1 2∠E， ∴∠BD+∠D¿ 1 2 ×100°=¿50°， ∵∠B+∠B＝180°﹣∠＝70°， ∴∠BD+∠BD＝70° 50° ﹣ ＝20°， ∴∠BD＝180° 20° ﹣ ＝160°， 1 当点E 在△B 内时，如图， ∵∠＝110°，∠BE＝150°， ∴∠B+∠B＝180° 110° ﹣ ＝70°， ∠EB+∠EB＝180° 150° ﹣ ＝30°， ∴∠BE+∠E＝＝70° 30° ﹣ ＝40°， 由折叠性质知，∠DBE¿ 1 2∠BE，∠DE¿ 1 2∠E， ∴∠DBE+∠DE¿ 1 2（∠BE+∠E）＝20°， ∴∠DB+∠DB＝∠DBE+∠DE+∠EB+∠EB＝50°， ∴∠BD＝180°﹣（∠DB+∠DB）130°， 故答为：160°或130°． 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 【例5】（2021 秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α 是另一个内角的两倍时，我 们称此三角形为“倍角三角形”，其中α 称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一 个内角为99°，那么倍角α 的度数是 ． 【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题． 【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可 能出现以下几种情况： ①当α＝99°时，则β＝495°； ②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在； ③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°． 综上：α＝99°或54°． 故答为：99°或54°． 【变式5-1】（2022 春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â 是另外一个内角á 的1 2时， 我们称此三角形为“友好三角形”，á 为友好角