专题11.4 多边形及其内角和【十大题型】（原卷版）

专题114 多边形及其内角和【十大题型】 【人版】 【题型1 多边形及正多边形的概念辨析】.............................................................................................................1 【题型2 多边形的不稳定性】.................................................................................................................................2 【题型3 多边形的对角线】.....................................................................................................................................3 【题型4 多边形的内角和】.....................................................................................................................................4 【题型5 多边形的外角和】.....................................................................................................................................6 【题型6 截角问题】................................................................................................................................................. 7 【题型7 多边形内角和和外角和-平行线】............................................................................................................7 【题型8 多边形内角和和外角和-角平分线】........................................................................................................8 【题型9 多边形内角和和外角和的实际应用】.....................................................................................................9 【题型10 多边形内角和和外角和的的综合应用】..............................................................................................10 【知识点1 多边形的概念】 平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形 【知识点2 正多边形的概念】 各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形 【题型1 多边形及正多边形的概念辨析】 【例1】（2022•秦都区校级月考）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式1-1】（2022 春•烟台期中）下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形； ②多边形的边数是不小于4 的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发， 分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成（﹣2）个三角形；④半圆 是扇形，其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-2】（2022•泸西县期末）下列图形：①等边三角形；②直角三角形；③平行四边 形；④正方形，其中正多边形的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 1 【变式1-3】（2022•肥西县期末）如图，下列图形是多边形的有 （填序号）． 【知识点3 多边形的不稳定性】 多边形具有不稳定性 【题型2 多边形的不稳定性】 【例2】（2022•泸西县期末）如图的伸缩门，其原理是（ ） ．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 ．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【变式2-1】（2022 春•霞山区校级期末）下列图形中具有稳定性有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式2-2】（2022•长春月考）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下 来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段． 【变式2-3】（2022 春•浦东新区校级月考）以线段＝7，b＝8，＝9，d＝10 为边作四边形， 可以作（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．无数个 【知识点4 多边形的对角线】 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 1 从一个边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个边形分割成 （-2）个三角形， 共有1 2（﹣3）条对角线 【题型3 多边形的对角线】 【例3】（2022 春•单县期末）已知从边形的一个顶点出发的对角线将该多边形分成7 个三 角形，则该多边形对角线一共有（ ） ．14 条 B．18 条 ．20 条 D．27 条 【变式3-1】（2022•北流市期中）三角形具有稳定性，要使一个四边形框架稳定不变形， 至少需要钉 根木条． 【变式3-2】连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图所示画出的是 四边形、五边形、六边形的所有对角线请回答下列问题： （1）寻找规律，试用含的代数式表示边形的所有对角线的条数； （2）求20 边形的所有对角线的条数． 【变式3-3】（2021 秋•长春月考）【材重现】如图是数学材第135 页的部分截图． 在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每一个多边形都可以分割成若干个三 角形． 数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？ 在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线． 【问题思考】结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并 填写表： 多边形边 数 四 五 六 … 十二 … 从一个顶 点出发， 得到对角 线的数量 1 条 … … 【问题探究】边形有个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次， 1 由此可推导出，边形共有 条对角线（用含有的代数式表示）． 【问题拓展】 （1）已知平面上4 个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段． （2）已知平面上共有15 个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段． （3）已知平面上共有x 个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 条线段 （用含有x 的代数式表示，不必化简）． 【知识点5 多边形的内角和】 边形的内角和为(-2)·180°(≥3)． 【题型4 多边形的内角和】 【例4】（2022•孝感月考）如图，将六边形纸片BDEF 沿虚线剪去一个角（∠BD）后，得 到∠1+ 2+ 3+ 4+ 5 ∠ ∠ ∠ ∠＝400°，求∠BGD 的度数． 【变式4-1】（2022•梁区校级期中）已知边形的内角和θ＝（﹣2）×180°． （1）甲同学说，θ 能取720°；而乙同学说，θ 也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对， 求出边数，若不对，说明理由； （2）若边形变为（+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 1 【变式4-2】（2022•西平县期中）一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于 2012°，求这个内角的度数及多边形的边数． 【变式4-3】（2022 春•宝应县校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍 （1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ （2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边 形？ 【知识点6 多边形的外角和】 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外 角和恒等于360°，它与边数的多少无关 【题型5 多边形的外角和】 【例5】（2022•苍溪县月考）如图，∠1，∠2，∠3，∠4 是五边形BDE 的四个外角．若∠＝ 120°，求∠1+ 2+ 3+ 4 ∠ ∠ ∠的度数． 1 【变式5-1】（2022•路北区期末）已知，正多边形的一个外角是30°，则这个正多边形是（ ） ．六边形 B．九边形 ．十边形 D．十二边形 【变式5-2】（2022•海口模拟）六边形的外角和为（ ） ．360° B．540° ．720° D．1080° 【变式5-3】（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△B 与四边形BDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ） ．α β ﹣＝0 B．α β ﹣＜0 ．α β ﹣＞0 D．无法比较α 与β 的大小 【题型6 截角问题】 【例6】（2022•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边 形的边数可能是（ ） ．5 或6 B．6 或7 ．5 或6 或7 D．6 或7 或8 【变式6-1】（2022•安陆市期末）一个四边形剪去一个角后，它不可能是（ ） ．三角形 B．四边形 ．五边形 D．六边形 【变式6-2】（2022 春•雨花区校级期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后， 变成一个18 边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） ．16 B．17 ．18 D．19 【变式6-3】（2022•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线B 剪去一个角， 得到一个五边形，则这个五边形的周长 原来正方形的周长．（填“大于”“小于” 或“等于”），理由是 ． 【题型7 多边形内角和和外角和-平行线】 【例7】（2022 春•侯马市期末）如图，六边形BDEF 的内角都相等． （1）若∠1＝60°，求∠D 的度数； 1 （2）B 与ED 有怎样的位置关系？为什么？ 【变式7-1】（2022•平山县期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示 的样子（内部有一个正五边形），则∠1 的度数为（ ） ．36° B．54° ．60° D．72° 【变式7-2】（2022 春•市中区期末）如图，在四边形BD 中，∠＝108°，∠＝82°，M、分别 是B、B 上的点，将△BM 沿着M 翻折，得到△EM，若ME∥D，E∥D，则∠E 的度数为（ ） ．88° B．87° ．86° D．85° 【变式7-3】（2022•临清市三模）如图，正五边形BDE，点D、E 分别在直线m、上．若 m∥，∠1＝20°，则∠2 为（ ） 1 ．52° B．60° ．58° D．56° 【题型8 多边形内角和和外角和-角平分线】 【例8】（2022•藁城区二模）如图，六边形BDEF 中，∠，∠B，∠，∠D 的外角都相等，即 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分别作∠DEF 和∠EF 的平分线交于点P，则∠P 的度数是（ ） ．55° B．56° ．57° D．60° 【变式8-1】（2022•兴化市一模）如图，在四边形BD 中，∠＝150°，∠＝60°，∠B 与∠D 的 平分线交于点，则∠BD 的度数为（ ） ．120° B．125° ．130° D．135° 【变式8-2】（2022 春•苏州月考）如图，在四边形BD 中，∠+∠B＝210°，作∠D、∠BD 的 平分线交于点1，再作∠1D、∠1D 的平分线交于点2，则∠2的度数为 ． 【变式8-3】（2022 春•惠民县期末）如图，G 平分正五边形BDE 的外角∠DF，并与∠EB 的平分线交于点，则∠G 的度数为（ ） ．144° B．126° ．120° D．108° 1 【题型9 多边形内角和和外角和的实际应用】 【例9】（2022 春•井研县期末）如图，大建从点出发沿直线前进8 米到达B 点后向左旋转 的角度为α，再沿直线前进8 米，到达点后，又向左旋转α 角度，照这样走下去，第一 次回到出发地点时，他共走了72 米，则每次旋转的角度α 为（ ） ．30° B．40° ．45° D．60° 【变式9-1】（2022 春•昌平区校级期中）科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人 在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ） ．12 米 B．8 米 ．6 米 D．不能确定 【变式9-2】（2022•桓台县期末）如图，桐桐从点出发，前进3m 到点B 处后向右转20°， 再前进3m 到点处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共 走了（ ） ．100m B．90m ．54m D．60m 【变式9-3】（2022•株洲模拟）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3 个 五边形，还需 个五边形完成这一圆环． 1 【题型10 多边形内角和和外角和的的综合应用】 【例10】（2022 春•临汾期末）在五边形BDE 中，∠，∠B，∠，∠D，∠E 的度数之比为3： 5：3：4：3，则∠D 的外角等于（ ） ．60° B．75° ．90° D．120° 【变式10-1】（2022 春•定陶县期末）请根据下面x 与y 的对话解答下列各小题： x：我和y 都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为1440°； y：x 的边数与我的边数之比为1：3． （1）求x 与y 的外角和相加的度数？ （2）分别求出x 与y 的边数？ （3）试求出y 共有多少条对角线？ 【变式10-2】（2022•富县月考）一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差 为100°，求这个多边形内角和的度数和边数． 【变式10-3】（2022•孝昌县期中）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了， 得其和为2620°． （1）求这个多加的外角的度数； （2）求这个多边形的边数． 1