51 二次函数与最值的六种考法-重难点题型

二次函数与最值的六种考法-重难点题型 【知识点1 定轴定区间】 对于二次函数 在 上的最值问题（其中、b、、m 和均为 定值， 表示y 的最大值， 表示y 的最小值）： （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值． （2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ． （3）若 ，如图③，当， ；当 ， ． （4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ． x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a ④ ③ ② ① 【知识点2 动轴或动区间】 对于二次函数 ，在 （m，为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m，与 的大小． 【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】 【例1】（2021 春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2 的取 值范围内，下列说法正确的是（ ） ．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 ．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4 【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和 开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题． 【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x 1 ﹣）2+5， ∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下， ∴当﹣2≤x≤2 时，x＝1 时取得最大值5，当x＝﹣2 时，取得最小值﹣4， 故选：D． 【变式1-1】（2020 秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3 时，二次函数y＝x2 3 ﹣x+m 最大值为5，则 m＝ ． 【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的值，本题得以 解决． 【解答过程】解：∵二次函数y＝x2 3 ﹣x+m＝（x−3 2 ）2+m−9 4 ， ∴该函数开口向上，对称轴为x¿ 3 2， ∵当﹣1≤x≤3 时，二次函数y＝x2 3 ﹣x+m 最大值为5， ∴当x＝﹣1 时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m， 解得m＝1， 故答为：1． 【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2 4 ﹣x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3 时，y 的最大值为，最小值为b，则﹣b 的值为 ． 【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣ 1≤x≤3 时，x＝﹣1 时取得最大值，x＝2 时取得最小值，然后即可得到、b 的值，从而可 以求得﹣b 的值，本题得以解决． 【解答过程】解：∵二次函数y＝x2 4 ﹣x+3＝（x 2 ﹣）2 1 ﹣， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵当自变量满足﹣1≤x≤3 时，y 的最大值为，最小值为b， ∴当x＝﹣1 时，取得最大值，当x＝2 时，函数取得最小值， ∴＝1+4+3＝8，b＝﹣1， ∴﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9， 故答为：9． 【变式1-3】（2020 秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2 6 ﹣x+5，当2≤x≤6 时的最大值是 M，最小值是m，则M﹣m＝ ． 【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M﹣m 的 值． 【解答过程】解：原式可化为y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y＝0 时，x2 6 ﹣x+5＝0， 即（x 1 ﹣）（x 5 ﹣）＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 如图：m＝﹣4， 当x＝6 时，y＝36 36+5 ﹣ ＝5，即M＝5． 则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答为9． 【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】 【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2 时有最 小值﹣2，则m＝（ ） ．3 B．﹣3 或3 8 ．3 或−3 8 D．﹣3 或−3 8 【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0 两种情况讨论解答即可求得m 的 值． 【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1 时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2， 解得：m＝3； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2 时有最小值﹣2， ∴x＝2 时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2， 解得：m¿−3 8； 故选：． 【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y＝x2 4 ﹣x 1 ﹣，当x≤1 时，y 随x 的增大而 增大，且﹣1≤x≤6 时，y 的最小值为﹣4，则的值为（ ） ．1 B．3 4 ．−3 5 D．−1 4 【解题思路】根据二次函数y＝x2 4 ﹣x 1 ﹣，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1 时， y 随x 的增大而增大，可以得到的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6 时，y 的最小值为﹣4， 即可得到的值． 【解答过程】解：∵二次函数y＝x2 4 ﹣x 1 ﹣＝（x 2 ﹣）2 4 1 ﹣﹣， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1 时，y 随x 的增大而增大， ∴＜0， ∵当﹣1≤x≤6 时，y 的最小值为﹣4， ∴x＝6 时，y＝×62 4×6 1 ﹣ ﹣＝﹣4， 解得¿−1 4 ， 故选：D． 【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y＝2x2+4x+62+3（其中x 是自变量），当 x≥2 时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x≤1 时，y 的最小值为15，则的值为（ ） ．1 或﹣2 B．−❑ √2或❑ √2 ．﹣2 D．1 【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下 ＜0，然后由﹣2≤x≤1 时，y 的最小值为15，可得x＝1 时，y＝15，即可求出． 【解答过程】解：∵二次函数y＝2x2+4x+62+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x¿− 4 a 2×2a=−¿1， ∵当x≥2 时，y 随x 的增大而减小， ∴＜0， 2≤ ∵﹣ x≤1 时，y 的最小值为15， ∴x＝1 时，y＝2+4+62+3＝15， 6 ∴2+6 12 ﹣ ＝0， ∴2+ 2 ﹣＝0， ∴＝1（不合题意舍去）或＝﹣2． 故选：． 【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y¿ 1 2（m 1 ﹣）x2+（﹣6）x+1（m≥0， ≥0），当1≤x≤2 时，y 随x 的增大而减小，则m 的最大值为（ ） ．4 B．6 ．8 D．49 4 【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口 向上的m，的取值范围，将m 转化为含一个未知数的整式求最值． 【解答过程】解：抛物线y¿ 1 2（m 1 ﹣）x2+（﹣6）x+1 的对称轴为直线x¿ 6−n m−1， ①当m＞1 时，抛物线开口向上， 1≤ ∵ x≤2 时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1 ≥2，即2m+≤8． 解得≤8 2 ﹣m， ∴m≤m（8 2 ﹣m）， m（8 2 ﹣m）＝﹣2（m 2 ﹣）2+8， ∴m≤8． ②当0≤m＜1 时，抛物线开口向下， 1≤ ∵ x≤2 时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1 ≤1，即m+≤7， 解得m≤7﹣， ∴m≤（7﹣）， （7﹣）＝﹣（−7 2 ）2+49 4 , ∴m≤49 4 ， 0≤ ∵ m＜1， ∴此情况不存在． 综上所述，m 最大值为8． 故选：． 【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】 【例3】（2020 秋•马鞍山期末）当﹣1≤x≤时，函数y＝x2 2 ﹣x+1 的最小值为1，则的值为 ． 【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1 时x 的值，结合当﹣1≤x≤时 函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答过程】解：当y＝1 时，有x2 2 ﹣x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝2． ∵当﹣1≤x≤时，函数有最小值1， 1 ∴﹣＝2 或＝0， ∴＝3 或＝0， 故答为：0 或3． 【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x 3 ﹣，当﹣1≤x≤m 时，此函数的最小值为﹣ 8，最大值为1，则m 的取值范围是（ ） ．0≤m＜2 B．0≤m≤5 ．m＞5 D．2≤m≤5 【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围． 【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x 3 ﹣＝﹣（x 2 ﹣）2+1， ∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1）， ∴x＝﹣1 和x＝5 对应的函数值相等， ∵当﹣1≤x≤m 时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1 时，y＝﹣8， 2≤ ∴ m≤5， 故选：D． 【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝x2﹣x+2 的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2 时，y 有最大值3，最小值﹣1，则t 的取值范围应是（ ） ．﹣6≤t≤2 B．t≤ 2 ﹣ ．﹣6≤t≤ 2 ﹣ D．﹣2≤t≤2 【解题思路】根据二次函数y＝x2﹣x+2 的图象经过点（2，﹣1），可以求得的值，然后 即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2 时，y 有最大值3，最小值 ﹣1，即可得到t 的取值范围． 【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣x+2 的图象经过点（2，﹣1）， 1 ∴﹣＝×22 2+2 ﹣ ， 解得¿−1 4 ， ∴y¿−1 4 x2﹣x+2¿−1 4 （x+2）2+3， ∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2 时，该函数取得最大值3， ∵当t≤x≤2 时，y 有最大值3，最小值﹣1，当x＝2 时，y＝﹣1， 6≤ ∴﹣ t≤ 2 ﹣， 故选：． 【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2 4 ﹣，当≤x≤b 且b＜0 时，y 的 最小值为2，最大值为2b，则+b 的值为（ ） ．2❑ √3 B．−7 2 ．❑ √3−¿2 D．0 【解题思路】根据的取值范围分﹣1≤＜0，﹣b 2≤ ﹣ ＜﹣1，＜﹣b 2 ﹣三种情况讨论，求 出满足题目条件的情况即可． 【解答过程】解：∵≤x≤b 且b＜0， ∴，b 异号， ∴＜0，b＞0， 由二次函数的对称性，b 关于对称轴的对称点为﹣b 2 ﹣， 若﹣1≤＜0， 则（+1）2 4 ﹣＝2， 解得a=−❑ √3（舍）， 若﹣b 2≤ ﹣ ＜﹣1， 则﹣4＝2，＝﹣2， 且（b+1）2 3 ﹣＝2b， 解得b¿ ❑ √3， ∴a+b=❑ √3−2， 若＜﹣b 2 ﹣， 则2＝﹣4，＝﹣2， 2b＝（+1）2 4 ﹣＝﹣3， ∴b=−3 2 （舍）， 故选：． 【题型4 二次函数中求线段最值】 【例4】（2020 春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4 与x 轴交于、B 两点（点在 点B 的左边），与y 轴交于点，连接，点P 在线段上，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于 点Q，则线段PQ 长的最大值为 ． 【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0 得（﹣4，0），再确定（0，4），则可利用待定系数 法求出直线的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以 PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题． 【解答过程】解：当y＝0 时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则（﹣4，0），B （﹣1，0）， 当x＝0 时，y＝x2+5x+4＝4，则（0，4）， 设直线的解析式为y＝kx+b， 把（﹣4，0），（0，4）代入得{ −4 k+b=0 b=4 ，解得{ k=1 b=4， ∴直线的解析式为y＝x+4， 设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4）， ∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4） ＝﹣t2 4 ﹣t ＝﹣（t+2）2+4， ∴当t＝﹣2 时，PQ 有最大值，最大值为4． 故答为4． 【变式4-1】（2020 秋•镇平县期末）如图，直线y¿−3 4 x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点 B，抛物线y¿−3 8 x 2+ 3 4 x+3 经过B，两点，点E 是直线B 上方抛物线上的一动点，过点 E 作y 轴的平行线交直线B 于点M，则EM 的最大值为 ． 【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM，化成顶点式即可求得 EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线B 上方抛物线上的一动点， ∴点E 的坐标是（m，−3 8 m2+3 4 m+3），点M 的坐标是（m，−3 4 m+3）， ∴EM¿−3 8m2+3 4 m+3﹣（−3 4 m+3）¿−3 8m2+3 2 m¿−3 8（m2 4 ﹣m）¿−3 8（m 2 ﹣）2+3 2 ， ∴当m＝2 时，EM 有最大值为3 2， 故答为3 2． 【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x＝﹣1 的抛物线y＝x2+bx+，与x 轴相交 于，B 两点，其中点的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标． （2）点是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D， 求线段QD 长度的最大值． 【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标； （2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线的解析式，再利用QD＝﹣ x 3 ﹣﹣（x2+2x 3 ﹣）进而求出最值． 【解答过程】解：（1）∵点（﹣3，0）与点B 关于直线x＝﹣1 对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵＝1，∴y＝x2+bx+． ∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1， ∴{ 9−3b+c=0 −b 2 =−1 ∴解得：{ b=2 c=−3， ∴y＝x2+2x 3 ﹣， 且点的坐标为（0，﹣3）． 设直线的解析式为y＝mx+， 则{ −3m+n=0 n=−3 ， 解得：{ m=−1 n=−3 ， ∴y＝﹣x 3 ﹣ 如图，设点Q 的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0． 则有QD＝﹣x 3 ﹣﹣（x2+2x 3 ﹣）＝﹣x2 3 ﹣x＝﹣（x+3 2 ）2+9 4 3 ∵﹣≤−3 2 ≤0，∴当x¿−3 2时，QD 有最大值9 4 ． ∴线段QD 长度的最大值为9 4 ． 【变式4-3】（2020 秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx +5 2 与x 轴交于（5，0），B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）若点M 是抛物线的顶点，连接M，M，求△M 的面积； （Ⅲ）若点P 是抛物线上的一动点，过点P 作PE 垂直y 轴于点E，交直线于点D，过点 D 作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标． 【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解； （Ⅱ）△M 的面积＝S△M+S△M¿ 1 2 ×M×，即可求解； （Ⅲ）点D 在直线上，设点D（m，−1 2 m+5 2 ），由题意得，四边形EDF 为矩形，故 EF＝D，即当线段EF 的长度最短时，只需要D 最短即可，进而求解． 【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y¿ 5 2，即（0，5 2） 设抛物线的表达式为y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x 5 ﹣）（x+1）， 将点的坐标代入上式得：5 2=¿（0 5 ﹣）（0+1）， 解得¿−1 2， 故抛物线的表达式为y¿−1 2（x 5 ﹣）（x+1）¿−1 2x2+2x+5 2 ； （Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，9 2）， 过点M 作M∥y 轴交于点， 设直线的表达式为y＝kx+t，则{ t=5 2 0=5k+t ， 解得{ k=−1 2 t=5 2 ， 故直线的表达式为y¿−1 2x+5 2 ， 当x＝2 时，y¿ 3 2，则M¿ 9 2−3 2=¿3， 则△M 的面积＝S△M+S△M¿ 1 2 ×M׿ 1 2 ×3×5¿ 15 2 ； （Ⅲ）点D 在直线上，设点D（m，−1 2 m+5 2 ）， 由题意得，四边形EDF 为矩形，故EF＝D，即当线段EF 的长度最短时，只需要D 最短 即可， 则EF2＝D2＝m2+（−1 2 m+5 2 ）2¿ 5 4 m2−5 2 m+25 4 ， ∵5 4 ＞0，故EF2存在最小值（即EF 最小），此时m＝1， 故点D（1，2）， ∵点P、D 的纵坐标相同， 故2¿−1 2x2+2x+5 2 ，解得x＝2±❑ √5， 故点P 的坐标为（2+❑ √5，2）或（2−❑ √5，2）． 【题型5 二次函数中求线段和最值】 【例5】（2020 秋•安居区期末）如图，在抛物线y＝﹣x2上有，B 两点，其横坐标分别为 1，2，在y 轴上有一动点，当B+最小时，则点的坐标是（ ） ．（0，0） B．（0，﹣1） ．（0，2） D．（0，﹣2） 【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，B 的坐标，作点B 关于y 轴 的对称点B′，连接B′交y 轴于点，此时B+最小，由点B 的坐标可得出点B′的坐标，由 点，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线B′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐 标特征，即可求出点的坐标． 【解答过程】解：当x＝1 时，y＝﹣12＝﹣1， ∴点的坐标为（1，﹣1）； 当x＝2 时，y＝﹣22＝﹣4， ∴点B 的坐标为（2，﹣4）． 作点B 关于y 轴的对称点B′，连接B′交y 轴于点，此时B+最小，如图所示． ∵点B 的坐标为（2，﹣4）， ∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）． 设直线B′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1，﹣1），B（﹣2，﹣4）代入y＝kx+b 得：{ k+b=−1 −2k+b=−4， 解得：{ k=1 b=−2， ∴直线B′的解析式为y＝x 2 ﹣． 当x＝0 时，y＝0 2 ﹣＝﹣2， ∴点的坐标为（0，﹣2）， ∴当B+最小时，点的坐标是（0，﹣2）． 故选：D． 【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q 的对称轴为x＝﹣3，过其 顶点M 的一条直线y＝kx+b 与该抛物线的另一个交点为（﹣1，1）．要在坐标轴上找一 点P，使得△PM 的周长最小，则点P 的坐标为（ ） ．（0，2） B．（4 3 ，0） ．（0，2）或（4 3 ，0） D．以上都不正确 【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使 △PM 的周长最小，M 的长度一定，所以只需（PM+P）取最小值即可． 然后，过点M 作关于y 轴对称的点M′，连接M′，M′与y 轴的交点即为所求的点P（如 图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M′，连接M′，则只需M′与x 轴的交点即为所求的 点P（如图2）． 【解答过程】解：如图，∵抛物线