专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（解析版）

专题229 二次函数中的最值问题【八大题型】 【人版】 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】..............................................................................2 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】..............................................................................................4 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】..................................................................................6 【题型4 二次函数中求线段最值】.......................................................................................................................10 【题型5 二次函数中求线段和差最值】............................................................................................................... 18 【题型6 二次函数中求周长最值】.......................................................................................................................32 【题型7 二次函数中求面积最值】.......................................................................................................................42 【题型8 二次函数在新定义中求最值】............................................................................................................... 52 【知识点1 二次函数的最值】 1 对于二次函数 在 上的最值问题（其中、b、、m 和均为定 值， 表示y 的最大值， 表示y 的最小值）： （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值． （2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ． （3）若 ，如图③，当， ；当 ， ． （4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ． x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a ④ ③ ② ① 2 对于二次函数 ，在 （m，为参数）条件下，函数的最值需 要分别讨论m，与 的大小． 1 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 【例1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2 2 ﹣x+m．当﹣3≤x≤3 时，则y 的最大值 为 15+ m （用含m 的式子表示）． 【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性 质，即可得到当﹣3≤x≤3 时，y 的最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2 2 ﹣x+m＝（x 1 ﹣）2 1+ ﹣ m， ∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1 时，有最小值， ∴当﹣3≤x≤3 时，y 取得最大值时对应的x 的值是﹣3， ∵当x＝﹣3 时，y＝（﹣3 1 ﹣）2 1+ ﹣ m＝15+m， ∴当﹣3≤x≤3 时，y 的最大值为15+m， 故答为：15+m． 【变式1-1】（2022 秋•河西区期末）当x≥2 时，二次函数y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣有（ ） ．最大值﹣3 B．最小值﹣3 ．最大值﹣4 D．最小值﹣4 【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：∵y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1 时，y 随x 的增大而增大， ∴当x≥2 时，函数有最小值y＝22 2×2 3 ﹣ ﹣＝﹣3， 故选：B． 【变式1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数y 的最小 值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1 时，y＝1； 当x＝2 时，y＝4； 所以函数y 的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据 二次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：小王的做法是错误的， 正确的做法如下： ∵二次函数y＝x2， ∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y 轴， 1≤ ∵﹣ x≤2， ∴当x＝0 时取得最小值，最小值是0， 1 当x＝2 时取得最大值，此时y＝4， 由上可得，当﹣1≤x≤1 时，函数y 的最小值是0，最大值是4． 【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点（3，0），且对称 轴为直线x＝1． （1）求b+的值． （2）当﹣4≤x≤3 时，求y 的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x 1 ﹣上，求平移后所 得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值． 【分析】（1）由对称轴−b 2 =¿1，求出b 的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣，即可 求解析式； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4 时，y 有最 大值21； （3）设顶点坐标为（，22 1 ﹣﹣），可求平移后的解析式为y＝（x﹣）2+22 1 ﹣﹣，设平 移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为，则＝32 1 ﹣﹣＝3（−1 6 ）2−13 12 ，即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣的对称轴为直线x＝1， ∴−b 2 =¿1， ∴b＝﹣2， ∵二次函数y＝x²+bx﹣的图象经过点（3，0）， 9 6 ∴﹣﹣＝0， ∴＝3， ∴b+＝1； （2）由（1）可得y＝x² 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 4≤ ∵﹣ x≤3， ∴当x＝﹣4 时，y 有最大值21； （3）平移抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x 1 ﹣上， ∴．设顶点坐标为（，22 1 ﹣﹣），故平移后的解析式为y＝（x﹣）2+22 1 ﹣﹣， ∴y＝x2 2 ﹣x+2+22 1 ﹣﹣＝x2 2 ﹣x+32 1 ﹣﹣， 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为， 则＝32 1 ﹣﹣＝3（−1 6 ）2−13 12 ， 1 ∴当¿ 1 6 时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为−13 12 ． 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2 4 ﹣mx（m 为不等于0 的常数）， 当﹣2≤x≤3 时，函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ） ．±1 6 B．−1 6 或1 2 ．−1 6 或2 3 D．1 6 或2 【分析】由二次函数y＝mx2 4 ﹣mx 可得对称轴为x＝2，分为m＞0 和m＜0 两种情况， 当m＞0 时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝2 取得最小值﹣2，将x＝ 2，y＝﹣2 代入y＝mx2 4 ﹣mx 中，解得m¿ 1 2，当m＜0 时，二次函数开口向下，当﹣ 2≤x≤3 时，函数在x＝﹣2 取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2 代入y＝mx2 4 ﹣mx 中，解 得m¿−1 6 ，即可求解． 【解答】解：∵二次函数为y＝mx2 4 ﹣mx， ∴对称轴为x¿ −b 2a = 4 m 2m =¿2， ①当m＞0 时， ∵二次函数开口向上， ∴当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝2 取得最小值﹣2， 将x＝2，y＝﹣2 代入y＝mx2 4 ﹣mx 中， 解得：m¿ 1 2， ②当m＜0 时， ∵二次函数开口向下， ∴当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝﹣2 取得最小值﹣2， 将x＝﹣2，y＝﹣2 代入y＝mx2 4 ﹣mx 中， 解得：m¿−1 6 ， 综上，m 的值为1 2或−1 6 ， 故选：B． 【变式2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于x 的二次函数y＝x2+2x+2+3，当0≤x≤1 时，y 的最大值为10，则的值为 2 ． 【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所 以可得0≤x≤1 在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答． 1 【解答】解：∵y＝x2+2x+2+3 ＝x2+2x+1+2+2 ＝（x+1）2+2+2， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1， ∵＝1＞0， ∴抛物线的开口方向向上， ∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而增大， ∵当0≤x≤1 时，y 的最大值为10， ∴当x＝1 时，y＝10， 把x＝1 时，y＝10 代入y＝x2+2x+2+3 中可得： 1+2+2+3＝10， ∴＝2， 故答为：2． 【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝x2 2 ﹣x+，当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值 7，最大值11，则+的值为（ ） ．3 B．9 ．29 3 D．25 3 【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2 时， 函数的最值为y＝﹣+和y＝3+，即可得出﹣++（3+）＝7+11，即2+2＝18，从而求得+ ＝9． 【解答】解：∵二次函数y＝x2 2 ﹣x+， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线x¿−−2a 2a =¿1， ∵当x＝1 时，y＝﹣2+＝﹣+；当x＝﹣1 时，y＝+2+＝3+； ∴当﹣1≤x≤2 时，函数的最值为y＝﹣+和y＝3+， ∵当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值7，最大值11， ++ ∴﹣ （3+）＝7+11，即2+2＝18， + ∴＝9， 故选：B． 【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+，当x＞0 时，函数的最小值为 ﹣3，当x≤0 时，函数的最小值为﹣2，则b 的值为（ ） ．6 B．2 ．﹣2 D．﹣3 【分析】根据二次函数y＝x2+bx+，当x＞0 时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对 1 称轴在y 轴右侧，4×1×c−b 2 4×1 =−¿3，−b 2 ＞0，再根据当x≤0 时，函数的最小值为﹣ 2，即可得到的值，然后将的值代入入4×1×c−b 2 4×1 =−¿3，即可得到b 的值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+，当x＞0 时，函数的最小值为﹣3， ∴该函数的对称轴在y 轴右侧，4×1×c−b 2 4×1 =−¿3，−b 2 ＞0， ∴b＜0， ∵当x≤0 时，函数的最小值为﹣2， ∴当x＝0 时，y＝＝﹣2， 将＝﹣2 代入4×1×c−b 2 4×1 =−¿3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2， 故选：． 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x 3 ﹣的最小值为﹣3，最大值为 1，则m 的取值范围是（ ） ．0≤m≤2 B．0≤m＜4 ．2≤m≤4 D．m≥2 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m 的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x 3 ﹣＝﹣（x 2 ﹣）2+1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2 时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下， ∵当0≤x≤m 时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0 时，y＝﹣3， 2≤ ∴ m≤4， 故选：． 【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2 4 ﹣x+5，当m≤x≤m+3 时，求y 的 最小值（用含m 的代数式表示）． 【分析】分四种情况讨论：①当m+3≤ 2 ﹣时，即m≤ 5 ﹣，y 的最小值为﹣m2 4 ﹣m+5；② 当m+3 2 ＜−¿2＜m+3 时，即﹣4＜m＜﹣3，y 的最小值为﹣m2 4 ﹣m+5；③当m＜﹣2≤m +3 2 时，即﹣3≤m＜﹣2，y 的最小值为﹣m2 8 ﹣m 7 ﹣；④当m≥ 2 ﹣时，y 的最小值为﹣m2 8 ﹣m 7 ﹣， 【解答】解：y＝﹣x2 4 ﹣x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴对称轴为直线x＝﹣2， 当m≥ 2 ﹣时，则当x＝m+3 时，y 有最小值为﹣（m+3）2 4 ﹣（m+3）+5＝﹣m2 10 ﹣ m﹣ 16， 1 当m＜﹣2＜m+3 时，即﹣5＜m＜﹣2， 当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小， 若m+3+2≥ 2 ﹣﹣m，即−7 2 ≤m＜﹣2 时， 当x＝m+3 时，y 有最小值为﹣（m+3）2 4 ﹣（m+3）+5＝﹣m2 10 ﹣ m 16 ﹣ ， 当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜−7 2时， 当x＝m 时，y 有最小值为﹣m2 4 ﹣m+5， 当m+3+2≤ 2 ﹣时，即m≤ 5 ﹣， y 的最小值为﹣m2 4 ﹣m+5； 综上所述：m≥−7 2时y 的最小值为﹣m2 10 ﹣ m 16 ﹣ ；当m＜−7 2时，y 的最小值为﹣m2 4 ﹣m+5． 【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝x2+bx 3 ﹣，其中、b 为实数，＜0，且经过 （3，0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）若＝﹣2，当t 2≤ ﹣ x≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值； （3）点坐标为（0，4），将点向右平移3 个单位长度，得到点B．若抛物线与线段B 有 两个公共点，求的取值范围． 【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得、b 的数量关系，把抛物线解析 式中的b 换成的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标； （2）分x＝t 和x＝t 2 ﹣在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可； （3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段B 有两个公共点时，结合图象即可判 断出的取值范围． 【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝x2+bx 3 ﹣得，9+3b 3 ﹣＝0， ∴b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x 1 ﹣）2+8， ∴对称轴为直线：x＝1， ∴当x＞1 时，y 随x 的增大而减小，当x＜1 时，y 随x 的增大而增大， ∵当t 2≤ ﹣ x≤t 时，函数的最大值是6， 1 ∴①当x＝t 和x＝t 2 ﹣在对称轴右侧时，有{ −2(t−2−1) 2+8=6 t−2＞1 ， 解得t＝4， ②当x＝t 和x＝t 2 ﹣在对称轴左侧时，有{ −2(t−1) 2+8=6 t ＜1 ， 解得t＝0， ③当x＝t 和x＝t 2 ﹣在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无 解， 综上，t 的值为0 或4； （3））∵点坐标为（0，4），将点向右平移3 个单位长度，得到点B， ∴B（3，4）， ∵y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 3 ﹣）（x+1）， ∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0）， 若此二次函数的图象与线段B 有两个交点， 则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间， 当抛物线经过点时，为一种临界情况， 将（0，4）代入， 4＝0 0 3 ﹣﹣， 解得＝−4 3 ， 当抛物线的顶点在线段B 上时，为一种临界情况， 此时顶点的纵坐标为4， 4 ∴﹣＝4， 解得＝﹣1， ∴−4 3 ≤＜﹣1． 1 【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴的一个交点为（﹣1， 0），且经过点（2，）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标． （2）当t≤x≤2﹣t 时，函数的最大值为M，最小值为，若M﹣＝3，求t 的值． 【分析】（1）由抛物线经过（2，）和（0，），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1， 即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）； （2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1 时取得最大值4，解得＝1，令y＝1 求 出值． 【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，）和（0，）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）． 即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（30）； （2）∵与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴{ 0=−1−b+c −b 2×(−1)=1 ， 解得：{ b=2 c=3， ∴y＝﹣x2+2x+3． ∵t≤x≤2﹣t， ∴t≤1，2﹣t≥1． ∴当t≤x≤2﹣t 时，当x＝1 时取得最大值4，即M＝4，当x＝t 或x＝2﹣t 时取得最小值， ∵M﹣＝3， ∴＝1． 令y＝l 得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1¿ ❑ √3+¿1（舍），t2¿−❑ √3+¿1， ∴t¿−❑ √3+¿1． 令y＝l 得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1¿ ❑ √3+¿1（舍），t2¿−❑ √3+¿1． ∴t¿−❑ √3+¿1． 综上：t¿−❑ √3+¿1． 【题型4 二次函数中求线段最值】 【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝x2+bx 2 ﹣与x 轴交于点（﹣2，0）、B （1，0），与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB+M 的最小值； 1 （3）若点P 是直线下方抛物线上的动点，过点P 作PQ⊥于点Q，线段PQ 是否存在最 大值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当、、M 三点共线时，MB+M 的值最小，最小值为，求出的长即为所求； （3）过点P 作PE∥y 轴交于E，当PD 最大时，△P 的面积最大，也就是PE 最大，先求 直线的解析式，设P（t，t2+t 2 ﹣），则E（t，﹣t 2 ﹣），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝ ﹣1 时，PE 有最大值，此时P（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）将点（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝x2+bx 2 ﹣， ∴{ a+b−2=0 4 a−2b−2=0， 解得{ a=1 b=1， ∴y＝x2+x 2 ﹣； （2）∵、B 关于抛物线的对称轴对称， ∴M＝BM， ∴MB+M≥M+M， 当、、M 三点共线时，MB+M