专题68 分段函数在生活实际中的应用（原卷版）(1)

【例1】．某公司专销产品，第一批产品上市40 天内全部售完、该公司对第一批产品上市 后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的 是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品的销售利润与 上市时间的关系． （1）写出第一批产品的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式； （2）写出每件产品的销售利润z 与上市时间t 的关系式； （3）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 变式训练 【变1-1】．某商户购进一批童装，40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝ ，销售单价p 例题精讲 （元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． （1）第15 天的日销售量为 件； （2）0＜x≤30 时，求日销售额的最大值； （3）在销售过程中，若日销售量不低于48 件的时间段为“火热销售期”，则“火热销 售期”共有多少天？ 【变1-2】．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社， 负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现， 草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的 产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1． （1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按03 万元/吨的标准奖励扶贫对象种植 户，为确保合作社所获利润′（万元）不低于55 万元，产量至少要达到多少吨？ 【例2】．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学 生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间 表t（分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10 时，图象是抛物线的一部分，当10≤t≤20 时和20≤t≤40 时，图象是线段． （1）当0≤t≤10 时，求注意力指标数y 与时间t 的函数关系式； （2）一道数学探究题需要讲解24 分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道 题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明． 变式训练 【变2-1】．络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲 自在某络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗 公司每天拿出2000 元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6 元/kg， 每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现， 销售单价不低于成本价且不高于30 元/kg．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本 将降低1 元，设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． （1）请求出日获利与销售单价x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当≥40000 元时，络平台将向板栗公司收取元/kg（＜4）的相关费用，若此时日获 利的最大值为42100 元，求的值． 【变2-2】．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20 元/kg，经过市场调研发现，这种水果 在未来48 天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为p ＝ ，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如 表： 时间t （天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量 y（kg） 118 114 108 100 80 40 … （1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30 天的日销售量是多少？ （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的前24 天中，公司决定每销售1kg 水果就捐赠元利润（＜9）给“精准 扶贫”对象．现发现：在前24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增 大，求的取值范围． 1．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y （元）与用水量x（吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别 交水费29 元和198 元，则四月份比三月份节约用水（ ） ．2 吨 B．25 吨 ．3 吨 D．35 吨 2．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11 立方米以内（包括 11 立方米）每立方米收费2 元，超过部分按每立方米24 元收取．如果某户使用9 立方 米燃气，需要燃气费为 元；如果某户的燃气使用量是x 立方米（x 超过11），那 么燃气费用y 与x 的函数关系式是 ． 3．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14 吨（含 14 吨），则每吨按政府补贴优惠价2 元收费；若每月用水量超过14 吨，则超过部分每 吨按市场价35 元收费．小明家2 月份用水20 吨，交水费49 元；3 月份用水18 吨，交水 费42 元． （1）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式； （2）小明家5 月份用水30 吨，则他家应交水费多少元？ 4．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360 立方米及 以下，价格为每立方米253 元 年用天然气量超出360 立方 米，不超600 立方米时，超 过360 立方米部分每立方米 价格为278 元 年用天然气量600 立方米以 上，超过600 立方米部分价 格为每立方米354 元 例：若某户2019 年使用天然气400 立方米，按该方计算，则需缴纳天然气费为： 253×360+278×（400 360 ﹣ ）＝1022（元） （1）若小明家2019 年使用天然气300 立方米，则需缴纳天然气费为 元（直接写 出结果）； （2）若小红家2019 年使用天然气560 立方米，则小红家2019 年需缴纳的天然气费为多 少元？ 5．在一段长为1000 的笔直道路B 上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已 知乙比甲先出发30 秒钟，甲距点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象 如图所示，乙的速度是150 米/分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回． （1）当x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． 6．“黄金1 号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2kg 以上的种子，超过2kg 部分 的种子的价格打8 折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 购买种子的数量/kg 15 2 35 4 … 付款金额/元 75 10 16 18 … （Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y 元，求y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30 元，求他购买种子的数量． 7．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电 费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问 题： （1）分别写出当0≤x≤100 和x＞100 时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电60 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125 元时，则该用 户该月用了多少度电？ 8．某商品的进价为每件40 元，售价每件不低于50 元且不高于80 元．售价为每件60 元时， 每个月可卖出100 件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖2 件．如果每件 商品的售价每降价1 元，则每个月多卖1 件，设每件商品的售价为x 元（x 为正整数）， 每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为x， 两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图象解决以下问 题． （1）甲，乙两地的距离为 km；慢车的速度为 km/． （2）求D 段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围） （3）求当x 为多少时，两车之间的距离为500km，请通过计算求出x 的值． 10．某水产市场经营一种海产品，其日销售量y（kg）与销售单价x（元/千克）的函数关系 如图所示． （1）分别求出当20≤x≤30，30＜x≤35 时，y 与x 之间的函数关系式． （2）当单价为32 元/千克时，日销售量是多少？ （3）当日销售量为80kg 时，单价是多少？ 11．“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直 的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（）之间的函数关系 式如图1 中线段B 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲 地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（）之间的函数关系式如图2 中折线段D﹣ DE﹣EF 所示． （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求点E 的坐标，并解释点E 的实际意义． 12．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭 每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：15：2．如图折 线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x（m3）之间的函数关系．其中线段B 表示第二级阶梯时y 与x 之间的函数关系． （1）写出点B 的实际意义； （2）求线段B 所在直线的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）某户5 月份按照阶梯水价应缴水费108 元，其相应用水量为多少立方米？ 13．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情 况下人的身高是指距d 的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（m） 20 21 22 23 身高（m） 160 169 178 187 （1）求出与d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量d 的取值范围） （2）某人身高为196m，一般情况下他的指距应是多少？ 14．某市推出电脑上包月制，每月收取费用y（元）与上时间x（小时）的函数关系如图所 示，其中B 是线段，且B∥x 轴，是射线． （1）当x≥30，求y 与x 之间的函数关系式； （2）若小王4 月份上20 小时，他应付多少元的上费用？ （3）若小王5 月份上费用为98 元，则他在该月份的上时间是多少． 15．为提高校绿化率，美化校，某示范高中准备购买一批樟树和樱花树，一共100 棵，其 中樟树不少于10 棵．林部门称樟树成活率为70%，樱花树的成活率为90%，学校要求 这批树的成活率不低于80%．樟树的单价y1和购买数量x 的函数关系以及樱花树的单价 y2和购买数量x 的函数关系如图所示． （1）写出y1关于x 的函数关系式； （2）请你帮学校作个预算，购买这批树最少需要多少钱？ 16．，B 两地相距300km，甲、乙两车同时从地出发驶向B 地，甲车到达B 地后立即返回． 如图是两车离地的距离y（km）与行驶时间x（）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （2）若两车行驶5 相遇，求乙车的速度． 17．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八 方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．水果种植 专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水 果按2 元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函 数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤500 和x＞500 时，y 与x 之间的函数关系式． （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共1200 千克，且甲种水果不少于400 千 克，但又不超过乙种水果的两倍．问经销商要确保完成收购计划，至少准备多少资金？ 18．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么 服药后2 小时时血液中含药量最高，达每毫升6 微克，接着逐步衰减，10 小时血液中含 药量为每毫升3 微克，每毫升血液中含药量y 微克随时间x 小时主变化如图所示，当成 人按规定剂是服药后， （1）分别求出x＜2 和x＞2 时y 与x 的函数关系式， （2）如果每毫升血液中含药量为4 微克或4 微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么 这个有效时间是多长？ 19．甲骑电瓶车，乙骑自行车从西山漾公丝绸小镇门口出发沿同一路线匀速前往太湖龙之 梦乐，设乙行驶的时间为x（），甲、乙两人距出发点的路程s 甲、s 乙关于x 的函数图象 如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y 关于x 的函数图象如图②所示，请你解决以 下问题： （1）甲的速度 km/，乙的速度是 km/； （2）对比图①、图②可知：＝ ，b＝ ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为75km？ 20．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400 米．甲从小区步行去学校， 出发10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车 点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5 米．设甲步行 的时间为x（分），图1 中线段和折线B﹣﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程y（米） 与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2 表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲 步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）． 根据图1 和图2 中所给信息，解答下列问题： （1）甲步行的速度 ，乙出发时甲离小区的距离 ； （2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）在图2 中，求出当25≤x≤30 时s 关于x 的函数关系式．