专题68 分段函数在生活实际中的应用（解析版）

【例1】．某公司专销产品，第一批产品上市40 天内全部售完、该公司对第一批产品上市 后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的 是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品的销售利润与 上市时间的关系． （1）写出第一批产品的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式； （2）写出每件产品的销售利润z 与上市时间t 的关系式； （3）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 解：（1）由图1 可得， 当0≤t≤30 时，设市场的日销售量y＝kt， ∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k， ∴k＝2，即y＝2t； 当30＜t≤40 时，设市场的日销售量y＝k1t+b， ∵点（30，60）和（40，0）在图象上， ∴ 解得k1＝﹣6，b＝240． ∴y＝﹣6t+240． 故y＝ ； （2）由图②可得： 当0≤t≤20 时，每件产品的日销售利润为z＝3t； 例题精讲 当20＜t≤40 时，每件产品的日销售利润为z＝60； 故z＝ ； （3）①当0≤t≤20 时， ＝3t•2t＝6t2． t＝20 时，的最大值为2400（万元）； ②当20＜t≤30 时， ＝2t•60＝120t． t＝30 时，的最大值为3600（万元）； ③当30＜t≤40 时， ＝60（﹣6t+240） ＝﹣360t+14400 ∵k＝﹣360＜0， ∴随t 的增大而减小． ∴＜﹣360×30+14400 即＜3600（万元） ∴第30 天取最大利润3600 万元． 变式训练 【变1-1】．某商户购进一批童装，40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝ ，销售单价p （元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． （1）第15 天的日销售量为 30 件； （2）0＜x≤30 时，求日销售额的最大值； （3）在销售过程中，若日销售量不低于48 件的时间段为“火热销售期”，则“火热销 售期”共有多少天？ 解：（1 ）∵日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的关系式是y ＝ ， ∴第15 天的销售量为2×15＝30 件， 故答为：30； （2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得： p＝ ， ①当0＜x≤20 时， 日销售额＝40×2x＝80x， 80 ∵ ＞0， ∴日销售额随x 的增大而增大， ∴当x＝20 时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）； ②当20＜x≤30 时， 日销售额＝（50﹣ x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x 50 ﹣ ）2+2500， 1 ∵﹣＜0， ∴当x＜50 时，日销售额随x 的增大而增大， ∴当x＝30 时，日销售额最大，最大值为2100（元）， 综上，当0＜x≤30 时，日销售额的最大值为2100 元； （3）由题意得： 当0＜x≤30 时，2x≥48， 解得：24≤x≤30， 当30＜x≤40 时，﹣6x+240≥48， 解得：30＜x≤32， ∴当24≤x≤32 时，日销售量不低于48 件， ∵x 为整数， ∴x 的整数值有9 个， “ ∴火热销售期”共有9 天． 【变1-2】．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社， 负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现， 草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的 产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1． （1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按03 万元/吨的标准奖励扶贫对象种植 户，为确保合作社所获利润′（万元）不低于55 万元，产量至少要达到多少吨？ 解：（1）当0≤x≤30 时，y＝24； 当30≤x≤70 时，设y＝kx+b， 把（30，24），（70，2）代入得 ，解得 ， ∴y＝﹣001x+27； 当70≤x≤100 时，y＝2； （2）当0≤x≤30 时，＝24x﹣（x+1）＝14x 1 ﹣； 当30≤x≤70 时，＝（﹣001x+27）x﹣（x+1）＝﹣001x2+17x 1 ﹣； 当70≤x≤100 时，＝2x﹣（x+1）＝x 1 ﹣； （3）当0≤x＜30 时，′＝14x 1 03 ﹣﹣ x＝11x 1 ﹣，当x＝30 时，′的最大值为32，不合题意； 当30≤x≤70 时，′＝﹣001x2+17x 1 03 ﹣﹣ x＝﹣001x2+14x 1 ﹣＝﹣001（x 70 ﹣ ）2+48，当x ＝70 时，′的最大值为48，不合题意； 当70≤x≤100 时，′＝x 1 03 ﹣﹣ x＝07x 1 ﹣，当x＝100 时，′的最大值为69，此时07x﹣ 1≥55，解得x≥80， 所以产量至少要达到80 吨． 【例2】．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学 生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间 表t（分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10 时，图象是抛物线的一部分，当10≤t≤20 时和20≤t≤40 时，图象是线段． （1）当0≤t≤10 时，求注意力指标数y 与时间t 的函数关系式； （2）一道数学探究题需要讲解24 分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道 题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明． 解：（1）当0≤t≤10 时，设抛物线的函数关系式为y＝x2+bx+．由于它的图象经过点 （0，25），（4，45），（10，60）， 所以 ， 解得： ， 所以 ； （2）当20≤x≤40 时，设函数解析式为：y＝kx+d，将（20，60），（40，25）代入得： ， 解得： ∴y＝﹣ x+95， 令y＝45，有45＝﹣ x+95， 解得：x＝28 ， 即讲课后第28 分钟时注意力不低于45， 当0≤x≤10 时，令y＝45，有45＝﹣ x2+6x+25， 解得：x1＝4，x2＝20（舍去）， 即讲课后第4 分钟时，注意力不低于45， 所以讲课后注意力不低于45 的时间有28 4 ﹣＝24 （分钟）＞24（分钟）， 所以老师可以经过适当的安排，使学生在探究这道数学题时，注意力指数不低于45． 变式训练 【变2-1】．络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲 自在某络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗 公司每天拿出2000 元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6 元/kg， 每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现， 销售单价不低于成本价且不高于30 元/kg．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本 将降低1 元，设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． （1）请求出日获利与销售单价x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当≥40000 元时，络平台将向板栗公司收取元/kg（＜4）的相关费用，若此时日获 利的最大值为42100 元，求的值． 解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000， ∴x≤10， ∴当6≤x≤10 时，＝（x 6+1 ﹣ ）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x 27000 ﹣ ， 当10＜x≤30 时，＝（x 6 ﹣）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x 32000 ﹣ ， 综上所述：＝ ； （2）当6≤x≤10 时，＝﹣100x2+5500x 27000 ﹣ ＝﹣100（x﹣ ）2+48625， ∵＝﹣100＜0，对称轴为x＝ ， ∴当6≤x≤10 时，随x 的增大而增大，即当x＝10 时，最大值＝18000 元， 当10＜x≤30 时，＝﹣100x2+5600x 32000 ﹣ ＝﹣100（x 28 ﹣ ）2+46400， ∵＝﹣100＜0，对称轴为x＝28， ∴当x＝28 时，有最大值为46400 元， 46400 ∵ ＞18000， ∴当销售单价定为28 元/kg 时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400 元； （3）∵40000＞18000， 10 ∴ ＜x≤30， ∴＝﹣100x2+5600x 32000 ﹣ ， 当＝40000 元时，40000＝﹣100x2+5600x 32000 ﹣ ， ∴x1＝20，x2＝36， ∴当20≤x≤36 时，≥40000， 又∵10＜x≤30， 20≤ ∴ x≤30， 此时：日获利1＝（x 6 ﹣﹣）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100）x 32000 ﹣ 5000 ﹣ ， ∴对称轴为直线x＝﹣ ＝28+ ， ∵＜4， 28+ ∴ ＜30， ∴当x＝28+ 时，日获利的最大值为42100 元， ∴（28+ 6 ﹣﹣）[ 100× ﹣ （28+ ）+5000] 2000 ﹣ ＝42100， ∴1＝2，2＝86， ∵＜4， ∴＝2． 【变2-2】．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20 元/kg，经过市场调研发现，这种水果 在未来48 天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为p ＝ ，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如 表： 时间t （天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量 y（kg） 118 114 108 100 80 40 … （1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30 天的日销售量是多少？ （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的前24 天中，公司决定每销售1kg 水果就捐赠元利润（＜9）给“精准 扶贫”对象．现发现：在前24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增 大，求的取值范围． 解：（1）设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114 代入得到： 解得 ， ∴y＝﹣2t+120． 将t＝30 代入上式，得：y＝﹣2×30+120＝60． 所以在第30 天的日销售量是60kg． （2）设第t 天的销售利润为元． 当1≤t≤24 时，由题意＝（﹣2t+120）（ t+30 20 ﹣ ）＝﹣ （t 10 ﹣ ）2+1250， ∴t＝10 时，最大值为1250 元． 当25≤t≤48 时，＝（﹣2t+120）（﹣ t+48 20 ﹣ ）＝t2 116 ﹣ t+3360， ∵对称轴t＝58，＝1＞0， ∴在对称轴左侧随t 增大而减小， ∴t＝25 时，最大值＝1085， 综上所述第10 天利润最大，最大利润为1250 元． （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元． 由题意m＝（﹣2t+120）（ t+30 20 ﹣ ）﹣（﹣2t+120）＝﹣ t2+（10+2）t+1200﹣ 120， ∵在前24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大， ∵t 为整数，图象是孤立的点， ∴﹣ ＞235，（见图中提示） ∴＞675． 又∵＜9， ∴的取值范围为675＜＜9． 1．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y （元）与用水量x（吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别 交水费29 元和198 元，则四月份比三月份节约用水（ ） ．2 吨 B．25 吨 ．3 吨 D．35 吨 解：当x＜10 时，设y＝mx， 将点（10，22）代入可得：22＝10k， 解得：k＝22， 即可得：y＝22x， 当x≥10 时，设y 与x 的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 当x＝10 时，y＝22，当x＝20 时，y＝57， 将它们分别代入y＝kx+b 中得： ， 解得： ， 那么y 与x 的函数关系式为：y＝35x 13 ﹣ ， 综上可得：y＝ ， 当y＝29 时，知道x＞10，将y＝29 代入得29＝35x 13 ﹣ ， 解得x＝12， 当y＝198 时，知道x＜10，将y＝198 代入得198＝22x， 解得：x＝9， 即可得四月份比三月份节约用水：12 9 ﹣＝3（吨）． 故选：． 2．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11 立方米以内（包括 11 立方米）每立方米收费2 元，超过部分按每立方米24 元收取．如果某户使用9 立方 米燃气，需要燃气费为 18 元；如果某户的燃气使用量是x 立方米（x 超过11），那 么燃气费用y 与x 的函数关系式是 y ＝ 24 x 44 ﹣ ． 解：使用9 立方米燃气，需要燃气费为：2×9＝18（元）； y＝2×11+24（x 11 ﹣ ），即所求的函数解析式为y＝24x 44 ﹣ （x＞11）． 故答为：18；y＝24x 44 ﹣ 3．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14 吨（含 14 吨），则每吨按政府补贴优惠价2 元收费；若每月用水量超过14 吨，则超过部分每 吨按市场价35 元收费．小明家2 月份用水20 吨，交水费49 元；3 月份用水18 吨，交水 费42 元． （1）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式； （2）小明家5 月份用水30 吨，则他家应交水费多少元？ 解：（1）由题意可得， 当0≤x≤14 时，y＝2x， 当x＞14 时，y＝2×14+（x 14 ﹣ ）×35＝35x 21 ﹣ ， 由上可得，y 与x 的函数关系式为y＝ ； （2）当x＝30 时，y＝35×30 21 ﹣ ＝84， 即小明家5 月份用水30 吨，则他家应交水费84 元． 4．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360 立方米及 以下，价格为每立方米253 元 年用天然气量超出360 立方 米，不超600 立方米时，超 过360 立方米部分每立方米 年用天然气量600 立方米以 上，超过600 立方米部分价 格为每立方米354 元 价格为278 元 例：若某户2019 年使用天然气400 立方米，按该方计算，则需缴纳天然气费为： 253×360+278×（400 360 ﹣ ）＝1022（元） （1）若小明家2019 年使用天然气300 立方米，则需缴纳天然气费为 759 元（直接 写出结果）； （2）若小红家2019 年使用天然气560 立方米，则小红家2019 年需缴纳的天然气费为多 少元？ 解：（1）由题意可得， 300×253＝759（元）， 即小明家2019 年使用天然气300 立方米，则需缴纳天然气费为759 元， 故答为：759； （2）由题意可得， 360×253+（560 360 ﹣ ）×278 ＝9108+200×278 ＝9108+556 ＝14668（元）， 答：小红家2019 年需缴纳的天然气费14668 元． 5．在一段长为1000 的笔直道路B 上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已 知乙比甲先出发30 秒钟，甲距点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象 如图所示，乙的速度是150 米/分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回． （1）当x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． 解：（1）甲开始时的速度为：1000÷4＝250（米/分钟）， 令250x＝150（x+ ）， 解得，x＝075， 答：当x 为075 分钟时，两人第一次相遇； （2）当x＝5 时， 乙跑的路程为：150×（5+ ）＝825＜1000， ∴甲乙第二次相遇的时间为：5+ ＝55（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲跑的总路程为：1000+（55 5 ﹣）× ＝1100（米）， 答：当两人第二次相遇时，甲跑的总路程是1100 米． 6．“黄金1 号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2kg 以上的种子，超过2kg 部分 的种子的价格打8 折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 购买种子的数量/kg 15 2 35 4 … 付款金额/元 75 10 16 18 … （Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y 元，求y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30 元，求他购买种子的数量． 解：（Ⅰ）10，18； （Ⅱ）根据题意得， 当0≤x≤2 时，种子的价格为5 元/千克， ∴y＝5x， 当x＞2 时，其中有2 千克的种子按5 元/千克计价，超过部分按4 元/千克计价， ∴y＝5×2+4（x 2 ﹣）＝4x+2， y 关于x 的函数解析式为y＝ ； （Ⅲ）∵30＞10， ∴一次性购买种子超过2 千克， 4 ∴x+2＝30． 解得x＝7， 答：他购买种子的数量是7 千克． 7．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电 费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问 题： （1）分别写出当0≤x≤100 和x＞100 时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电60 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125 元时，则该用 户该月用了多少度电？ 解：（1）当0≤x≤100 时，设关系式为y＝kx，把（100，65）代入得：k＝065， ∴y＝065x（0≤x≤100） 当x＞100 时，设y 与x 的函数关系式为y＝kx+b，把（100，65）（130，89）代入得： ，解得：k＝08，b＝﹣15， ∴y＝08x 15 ﹣ （x＞100） 答：当0≤x≤100 和x＞100 时，y 与x 的函数关系式分别为y＝065x（0≤x≤100），y＝08x 15 ﹣ （x＞100）． （2）当0≤x≤100 时，每度电收费065 元，当x＞100 时，每度电收费08 元． （3）当x＝60 时，代入y＝065x＝39 元， 当y＝125 时，代入y＝08x 15 ﹣ 得：x＝175 度， 答：用电60 度，则应缴费39 元；月缴费125 元时，则该用户该月用了175 度电． 8．某商品的进价为每件40 元，售价每件不低于50 元且不高于80 元．售价为每件60 元时， 每个月可卖出100 件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖2 件．如果每件 商品的售价每降价1 元，则每个月多卖1 件，设每件商品的售价为x 元（x 为正整数）， 每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x