专题8.3 三元一次方程组【七大题型】（解析版）

专题83 三元一次方程组【七大题型】 【人版】 【题型1 三元一次方程（组）的解】.....................................................................................................................1 【题型2 用消元法解三元一次方程组】................................................................................................................. 3 【题型3 用换元法解三元一次方程组】................................................................................................................. 6 【题型4 构建三元一次方程组解题】.....................................................................................................................8 【题型5 运用整体思想求值】...............................................................................................................................10 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】........................................................................................................... 13 【题型7 三元一次方程组的应用】.......................................................................................................................18 【知识点1 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根 据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元， 转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【题型1 三元一次方程（组）的解】 【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程x+ y=2的正整数解只有1 组，方 程x+ y=3的正整数解只有2 组，方程x+ y=4的正整数解只有3 组，……，那么方程 x+ y+z=9的正整数解的组数是（ ） ．27 B．28 ．29 D．30 【答】B 【分析】先把x+y 看作整体t，得到t+x=9 的正整数解有7 组；再分析x 十y 分别等于2、 3、4、……、9 时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数． 【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9 的正整数解有7 组（t=2，1=3，t=4，……，t=8） 其中t=x+y=2 的正整数解有1 组， t=x+y=3 的正整数解有2 组， t=x+y=4 的正整数解有3 组 ……， t=x+y=8 的正整数解有7 组， 总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28． 故选：B． 1 【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知 数看作一个整休，再分别计算． 【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知¿是方程组¿的解，则 a+b+c的值为（ ） ．3 B．2 ．1 D．0 【答】 【分析】把¿代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答 【详解】解：根据题意， 把¿代入方程组，得¿， 由①+②+③，得4 a+4 b+4 c=12， ∴a+b+c=3； 故选： 【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方 法进行计算 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程x+2 y+3 z=14 (x< y<z )的正整数解是__ ______． 【答】¿ 【分析】由x+2 y+3 z=14 (x< y<z )，可得出x< 7 3，z> 7 3，又由x , y , z 均为正整数，分 析即可得到正确答． 【详解】解：∵x< y<z， ∴¿ ∴6 x<x+2 y+3 z=14 ∴x< 7 3 ， 同理可得：z> 7 3 又∵x , y , z 均为正整数 ∴满足条件的解有且只有一组，即¿ 故答为：¿ 【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键． 【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999 的非负整数解的 个数有（ ） ．20001999 个 B．19992000 个 ．2001000 个 D．2001999 个 1 【答】 【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y 分别取0，1，2…，1999 时，z 取1999，1998，…，0， 有2000 个整数解；当x＝1 时，y+z＝1998，有1999 个整数解；…当x＝1999 时，y+z＝0， 只有1 组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答． 【详解】当x＝0 时，y+z＝1999，y 分别取0，1，2…，1999 时，z 取1999，1998，…，0， 有2000 个整数解； 当x＝1 时，y+z＝1998，有1999 个整数解； 当x＝2 时，y+z＝1997，有1998 个整数解； … 当x＝1999 时，y+z＝0，只有1 组整数解； ∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001× 2000 2 ＝2001000 个 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一 次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组¿的解________． 【答】¿ 【分析】利用消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：¿， 由①+¿②得：5 x+ y=26④， 由①+¿③得：3 x+5 y=42⑤， 由④×5−¿⑤得：25 x−3 x=130−42， 解得x=4， 将x=4代入④得：20+ y=26， 解得y=6， 将x=4，y=6代入③得：4+12+z=24， 解得z=8， 则方程组的解为¿， 故答为：¿． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知¿且x＋y＝3，则z 的值为( ) ．9 B．－3 ．12 D．不确定 【答】B 1 【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法 即可求解 【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得¿, 由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3, 故选B 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进 行化简是解题关键 【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组： （1）¿；（2）¿． 【答】（1）¿；（2）¿． 【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z 二元一次方程组求解； （2）①−3×②消去y 组成关于x、z 二元一次方程组求解． 【详解】解：（1）¿， 把①代入②得11x＋2z＝23④， ③、④组成方程组得¿， 解得¿，代入①得y＝−3， 所以原方程组的解为¿； （4）¿ ①−3×②得4x＋6z＝9④， ④、③组成方程组得¿， 解得¿，代入①得y＝5 3， 所以原方程组的解为¿． 【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，代入消元法和加减消元法是常用的方法，加减 消元法是比较简洁的方法． 【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其 “方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组¿，将其中数字排成长 方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第 一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 其本质就是在消元．那么其中的，b 的值分别是（ ） ．24，4 B．17，4 ．24，0 D．17，0 1 【答】 【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解． 【详解】解：¿ 由②×3，得 6x+9y+3z=102④， 由④-①，得 3x+7y+2z=63⑤， 由⑤-①，得 5y+z=24， =24 ∴ ， 由③×3，得 3x+6y+9z=78⑥， 由⑥-①，得 4y+8z=39， ∴b=4， 故选：． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图 一一对应． 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组¿的解是¿ 【答】6，12，18 【分析】由于x：y：z=1：2：3，则可设x=t，y=2t，z=3t，再把它们代入第二个方程得到关 于t 的一次方程，求出t 即可得到x、y、z 的值． 【详解】解：设x=t，则y=2t，z=3t， 所以t+2t+3t=36， 解得t=6， 所以x=6，y=12，z=18． 故答为6，12，18． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的 问题转化为解二元一次方程组． 【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组¿若设x 2= y 3 = z 4 =k ，则k= ______． 【答】2 1 【详解】分析：求出x=2k ，y=3k ，z=4 k ， 代入5 x−2 y+z=16， 得出关于k 的 方程，求出方程的解即可． 详解：设x 2= y 3 = z 4 =k , 则x=2k，y=3k，z=4k， 代入5x−2y+z=16 得：10k−6k+4k=16， 解得：k=2， 故答为2 点睛：考查解三元一次方程组，根据x 2= y 3 = z 4 =k ,得出x=2k，y=3k，z=4k，是解题的关键 【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组¿，如果令1 x =，1 y =B，1 z =，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出，B，的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【答】¿；解方程组过程见解析；1 2；−1；1 3 【分析】根据换元法可以将原方程组化为¿，①+②+③得出A+B+C=4然后分别求出、 B、的值即可． 【详解】解：令1 x =，1 y =B，1 z =，则方程组¿可变为：¿， ①+②+③得A+B+C=4 ④， ④−①得：C=3， ④−②得：A=2， ④−③得：B=−1， ∴¿， 解得：¿． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出A+B+C=4，是解题的关键 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0 且2 y+z x =2 x+ y z =2 z+x y =k， 则k＝_________． 【答】3 【详解】∵2 y+z x =2 x+ y z =2 z+x y =k， ∴2 y+z=kx ，2 x+ y=kz，2 z+x=ky， ∴2 y+z+2 x+ y+2 z+x=kx+ky+kz，即3( x+ y+z)=k( x+ y+z) 1 又∵x+ y+z≠0， ∴k=3 【题型4 构建三元一次方程组解题】 【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y 定义新运算： x⊗y=ax+by+c，其中，b，均为常数，且已知3⊗5=15，4⊗7=28，则2⊗3的值 为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【答】 【分析】根据新定义运算得出¿，求出2a+3b+c=2，即可求解． 【详解】∵ x⊗y=ax+by+c， ∴ ¿， 由①×2-②，得2a+3b+c=2， ∴2⊗3=2a+3b+c=2， 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和三元一次方程组，熟练掌握有理数的加 减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键． 【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z 的值是__ ____． 【答】6 【详解】由题意得{ x+ y−3=0 y+z−5=0 z+x−4=0 ,解得{ x=1 y=2 z=3 ．故x+y+z=6． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子y=a x 2+bx+c中，当x=0 时，y=1；当 x=1 时，y=0；当x=-1 时，y=4，则，b，的值分别为__________． 【答】1, -2，1 【详解】分析：将已知三对值代入已知等式，得到关于，b，的方程组，求出方程组的解即 可得到，b，的值． 详解：将已知三对值分别代入y=x2+bx+得：¿， 将①代入②得：+b+1=0，即+b=-1④； 将①代入③得：-b+1=4，即-b=3⑤， ④+⑤得：2=2，即=1， ④-⑤得：2b=-4，即b=-2， 则=1，b=-2，=1． 点睛：此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的 1 关键． 【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y 定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中， b，为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x， 则d 的值是____． 【答】4 【分析】由新定义的运算x⋅y=ax+by+cxy，及1⋅2=3，2⋅3=4，构造方程组，不难得 到参数a，b，c之间的关系．又由有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x⋅d=x， 可以得到一个关于d的方程，解方程即可求出满足条件的d的值． 【详解】解：∵x⋅y=ax+by+cxy， 由1⋅2=3，2⋅3=4，即¿， ∴b=2+2c，a=−1−6c． 又由x⋅m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立， ∴ ¿， ∵d为非零实数， ∴b=0=2+2c， ∴c=−1． ∴(−1−6c)+cd=1． ∴−1+6−d=1． ∴d=4． 故答为：4． 【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关 键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题． 【题型5 运用整体思想求值】 【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y 满足3 x−y=5①， 2 x+3 y=7②，求x−4 y和7 x+5 y的值． 本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y 的值，再代入欲求值的整式得 到答，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题 还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x−4 y=−2，由①+②×2 可得 7 x+5 y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组¿，则x−y=¿__________，x+ y=¿_________． (2)对于实数x、y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中、b、是常数，等式右边是通常的 加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，求1∗1的值． 1 【答】(1)-1，5 (2)-11 【分析】（1）利用①-②可得x-y 的值，利用1 3（①+②）可得x+y 的值； （2）根据新运算的定义可得出、b、的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出+b+的值， 即1∗1的值． （1） ¿， 由①-②可得：x-y=-1， 由1 3（①+②）可得：x+y=5， 故答为：-1，5； （2） 依题意得：¿， 由3×①−2×②可得：+b+=-11， 即1∗1= +b+=-11． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找 出方程的关系并运用“整体思想”解方程． 【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组¿，则x+ y+z的值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】将三个方程相加计算即可． 【详解】因为¿， 将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3， 解得x+ y+z=2， 故选B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 【变式5-2】（2022·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组¿ 【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以 把x+y 视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为 一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得 1 （2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组¿ 【答】【完成解答】¿；【迁移运用】¿ 【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x 的值，再把x 的值代入①即可求解； （2）【迁移运用】把①代入③求出的值，把的值代入②求出的值，再把的值代入①即可求 解． 【详解】解：（1）【完成解答】把①代入②，得5 x−9=1，解得x=2， 把x=2代入①，可得y=1， ∴方程组的解为¿； （2）【迁移运用】把①代入③，得5−c=1，解得c=4， 把c=4代入②，得2a+12=16，解得a=2， 把a=2代入①，得b=3， ∴方程组的解为¿． 【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键． 【变式5-3】（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组¿时， 采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为8 x+20 y+2 y=10，即2 (4 x+10 y )+2 y=10③，把方程①代入③得， 2×6+2 y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x =4，所以方程组的解为：¿ 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解¿ （2）已知x､y､z，满足¿，求z 的值． 【答】（1）¿；（2）z=2 【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可； （2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z 的值即可． 【详解】解：（1）