专题24.1 圆【七大题型】（解析版）

专题241 圆【七大题型】 【人版】 【题型1 圆的概念】................................................................................................................................................. 1 【题型2 圆的有关概念】.........................................................................................................................................4 【题型3 确定圆的条件】.........................................................................................................................................6 【题型4 点与圆的位置关系】.................................................................................................................................9 【题型5 圆中角度的计算】...................................................................................................................................12 【题型6 圆中线段长度的计算】...........................................................................................................................15 【题型7 圆相关概念的应用】...............................................................................................................................18 【知识点1 圆的概念】 定义①：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫 做圆． 固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆”． 定义②：圆可以看做是所有到定点的距离等于定长r 的点的集合． 【题型1 圆的概念】 【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ） ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得． 【解答】解：．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； B．圆有无数条对称轴，正确； ．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误； D．圆的对称中心是它的圆心，正确； 故选：． 【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或 等于3 的点组成的图形的面积为（ ） ．4π B．9π ．5π D．13π 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 1 【解答】解：由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3 的点组成的图形 的面积为以3 为半径的圆与以2 为半径的圆组成的圆环的面积， 即π×32 π×2 ﹣ 2＝5π， 故选：． 【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙1的半径等于篮球的半径，⊙2的半径等于 一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1 米，则面积增加较多的圆是（ ） ．⊙1 B．⊙2 ．两圆增加的面积是相同的 D．无法确定 【分析】先由L＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然 后进行比较大小即可． 【解答】解：设⊙1的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙2的半径等于r，变大后的半 径等于r′，其中R＞r． 由题意得，2πR+1＝2πR′，2πr+1＝2πr′， 解得R′＝R+1 2π ，r′＝r+1 2π ； 所以R′﹣R¿ 1 2π ，r′﹣r¿ 1 2π ， 所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长1 2π ． ∴⊙1 的面积＝πR2，变大后的面积¿ π( R+ 1 2π ) 2，面积增加了π( R+ 1 2π ) 2−¿πR2＝R +1 4 π ， ⊙2的面积＝πr2，变大后的面积¿ π(r+ 1 2π ) 2，面积增加了π(r+ 1 2π ) 2−π r 2=¿r +1 4 π ， ∵R＞r， R ∴+1 4 π ＞r +1 4 π ， ∴⊙1的面积增加的多． 故选：． 【变式1-3】（2022•浙江）如图，B 是⊙的直径，把B 分成几条相等的线段，以每条线段 为直径分别画小圆，设B＝，那么⊙的周长l＝π． 计算：（1）把B 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2=1 2 πa=1 2 l； 1 （2）把B 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ 1 3l ； （3）把B 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ 1 4 l ； （4）把B 分成条相等的线段，每个小圆的周长l＝ 1 nl ． 结论：把大圆的直径分成条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆 周长是大圆周长的 1 n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与 大圆面积的关系． 【分析】把大圆的直径分成条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小 圆周长是l＝π（1 n）¿ 1 nl，即每个小圆周长是大圆周长的1 n；根据圆的面积公式求得每 个小圆的面积和大圆的面积后比较． 【解答】解：（2）1 3l； （3）1 4 l； （4）1 nl；1 n； 每个小圆面积＝π（1 2•1 n）2¿ 1 4 •π a 2 n 2 ，而大圆的面积＝π（1 2•）2¿ 1 4 π2 即每个小圆的面积是大圆的面积的1 n 2． 【知识点2 与圆有关的概念】 1 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧， 简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆 的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【题型2 圆的有关概念】 【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③ 过圆内一点P 的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可． 【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段． ②圆的直径被该圆的圆心平分，正确． ③过圆内一点P 的直径仅有一条，错误，点P 是圆心时，直径有无数条． ④弧是圆的一部分，正确． 故选：B． 【变式2-1】（2022 图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ） ．1 B．4 ．10 D．11 【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可． 【解答】解：∵一个圆的半径为5， ∴圆中最长的弦是10， ∴弦长不可能为11， 故选：D． 【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 1 条直径，有 4 条弦，以点为端点的 优弧有 2 条，有劣弧 2 条． 【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得． 【解答】解：图中直径只有B 这1 条，弦有、B、D、B 这4 条，以点为端点的优弧有 ^ ACD、^ ADC这2 条，劣弧有^ AC、^ AD这2 条， 故答为：1、4、2、2． 【变式2-3】（2022 仪征市期末）如图，⊙的半径为6，△B 的面积为18，点P 为弦B 上一 动点，当P 长为整数时，P 点有 4 个． 1 【分析】解法一：过点P 最长的弦是12，根据已知条件，△B 的面积为18，可以求出B ＜12，根据三角形面积可得＝3❑ √2，从而可知P 的长有两个整数：5，6，且P＝6 是P 在或B 点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4 个． 解法二：根据面积可知，上的高为6，也就是说与B 互相垂直，然后算出长度即可． 【解答】解：解法一：过作⊥B 于，则＝B， 设＝x，＝y， ∵B 是⊙的一条弦，⊙的半径为6， ∴B≤12， ∵△B 的面积为18， ∴{ x 2+ y 2=36 1 2 ⋅2 y ⋅x=18， 则y¿ 18 x ， ∴x 2+( 18 x ) 2=36， 解得x＝3❑ √2或﹣3❑ √2（舍）， ∴＝3❑ √2＞4， 4 ∴＜P≤6， ∵点P 为弦B 上一动点，当P 长为整数时，P＝5 或6，P 点有4 个． 解法二：设△B 中边上的高为， 则1 2 ×OAh=18，即1 2 ×6h=18， ∴＝6， ∵B＝6， ∴⊥B，即∠B＝90°， 1 ∴B＝6❑ √2，图中＝3❑ √2， 同理得：点P 为弦B 上一动点，当P 长为整数时，P＝5 或6，P 点有4 个． 故答为：4． 【知识点3 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直 线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线 上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一 条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【题型3 确定圆的条件】 【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示， 三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） ．① B．② ．③ D．均不可能 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线 的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：． 【变式3-1】（2022 春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点（1，0）、B（0，﹣ 3）、（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能 确定一个圆． 【解答】解：∵B（0，﹣3）、（2，﹣3）， ∴B∥x 轴， 而点（1，0）在x 轴上， ∴点、B、不共线， ∴三个点（1，0）、B（0，﹣3）、（2，﹣3）能确定一个圆． 故答为：能． 【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B，的横、纵坐标 都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （ 2 ， 1 ） ． 1 【分析】根据图形得出、B、的坐标，再连接B，作线段B 和线段B 的垂直平分线M、 EF，两线交于Q，则Q 是圆弧的圆心，最后求出点Q 的坐标即可． 【解答】解：从图形可知：点的坐标是（0，2），B 点的坐标是（1，3），点的坐标是 （3，3）， 连接B，作线段B 和线段B 的垂直平分线M、EF，两线交于Q，则Q 是圆弧的圆心，如 图， ∴Q 点的坐标是（2，1）， 故答为：（2，1）． 【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，B，． （1）画出该轮的圆心； （2）若△B 是等腰三角形，底边B＝16m，腰B＝10m，求圆片的半径R． 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦B 和的垂直平分线交点即为所求； （2）连接，B，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦B 和的垂直平分线交点即为所求的圆心； 1 （2）连接，B，B，B 交于D． ∵B＝16m， ∴BD＝8m， ∵B＝10m， ∴D＝6m， 设圆片的半径为R，在Rt△BD 中，D＝（R 6 ﹣）m， ∴R2＝82+（R 6 ﹣）2， 解得：R¿ 25 3 m， ∴圆片的半径R 为25 3 m． 【知识点4 点与圆的位置关系】 设⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为P=d，则有： 点P 在圆外⇔d＞r； 点P 在圆上⇔d=r； 点P 在圆内⇔d＜r 【题型4 点与圆的位置关系】 【例4】（2022 秋•宜州区期末）如已知：如图，△B 中，∠＝90°，＝2m，B＝4m，M 是中 线，以为圆心，以❑ √5m 长为半径画圆，则点、B、M 与⊙的关系如何？ 1 【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R 时，点在圆 上；当d＞R 时，点在圆外；当d＜R 时，点在圆内． 【解答】解：根据勾股定理，有B¿ ❑ √4 2+2 2=¿2❑ √5（m）； ∵＝2m＜❑ √5m， ∴点在⊙内， ∵B＝4m＞❑ √5m， ∴点B 在⊙外； 由中线定理得：M¿ ❑ √5m ∴M 点在⊙上． 【变式4-1】（2022 春•龙湖区校级月考）⊙的面积为25πm2，⊙所在的平面内有一点P， 当P ＝ 5 m 时，点P 在⊙上；当P ＜ 5 m 时，点P 在⊙内；当P ＞ 5 m 时，点P 在⊙外． 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距 离． 【解答】解：因为圆的面积为25πm2，所以圆的半径为5m． 当点P 到圆心的距离等于5m 时，点P 在⊙上，此时P＝5m． 当点P 到圆心的距离小于5m 时，点P 在⊙内，此时P＜5m． 当点P 到圆心的距离大于5m 时，点P 在⊙外，此时P＞5m． 故答分别是：P＝5m，P＜5m，P＞5m． 【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P （m，）是⊙上的一个动点，则m2+2的最大值为 36 ． 1 【分析】由于圆心的坐标为（4，3），点P 的坐标为（m，），利用勾股定理可计算出 ＝5，P¿ ❑ √m 2+n 2，这样把m2+2理解为点P 与原点的距离的平方，利用图形可得到当点 P 运动到射线上时，点P 离圆点最远，即m2+2有最大值，然后求出此时的P 长即可． 【解答】解：作射线交⊙于P′点，如图， ∵圆心的坐标为（4，3），点P 的坐标为（m，）， ∴¿ ❑ √3 2+4 2=¿5，P¿ ❑ √m 2+n 2， ∴m2+2是点P 点圆点的距离的平方， ∴当点P 运动到P′处，点P 离圆点最远，即m2+2有最大值， 此时P＝+P′＝5+1＝6，则m2+2＝36． 故答为：36． 【变式4-3】（2022 秋•金牛区期末）如图．（3，0）．动点B 到点M（3，4）的距离为 1，连接B，B 的中点为，则线段的最小值为 2 ． 1 【分析】先确定最小值时点B 的位置：过B 作BD∥交x 轴于D，由图可知：当BD 经过 M 时，线段BD 的长最小，此时有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得的长． 【解答】解：过B 作BD∥交x 轴于D， ∵是B 的中点， ∴＝D， ∴¿ 1 2BD， ∴当BD 取最小值时，最小， 由图可知：当BD 经过M 时，线段BD 的长最小，此时有最小值， ∵（3，0）， ∴D（6，0）， ∵M（3，4）， ∴DM¿ ❑ √(6−3) 2+4 2=¿5， ∴BD＝5 1 ﹣＝4， ∴¿ 1 2BD＝2，即线段的最小值为2； 故答为：2． 【题型5 圆中角度的计算】 【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝D，∠＝114°，求∠D 的度数． 1 【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝D 得∠DB＝∠B＝x，再根据三角形 外角性质得∠D＝2x，则∠＝∠D＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝ 38°，最后利用三角形内角和定理计算∠D 的度数． 【解答】解：设∠B＝x， ∵BD＝D， ∴∠DB＝∠B＝x， ∴∠D＝∠DB+∠B＝2x， ∵＝D， ∴∠＝∠D＝2x， ∵∠＝∠+∠B， 2 ∴x+x＝114°，解得x＝38°， ∴∠D＝180°﹣∠D﹣∠D＝180° 4 ﹣x＝180° 4×38° ﹣ ＝28°． 【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，B 是⊙的直径，D 是⊙的弦，B、D 的延长线 交于点E．已知B＝2DE，∠E＝25°，求∠的度数． 【分析】求∠的度数，可以转化为求∠与∠E 的问题． 【解答】解：连接D， ∵B＝2DE＝2D， ∴D＝DE， 又∵∠E＝25°， ∴∠DE＝∠E＝25°， ∴∠D＝50°， 同理∠＝∠D＝50° ∴∠＝∠E+∠E＝75°． 1 【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，B 为⊙的直径，D∥，∠D＝84°，则∠B＝ 48° ． 【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠，利用三角形内角和定理可计算 出∠，然后根据平行线的性质即可得到∠B 的度数． 【解答】解：∵D＝， ∴∠D＝∠， ∵∠D＝84°， ∴∠¿ 1 2（180° 84° ﹣ ）＝48°， 又∵D∥， ∴∠B＝∠＝48°． 故答为：48°． 【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l 经过⊙的圆心，且与⊙交于、B 两点，点在 ⊙上，且∠＝30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心不重合），直线P 与⊙相交于点 Q．是否存在点P，使得QP＝Q；若存在，求出相应的∠P 的大小；若不存在，请简要 说明理由． 【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段有三种位置关系，在线段上，点 P 在B 上，点P 在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【解答】解：①根据题意，画出图（1）， 在△Q 中，＝Q， ∴∠Q＝∠P， 1 在△PQ 中，QP＝Q， ∴∠QP＝∠QP， 又∵∠＝30°， ∴∠QP＝∠P+∠＝∠P+30°， 在△PQ 中，∠QP+∠QP+∠Q＝180°， 即（∠P+30°）+（∠P+30°）+∠P＝180°， 整理得，3∠P＝120°， ∴∠P＝40°． ②当P 在线段的延长线上（如图2） ∵＝Q， ∴∠QP＝（180°﹣∠Q）× 1 2①， ∵Q＝PQ， ∴∠PQ＝（180°﹣∠QP）× 1 2②， 在△QP 中，30°+∠Q+∠QP+∠PQ＝180°③， 把①②代入③得∠Q＝20°，则∠QP＝80° ∴∠P＝100°； ③当P 在线段的反向延长线上（如图3）， ∵＝Q， ∴∠P