44 二次函数公共点及取值范围问题

二次函数公共点及取值范围问题 1．（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ， ，顶点坐标记为 ， ．抛物线 的顶点坐标 记为 ， ． （1）写出 点坐标； （2）求 ， 的值（用含 的代数式表示） （3）当 时，探究 与 的大小关系； （4 ）经过点 和点 的直线与抛物线 ， 的公共点恰好为3 个不同点时，求 的值． 【分析】（1）令 ，得到 值即为 、 的横坐标， （2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标． （3）讨论 与0 比较大小得 的取值范围，即在不同的取值范围内得 、 大小． （4）两点确定一条直线的解析式，直线 的解析式为： ．①当直线 经过抛物线 ， 的交点时，联立抛物线 与 得解析式 ①， 联立直线 与抛物线 得解析式 ，解得 ， 此时直线 与抛物线 ， 的公共点恰好为三个不同点，即 ，该方程判别式△ ，②当直线 与抛物线 或者与抛物 线 只有一个公共点时，当直线 与抛物线 只有一个公共点时，联立直线 与抛物线 可得， ， 解得 ，由①而知直线 与抛物线 公共点的横坐标为 ， ， ，所以此时直线 与抛物线 ， 的公共点恰好为三个不同点，联 立直线 与抛物线 得： ，△ ，当 时，△ ，此时直线 与抛物线 ， 的公共点只有一个， ． 【解答】解：（1） ， 令 ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ， （3） ， ①当 时，可得 或 ， 即当 或 时， ； ②当 时，可得 ， 即当 时， ； ③当 ，可得 或 ， 即当 或 时， ； （4）设直线 的解析式为： ， 则 ， 由① ②得， ， ， 直线 的解析式为： ． ①如图： 当直线 经过抛物线 ， 的交点时， 联立抛物线 与 的解析式可得： ①， 联立直线 与抛物线 的解析式可得： ， 则 ， ②， 当 时，把 代入 得： ， 把 ， 代入直线的解析式得： ， ， ， 此时直线 与抛物线 ， 的公共点恰好为三个不同点， 当 时，把 代入①得： ， 该方程判别式△ ， 所以该方程没有实数根； ②如图： 当直线 与抛物线 或者与抛物线 只有一个公共点时， 当直线 与抛物线 只有一个公共点时， 联立直线 与抛物线 可得， ， 此时△ ，即 ， ， ， 由①而知直线 与抛物线 公共点的横坐标为 ， ， 当 时， ， ， 所以此时直线 与抛物线 ， 的公共点恰好为三个不同点， ③如图： 当直线 与抛物线 只有一个公共点， ， ， ， 联立直线 与抛物线 ， ， △ ， 当 时，△ ， 此时直线 与抛物线 ， 的公共点只有一个， ， 综上所述： ， ， ， ． 2．（2021•乐山）已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， ． （1）求 的值（用含 的代数式表示）； （2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值； （3 ）将线段 向右平移2 个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一个交点，求 的取值范围． 【分析】（1）把 ， 代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论． （2）由题意， 或 时， 取得最大值1，由此构建方程求解即可． （3）把问题转化为不等式组，可得结论． 【解答】解：（1） 二次函数 的图象开口向上，经过点 ， ， ， ． （2） 二次函数 ， ，在 时， 的最大值为1， 时， 或 时， ， 或 ， 解得 （舍弃）或 ． ． （3） 线段 向右平移2 个单位得到线段 ， ， ． 线段 与抛物线 仅有一个交点， ， 解得， ， ． 3．（2021•嘉兴）已知二次函数 ． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求的值． 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值 和最小值 ，进而根据 得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1） ， 顶点坐标为 ； （2） ， 抛物线开口向下， 顶点坐标为 ， 当 时， ， 当 时， 随着 的增大而增大， 当 时， ， 当 时， 随着 的增大而减小， 当 时， ． 当 时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）当 时，对进行分类讨论， ①当 时，即 ， 随着 的增大而增大， 当 时， ， 当 时， ， ， ，解得 （不合题意，舍去）， ②当 时，顶点的横坐标在取值范围内， ， 当 时，在 时， ， ， ，解得 ， （不合题意，舍去）； 当 时，在 时， ， ， ，解得 ， （不合题意，舍去）， ③当 时， 随着 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ， ，解得 （不合题意，舍去）， 综上所述， 或 ． 4．如图，抛物线 为常数且 与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线 与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为 ， ，当 时，求 的值； （3）当 时， 有最大值 ，求 的值． 【分析】（1）将点 代入抛物线 求出 即可求解析式； （2）由已知联立方程 ，由韦达定理可得 ， ， 则有 ，求出 即可； （3）分两种情况：当 时，当 时， 有最大值， ，得 ，当 时，当 时， 有最大值， ，得 ． 【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ， ， ， ； （2） 直线 与抛物线有两个交点， ， 整理得 ， △ ， ， ， ， 或 ， 的值为2 或 ； （3） 函数的对称轴为直线 ， 当 时，当 时， 有最大值， ， 解得 ， ， 当 时，当 时， 有最大值， ， ， 综上所述， 的值为 或 ．