专题12.4 全等三角形中的经典模型【六大题型】（解析版）

专题124 全等三角形中的经典模型【六大题型】 【人版】 【题型1 平移模型】................................................................................................................................................. 1 【题型2 轴对称模型】............................................................................................................................................. 5 【题型3 旋转模型】................................................................................................................................................. 8 【题型4 一线三等角模型】...................................................................................................................................14 【题型5 倍长中线模型】.......................................................................................................................................20 【题型6 截长补短模型】.......................................................................................................................................26 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△B 沿着某一条直线l 平行移动，所得到△DEF 与△B 称为平移型全等三角形， 图①，图②是常见的平移型全等三角线 【常见模型】 【题型1 平移模型】 【例1】（2022•义马市期末）如图，点，E，F，B 在直线l 上，E＝BF，∥BD，且＝BD， 求证：△F≌△BDE． 1 【分析】根据平行线的性质得到∠F＝∠DBE，根据SS 证明△F≌△BDE 即可． 【解答】证明：∵E＝BF， ∴E+EF＝BF+EF， 即F＝BE； ∵∥BD， ∴∠F＝∠DBE， 又∵＝BD， 在△F 与△BDE 中， { AC=BD ∠CAF=∠DBE AF=BE ， ∴△F≌△BDE（SS）． 【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，，F 在一条直线上，B＝DE，＝DF．老 师说：还添加一个条件就可使△B≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言： 甲：添加BE＝F，乙：添加∥DF，丙：添加∠＝∠D． （1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 甲、丙 ； （2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明． 【分析】（1）加上条件BE＝F 或∠＝∠D 的条件即可证明两个三角形全等，添加∥DF 不能证明△B≌△DEF； （2）添加BE＝F 可得B＝EF，利用SSS 判定△B≌△DEF 即可,添加∠＝∠D,可用SS 证明 △B≌△DEF． 【解答】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答为：甲、丙； （2）选甲的做法， 1 证明：∵BE＝F， ∴B＝EF， 在△B 和△DEF 中， { AB=DE AC=DF BC=EF ， ∴△B≌△DEF（SSS）． 选丙的做法, 在△B 和△DEF 中, { AB=DE ∠A=∠D AC=DF , ∴△B≌△DEF（SS）． 【变式1-2】（2022 春•东坡区校级期末）如图，△B 中，B＝13m，B＝11m，＝6m，点E 是 B 边的中点，点D 在B 边上，现将△DBE 沿着B 方向向左平移至△DF 的位置，则四边形 DEF 的周长为 m． 【分析】连接EF，证明△EF≌△DFE（S），推出DE＝F，可得结论． 【解答】解：连接EF． 由平移的性质可知，F＝DE．EF＝D，F∥DE，EF∥D，DF∥B， ∴∠EF＝∠DFE，∠FE＝∠DEF， 在△EF 和△DFE 中， ¿， ∴△EF≌△DFE（S）， ∴DE＝F， 1 ∴F＝F＝DE＝3m ∵E 是B 的中点， ∴E＝EB＝DF＝55m， ∴四边形DEF 的周长＝2（3+55）＝17m． 故答为：17． 【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，，B，，D 在同一直线上，B＝D，DE∥F， 且DE＝F，求证：△F≌△DEB．如果将BD 沿着D 边的方向平行移动，如图2，3 时，其 余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【分析】可以根据已知利用SS 判定△F≌△DEB．如果将BD 沿着D 边的方向平行移动， 如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判 定方法进行验证． 【解答】解：∵B＝D， ∴B+B＝D+B， 即＝BD． ∵DE∥F， ∴∠＝∠D． 在△F 和△DEB 中，{ AF=DE ∠A=∠D AC=DB ， ∴△F≌△DEB（SS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵B＝D， ∴B﹣B＝D﹣B， 即＝BD， ∵F∥DE， ∴∠＝∠D． 在△F 和△DEB 中，{ AF=DE ∠A=∠D AC=DB ， 1 ∴△F≌△DEB（SS）． 【知识点2 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三 角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等 【常见模型】 【题型2 轴对称模型】 【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△F≌△DBE，且点，B，，D 在同一条直线上，∠ ＝50°，∠F＝40°． （1）求△DBE 各内角的度数； （2）若D＝16，B＝10，求B 的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠EBD 即可； （2）根据全等三角形的性质得出＝BD，求出B＝D，即可求出答． 【解答】解：（1）∵△F≌△DBE，∠＝50°，∠F＝40°， ∴∠D＝∠＝50°，∠E＝∠F＝40°， ∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°； （2）∵△F≌△DBE， ∴＝BD， ∴﹣B＝DB﹣B， ∴B＝D， ∵D＝16，B＝10， ∴B＝D¿ 1 2（D﹣B）＝3． 1 【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△B 中，已知D⊥B 于点D，BE⊥于点E，∠DB＝ ∠EB．求证：D＝E． 【分析】由“S”可证△D≌△EB，可得D＝E． 【解答】证明：∵D⊥B，BE⊥，∠DB＝∠EB， ∴∠DB＝∠EB， ∴B＝， 在△D 和△EB 中， { ∠A=∠A ∠ADC=∠AEB=90° AC=AB ， ∴△D≌△EB（S）， ∴D＝E． 【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△D≌△B．求证：＝BD． 【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可． 【解答】证明：∵△D≌△B， ∴＝B，＝D，∠D＝∠B， ∴∠D﹣∠D＝∠B﹣∠D， 即∠＝∠BD， 在△和△BD 中， { AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO ， ∴△≌△BD（SS）， ∴＝BD． 【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥B，P⊥，PB＝P，D 是P 上一点．求证： ∠BDP＝∠DP． 1 【分析】求出∠BP＝∠P＝90°，根据L 推出Rt△BP Rt ≌ △P，根据全等三角形的性质得出 ∠BPD＝∠PD，根据SS 推出△BPD≌△PD，即可得出答． 【解答】证明：∵PB⊥B，P⊥， ∴∠BP＝∠P＝90°， ∴在Rt△BP 和Rt△P 中 { AP=AP PB=PC Rt ∴ △BP Rt ≌ △P（L）， ∴∠BPD＝∠PD， 在△BPD 和△PD 中 { PB=PC ∠BPD=∠CPD PD=PD ∴△BPD≌△PD， ∴∠BDP＝∠DP． 【知识点3 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这 两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共 角的条件 【常见模型】 【题型3 旋转模型】 【例3】（2022•环江县期中）如图，B＝E，B∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°． 求证：△B≌△ED． 证明：∵∠1＝70°， ∴ ∠ 2 ＝ 110° （ 邻补角的性质 ）． 又∵∠D＝110°， 1 ∴ ∠ 2 ＝∠ D （ 等量代换 ）． ∵B∥DE， ∴ ∠ 3 ＝∠ E （ 两直线平行，内错角相等 ）． 在△B 和△ED 中， { (ㅤㅤㅤㅤ) (ㅤㅤㅤㅤ) AB=AE ， ∴△B≌△ED（S）． 【分析】由邻补角的性质求出∠2＝110°，由平行线的性质得出∠3＝∠E，根据S 可证 △B≌△ED． 【解答】证明：∵∠1＝70°， 2 ∴∠＝110°（邻补角的性质）， 又∵∠D＝110°， 2 ∴∠＝∠D（等量代换）， ∵B∥DE， 3 ∴∠＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 在△B 和△ED 中， { ∠2=∠D ∠3=∠E AB=AE ， ∴△B≌△ED（S）． 故答为：∠2＝110°；邻补角的性质；∠2＝∠D；等量代换；∠3＝∠E；两直线平行，内错 角相等；∠2＝∠D；∠3＝∠E． 【变式3-1】（2022 春•济南期末）如图1，△BE 是等腰三角形，B＝E，∠BE＝45°，过点B 作B⊥E 于点，在B 上截取D＝E，连接D、DE 并延长D 交BE 于点P； （1）求证：D＝BE； （2）试说明D 平分∠BE； （3）如图2，将△DE 绕着点旋转一定的角度，那么D 与BE 的位置关系是否发生变化， 说明理由． 1 【分析】（1）利用SS 证明△BE≌△D，根据全等三角形的对应边相等得到D＝BE． （2）根据△BE≌△D，得到∠EB＝∠D，由∠BDP＝∠D，得到∠BPD＝∠D＝90°，利用等腰 三角形的三线合一，即可得到D 平分∠BE； （3）D⊥BE 不发生变化．由△BE≌△D，得到∠EB＝∠D，由对顶角相等得到∠BFP＝ ∠F，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠F＝90°，即D⊥BE． 【解答】解：（1）∵B⊥E，∠BE＝45°， ∴∠B＝∠B， ∴B＝， 在△BE 和△D 中， { BC=AC ∠BCE=∠ACD=90° CE=CD ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴D＝BE． （2）∵△BE≌△D， ∴∠EB＝∠D， ∵∠BDP＝∠D， ∴∠BPD＝∠D＝90°， ∵B＝E， ∴D 平分∠BE． （3）D⊥BE 不发生变化． 如图2， 1 ∵△BE≌△D， ∴∠EB＝∠D， ∵∠BFP＝∠F， ∴∠BPF＝∠F＝90°， ∴D⊥BE． 【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，D、BF 相交于点，点E、在BF 上，且 BE＝F，＝DE，B＝DF．求证： （1）＝D； （2）∥DE． 【分析】（1）易证△B≌△DFE，可得∠B＝∠F，可证△B≌△DF，可得＝D； （2）易证△B≌△DFE，可得∠DEF＝∠B，可得∥DE． 【解答】解：（1）∵BE＝F， ∴B＝FE， 在△B 和△DFE 中， { AB=DF AC=DE BC=FE ， ∴△B≌△DFE（SSS）， ∴∠B＝∠F， ∵在△B 和△DF 中， { ∠DOF=∠AOB ∠B=∠F AB=DF ， ∴△B≌△DF（S）， 1 ∴＝D； （2）∵△B≌△DFE， ∴∠DEF＝∠B， ∴∥DE． 【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△BD、△E 拼在一起（图 1），△BD 不动． （1）若将△E 绕点逆时针旋转，连接DE，M 是DE 的中点，连接MB、M（图2），证 明：MB＝M． （2）若将图1 中的E 向上平移，∠E 不变，连接DE，M 是DE 的中点，连接MB、M （图3），判断并直接写出MB、M 的数量关系． （3）在（2）中，若∠E 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、M 的 数量关系还成立吗？说明理由． 【分析】（1）连接M，根据全等三角形的对应边相等可得D＝E，B＝，全等三角形对 应角相等可得∠BD＝∠E，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MD＝∠ME，然后利 用“边角边”证明△BM 和△M 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长DB、E 相交于E′，延长E 交D 于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD＝BE′，然后求出MB∥E′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MB＝∠E，同理求 出M∥D，根据两直线平行，同位角相等求出∠BM＝∠BD，然后求出∠MB＝∠BM，再根 据等角对等边即可得证； （3）延长BM 交E 于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝ ∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可 得MB＝MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可． 【解答】证明：（1）如图2，连接M，由已知得△BD≌△E， ∴D＝E，B＝，∠BD＝∠E， ∵MD＝ME， ∴∠MD＝∠ME， ∴∠MD﹣∠BD＝∠ME﹣∠E， 即∠BM＝∠M， 1 在△BM 和△M 中，{ AB=AC ∠BAM=∠CAM AM=AM ， ∴△BM≌△M（SS）， ∴MB＝M； （2）MB＝M． 理由如下：如图3，延长DB、E 相交于E′，延长E 交D 于F， ∴BD＝BE′，E＝F， ∵M 是ED 的中点，B 是DE′的中点， ∴MB∥E′， ∴∠MB＝∠E， 同理：M∥D， ∴∠BM＝∠BD， ∵∠BD＝∠E， ∴∠MB＝∠BM， ∴MB＝M； 解法二：如图3 中，延长M 交BD 于点T． ∵E∥DT， ∴∠EM＝∠TDM， 在△EM 和△DTM 中， { ∠CEM=∠TDM EM=DM ∠EMC=∠DMT ， ∴△EM≌△DTM（S）， ∴M＝MT， ∵∠BT＝90°， ∴BM＝M＝MT． （3）MB＝M 还成立． 如图4，延长BM 交E 于F， 1 ∵E∥BD， ∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE， 又∵M 是DE 的中点， ∴MD＝ME， 在△MDB 和△MEF 中， { ∠MDB=∠MEF ∠MBD=∠MFE MD=ME ， ∴△MDB≌△MEF（S）， ∴MB＝MF， ∵∠E＝90°， ∴∠BF＝90°， ∴MB＝M． 【知识点4 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD DE ⊥ ，B⊥，E DE ⊥ ，那么一定有 ∠B= E ∠ 【题型4 一线三等角模型】 【例4】（2022 春•香坊区期末）已知，在△B 中，B＝，D，，E 三点都在直线m 上，且DE ＝9m，∠BD＝∠E＝∠B 1 （1）如图①，若B⊥，则BD 与E 的数量关系为 BD ＝ E ，E 与D 的数量关系为 E ＝ D ； （2）如图②，判断并说明线段BD，E 与 DE 的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BD＝∠E，BD＝EF＝7m，点在线段DE 上以2m/s 的速度由点 D 向点E 运动，同时，点在线段EF 上以xm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时 间为t（s）．是否存在x，使得△BD 与△E 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在， 请说明理由． 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠E＝∠BD，再利用S 证明 △BD≌△E，得BD＝E，E＝D； （2）由（1）同理可得△BD≌△E，得BD＝E，E＝D，可得答； （3）分△DB≌△E 或△DB≌△E 两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BD＝∠E＝∠B， ∴∠BD+∠E＝∠BD+∠BD， ∴∠E＝∠BD， ∵∠BD＝∠E，B＝， ∴△BD≌△E（S）， ∴BD＝E，E＝D， 故答为：BD＝E，E＝D； （2）DE＝BD+E， 由（1）同理可得△BD≌△E（S）， ∴BD＝E，E＝D， ∴DE＝BD+E； （3）存在，当△DB≌△E 时， ∴D＝E＝2m，BD＝E＝7m， ∴t＝1，此时x＝2； 当△DB≌△E 时， ∴D＝E＝45m，DB＝E＝7m， ∴t¿ AD 2 = 9 4 ，x＝7÷ 9 4 =28 9 ， 1 综上：t＝1，x＝2 或t¿ 9 4 ，x¿ 28 9 ． 【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并 且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，若DE＝10，BD＝3，求E 的长． 【分析】由∠E＝∠B＝α，推出∠E＝∠BD，再根据S 证明△BD≌△E 得E＝D，E＝BD＝3， 即可得出结果． 【解答】解：∵∠E＝∠B＝α， ∴∠E+∠E＝180° α ﹣， ∠BD+∠E＝180° α ﹣， ∴∠E＝∠BD， 在△BD 与△E 中， { ∠BDA=∠AEC ∠BAD=∠ACE AB=AC ， ∴△BD≌△E（S）， ∴E＝D，E＝BD＝3， ∵DE＝D+E＝10， ∴D＝DE﹣E＝DE﹣BD＝10 3 ﹣＝7． ∴E＝7． 【变式4-2】（2022 春•历下区期中）D 是经过∠B 定点的一条直线，＝B，E、F 分别是直 线D 上两点，且∠BE＝∠F＝∠β． （1）若直线D 经过∠B 内部，且E、F 在射线D 上， ①若∠B＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE F，EF |BE﹣F|．（填“＞”， “＜”，“＝”）； ②若0°＜∠B＜180°，且∠β+∠B＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理 由； （2）如图3，若直线D 经过∠B 外部，且∠β＝∠B，请直接写出线段EF、BE、F 的数量 关系（不需要证明）． 1 【分析】（1）①求出∠BE＝∠F＝90°，∠BE＝∠F，根据S 证△BE≌△F，推出BE＝F，E ＝F 即可；②求出∠BE