专题54 一次函数中的45°角问题（原卷版）(1)

【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点（12，0），点B（0，4），点P 是直线y＝﹣x 1 ﹣上一点，且∠BP＝45°，则点P 的坐标为 ． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别交 于点、B 将直线B 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式为 ． 【变1-2】．如图，已知点：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b 上，l1和l2：y＝kx 1 ﹣的图象 交于点B，且点B 的横坐标为8，将直线l1绕点逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q， 则点Q 的坐标为 ． 例题精讲 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4 的图象分别与x 轴，y 轴相交于， B 两点．将直线B 绕点逆时针旋转45°后，与y 轴交于点，则点的坐标为 ． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x 2 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、 B，直线B 与x 轴正半轴交于点，若∠B＝45°，则直线B 的函数表达式是（ ） ．y＝3x 2 ﹣ B．y＝ x 2 ﹣ ．y＝ x 2 ﹣ D．y＝﹣ x 2 ﹣ 【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b 的图象经过点M（1，3），且与x 轴，y 轴分别交于， B 两点． （1）填空：b＝ ； （2）将该直线绕点顺时针旋转45°至直线l，过点B 作B⊥B 交直线l 于点，求点的坐标 及直线l 的函数表达式． 1．如图，直线y＝ x+1 与坐标轴交于、B 两点，点在x 轴上，若∠B+∠＝45°，则点的坐标 为 ． 2．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x 轴，y 轴于，B 两点， 已知点（2，0）．设点P 为线段B 的中点，连接P，P，若∠P＝45°，则m 的值是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线B 的解析式为y＝﹣ x+3．点是上一点且＝1，点D 在线段B 上，分别连接B，D 交于点E，若∠BED＝45°，则D 的长是 ． 4．如图，直线y＝4x+4 交x 轴于点，交y 轴于点B，直线B：y＝﹣x+4 交x 轴于点，点P 为线段B 上一点，∠PB＝45°，求点P 的坐标． 5．如图，正比例函数y＝kx 经过点，点在第二象限，过点作⊥y 轴于点，＝2，且△的面积 为5． （1）求正比例函数的解析式； （2）若直线y＝x 上有一点B 满足∠B＝45°，且B＝B，求的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，、B、为坐标轴上的三个点，且＝B＝＝6，过点的直线D 交直线B 于点D，交y 轴于点E，△BD 的面积为18． （1）求点D 的坐标． （2）求直线D 的表达式及点E 的坐标． （3）过点作F⊥D，交直线B 于点F，求点F 的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线y＝﹣ x+3 分别交x、y 轴于点 B、． （1）如图1，点是直线B 上不同于点B 的点，且＝B．则点的坐标为 ； （2）点是直线B 外一点，满足∠B＝45°，求出直线的解析式； （3）如图3，点D 是线段B 上一点，将△D 沿直线D 翻折，点落在线段B 上的点E 处， 点M 在射线DE 上，在x 轴的正半轴上是否存在点，使以M、、、B 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．直角坐标系中，点的坐标为（9，4），B⊥x 轴于点B，垂直y 轴于点，点D 为x 轴上的 一个动点，若D＝2 ． （1）直接写出点D 的坐标； （2）翻折四边形B，使点与点D 重合，直接写出折痕所在直线的解析式； （3）在线段B 上找点E 使∠DE＝45°． ①直接写出点E 的坐标； ②点M 在线段上，点在线段E 上，直接写出当△EM 是等腰三角形且△M 是直角三角形 时点M 的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点为线段B 的中 点，过点作D⊥x 轴，垂足为D，点E 为y 轴负半轴上一点，连接E 交x 轴于点F，且F ＝FE． （1）直接写出E 点的坐标； （2）过点B 作BG∥E，交y 轴于点G，交直线D 于点，求四边形EBG 的面积； （3）直线D 上是否存在点Q 使得∠BQ＝45°，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在， 请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标为（﹣6，6），以为顶点的∠B 的两边始终与x 轴交于 B、两点（B 在左面），且∠B＝45°． （1）如图1，连接，当B＝时，试说明：＝B． （2）过点作D⊥x 轴，垂足为D，当D＝2 时，将∠B 沿所在直线翻折，翻折后边B 交y 轴于点M，求点M 的坐标． 11．模型建立：如图1，等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝，直线ED 经过点，过作 D⊥ED 于D，过B 作BE⊥ED 于E．易证：△BE≌△D 模型应用：如图2，已知直线l1：y＝ x+4 与y 轴交于点，将直线l1 绕着点顺时针旋转 45°至l2． （1）在直线l2上求点，使△B 为直角三角形； （2）求l2的函数解析式； （3）在直线l1、l2分别存在点P、Q，使得点、、P、Q 四点组成的四边形是平行四边形？ 请直接写出点Q 的坐标． 12．在平面直角坐标系xy 中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M 作直线B，交x 轴负半轴于 点，交y 轴负半轴于点B（0，m）． （1）如图1，当m＝﹣6 时． ）求直线B 的函数表达式； ）过点作y 轴的平行线l，点是l 上一动点，连接B，M，若S△MB＝ S△B，求满足条件的 点的坐标． （2）如图2，将直线B 绕点B 顺时针旋转45°后，交x 轴正半轴于点，过点作D⊥B，交 直线B 于点D．试问：随着m 值的改变，点D 的横坐标是否发生变化？若不变，求出点 D 的横坐标；若变化，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x 4 ﹣与x 轴，y 轴分别交于点、B，与直线y＝3 交 于点，点D 为直线y＝3 上点右侧的一点． （1）如图1，若△D 的面积为6，则点D 的坐标为 ； （2）如图2，当∠D＝45°时，求直线D 的解析式； （3）在（2）的条件下，点E 为直线D 上一点，设点E 的横坐标为m，△E 的面积为S， 求S 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围． 14．（1）基本图形的认识： 如图1，在四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，点E 是边B 上一点，B＝E，BE＝D，连结E、 DE，求证：△ED 是等腰直角三角形． （2）基本图形的构造： 如图2，在平面直角坐标系中，（2，0），B（0，3），连结B，过点在第一象限内作B 的垂线，并在垂线截取＝B，求点的坐标； （3）基本图形的应用： 如图3，一次函数y＝﹣2x+2 的图象与y 轴交于点，与x 轴交于点B，直线交x 轴于点 D，且∠B＝45°，求点D 的坐标． 15．【模型建立】：（1）如图①，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，直线ED 经过点，过点作 D⊥ED 于点D，过点B 作BE⊥ED 于点E，求证：△BE≌△D； 【模型应用】：（2）如图②，已知直线l1：y＝﹣2x+4 与x 轴交于点、与y 轴交于点 B，将直线l1绕点顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式； （3）如图③，平面直角坐标系内有一点B（﹣4，﹣6），过点B 作B⊥x 轴于点、B⊥y 轴于点，点P 是线段B 上的动点，点D 是直线y＝3x+3 上的动点且在第三象限内．试探 究△PD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．