模型22 瓜豆原理之曲线型（原卷版）(1)

O P Q M A 运动轨迹为圆 问题1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ Q P O A M 解析：Q 点轨迹是一个圆 理由：Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P， ． 问题2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=2Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 模型介绍 解析：Q 点轨迹是一个圆 理由：∵P⊥Q，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 又∵P：Q=2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足：M=2：1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． 模型总结 条件：两个定量 （1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； （2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． 结论 （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：P:Q=:M，也等于两圆 半径之比． 【例1】．如图，是⊙B 上任意一点，点在⊙B 外，已知B＝2，B＝4，△D 是等边三角形， 则 的面积的最大值为 变式训练 【变式1-1】．如图，线段B 为⊙的直径，点在B 的延长线上，B＝4，B＝2，点P 是⊙上 一动点，连接P，以P 为斜边在P 的上方作Rt△PD，且使∠DP＝60°，连接D，则D 长 的最大值为（ ） 例题精讲 ． B．2 ．2 D．4 【变式1-2】．如图，已知正方形BD 的边长为4，以点为圆心，2 为半径作圆，P 是⊙上 的任意一点，将点P 绕点D 按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ 的最大值 是（ ） ．6 B． ． D． 【例2】．四边形BD 是边长为4 的正方形，点P 是平面内一点．且满足BP⊥P，现将点P 绕点D 顺时针旋转90 度，则Q 的最大值＝ ． 变式训练 【变式2-1】．如图，线段B＝4，M 为B 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB，线 段 PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段P，连接，则线段长度的最大值是 ． 【变式2-2】．如图，B＝4，为B 的中点，⊙的半径为1，点P 是⊙上一动点，以PB 为直 角边的等腰直角三角形PB（点P、B、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为 ． 1．如图，点是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为斜边作等腰Rt△B，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终 在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ） ．y＝﹣ x B．y＝﹣ x ．y＝﹣ D．y＝﹣ 2．在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D 是以点为圆心，2 为半径的圆上一点，连接 BD，M 为BD 的中点，则线段M 长度的最大值为（ ） ．7 B．35 ．45 D．3 3．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝4，B＝3，点是B 的三等分点，半圆与相切，M，分别 是B 与半圆弧上的动点，则M 的最小值和最大值之和是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 4．如图，一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于，B 两点，点P 在以 （﹣2，0）为圆心，1 为半径的⊙上，Q 是P 的中点，已知Q 长的最大值为 ，则k 的 值为（ ） ． B． ． D． 5．如图，在矩形纸片BD 中，B＝2，D＝3，点E 是B 的中点，点F 是D 边上的一个动点， 将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△′EF，则′的长的最小值是（ ） ． B．3 ． ﹣1 D． ﹣1 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 分别 是边D、B 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 7．如图，⊙的直径B＝4，P 为⊙上的动点，连结P，Q 为P 的中点，若点P 在圆上运动一 周，则点Q 经过的路径长是 ． 8．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点P 是以为圆心，2 个单位长为半径的圆上 的一个动点，连接P，以P 为边向P 右侧作等边三角形PB．当点P 在⊙上运动一周时，点 B 运动的路径长是 ． 9．如图，⊙的半径为3，B 为圆上一动弦，以B 为边作正方形BD，求D 的最大值 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），（3，0），⊙的半径为2，P 为⊙上任意一 点，是BP 的中点，则的最大值是 ． 11．如图，点是半圆 上一动点，以B 为边作正方形BDE（使 在正方形内），连E，若 B＝4m，则E 的最大值为 m． 12．如图，点为坐标原点，⊙的半径为1，点（2，0），动点B 在⊙上，连接B，作等边△B （，B，为顺时针顺序），求的最大值与最小值． 13．如图，点在线段B 上，＝1，B＝2，以点为圆心、长为半径的圆为⊙，在⊙上取动点 P，以PB 为边作△PB，使∠PB＝90°，t∠PB＝ ，P、B、三点为逆时针顺序，连接，求 的取值范围． 14．已知：如图，B 是⊙的直径，是⊙上一点，D⊥于点D，过点作⊙的切线，交D 的延长 线于点E，连接E． （1）求证：E 与⊙相切； （2）连接BD，若ED：D＝3：1，＝9，求E 的长； （3）若B＝10，＝8，点F 是⊙任意一点，点M 是弦F 的中点，当点F 在⊙上运动一周， 则点M 运动的路径长为 ． 15．若＝4，以点为圆心，2 为半径作圆，点P 为该圆上的动点，连接P． （1）如图1，取点B，使△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，将点P 绕点顺时针旋转90° 得到P′． ①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）； ②P′的最小值是 ； （2）如图2，以P 为边作等边△PQ（点、P、Q 按照顺时针方向排列），在点P 运动过 程中，求Q 的最大值． （3）如图3，将点绕点P 逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则M 的最小值为 ． 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5 与x 轴，y 轴分别交于、两点，抛物线 y＝x2+bx+经过、两点，与x 轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△BM 的面积等于 △B 面积的3 5，求此时点M 的坐标； （3）如图2，以B 为圆心，2 为半径的⊙B 与x 轴交于E、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接P，以P 为腰作等腰Rt△PD，使∠PD＝90°（P、、D 三点为逆 时针顺序），连接FD．求FD 长度的取值范围．