第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（练习）（解析版）

第12 讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 题型04 判断反比例函数图象 题型05 反比例函数点的坐标特征 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型07 由反比例函数解析式判断其性质 题型08 由反比例函数图象分布象限，求k 值 题型09 判断反比例函数经过象限 题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型11 已知反比例函数增减性，求k 值 题型12 由反比例函数的性质比较大小 题型13 求反比例函数解析式 题型14 与反比例函数有关的规律探究问题 题型15 已知比例系数求特殊图形面积 题型16 已知图形面积求比例系数 题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型18 一次函数与反比例函数交点问题 题型19 一次函数与反比例函数综合应用 题型20 反比例函数的实际应用 题型21 反比例函数与几何综合 题型01 用反比例函数描述数量关系 1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单 位：千帕）随气球内气体的体积V （单位：立方米）的变化而变化，P随V 的变化情况如下表所示，那么在 这个温度下，气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是 V （单位：立方米） 64 48 384 32 24 … P（单位：千帕） 15 2 25 3 4 … ．正比例函数 B．一次函数 ．二次函数 D．反比例函数 【答】D 【分析】根据PV =96结合反比例函数的定义判断即可． 【详解】由表格数据可得PV =96，即P=96 V ， ∴气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是反比例函数， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度y(单位：km/)与此次列车的全程运行时间x(单位：)； ②已知北京市的总面积为1.68×10 4 km 2，人均占有面积y(单位：km 2/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了1 4 ．油箱中的剩油量y L与 加满汽油后汽车行驶的路程x km． 其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( ) ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【答】 【分析】分别求出三个问题中变量y与变量x之间的函数关系式即可得到答． 【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：y=1463 x ，符合题意； ②由人均面积等于总面积除以总人口得：y=1.68×10 4 x ，即y=16800 x ，符合题意； ③由加满汽油后开了200 km时，油箱中汽油大约消耗了1 4 ，可知每公里油耗为：1 4 ×50÷200= 1 16 (L)，再 由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得： y=50−1 16 x，不符合题意； 综上分析可知，变量 y 与变量x 之间的函数关系可以用该图象表示的是①②． 故选：． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关 键． 题型02 判断反比例函数 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y 是x 的反比例函数的是（ ） ．y=❑ √3 x B．y= a x ．y= 1 x 2 D．y= 1 3 x 【答】D 【分析】利用反比例函数定义对四个选项分析解答即可． 【详解】解：．由y=❑ √3 x得y是x的正比例函数，那么不符合题意． B．由y= a x (a≠0)得y是x的反比例函数，那么B 不符合题意． ．由y= 1 x 2得y是x 2的反比例函数，那么不符合题意． D．由y= 1 3 x 得y是x的反比例函数，那么D 符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键在于掌握形如y= k x （k为常数，k ≠0）的函数称为反比例 函数． 2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） ．y=2 x+1 B．y= x 2 ．y=−❑ √5 x D．y x =2 【答】 【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y＝k x (k ≠0)或y=k x －1或xy=k的函数是反比例 函数． 【详解】 y=2 x+1，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B y= x 2 ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； y=−❑ √5 x ，是反比例函数，故该选项正确，符合题意； D y x =2，不是反比例数，故该选项不正确，不符合题意； 故选 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝k x (k ≠0)或 y=k x －1或xy=k的函数是反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=−2 x 的图象过点P (a,b)，则代数式ab的值为（ ） ．−2 B．2 ．−1 2 D．1 2 【答】 【分析】根据反比例函数的性质，即图象经过的点的坐标满足函数表达式，进行求解即可． 【详解】解：∵函数y=−2 x 的图象过点P (a,b)， ∴ab=−2． 故选：． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握图象经过的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A (2,6),B (−3,m)在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为（ ） ．1 B．−1 ．4 D．−4 【答】D 【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可． 【详解】解：∵点A (2,6),B (−3,m)在同一个反比例函数的图象上， ∴2×6=−3m， ∴m=−4； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于k，是解 题的关键． 3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y= k x (k ≠0)的图象经过点(2,k−n 2−2)，则k的取值范围为 （ ）． ．k ≤−2 B．k ≤−4 ．k ≥2 D．k ≥4 【答】D 【分析】将点(2,k−n 2−2)代入y= k x (k ≠0)，求出k的值，再根据2n 2≥0，即可求出k的取值范围． 【详解】∵反比例函数y= k x (k ≠0)的图象经过点(2,k−n 2−2)， ∴ 2(k−n 2−2)=k ∴k=2n 2+4 ∵2n 2≥0 ∴k ≥4 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键． 4．（2022 下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y= ❑ √3 x 的图象经过 (a，m+3 ❑ √3)，(b，m)两点，则代数式 2ab 2a−2b+7ab的值是（ ） ．2 3 B．−2 3 ．2 D．−2 【答】 【分析】根据题意得到 ❑ √3 a =m+3 ❑ √3， ❑ √3 b =m，从而得到1 a−1 b=3，进一步得到a−b=−3ab，代入变形 后的代数式即可求得． 【详解】解：∵反比例函数y= ❑ √3 x 的图象经过(a，m+3 ❑ √3)，(b，m)两点， ∴ ❑ √3 a =m+3 ❑ √3， ❑ √3 b =m， ∴ ❑ √3 a − ❑ √3 b =3 ❑ √3， ∴1 a−1 b=3， ∴b−a ab =3， ∴a−b=−3ab， ∴ 2ab 2a−2b+7ab= 2ab −6ab+7ab=2， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关 键． 5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y=a+3 x 是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ． 【答】a≠−3 【分析】根据反比例函数定义，a+3≠0，求解即可． 【详解】解：∵y=a+3 x 是关于x 的反比例函数 ∴a+3≠0 所以a≠−3 故答为：≠−3 【点睛】本题考查反比例函数的定义，根据定义去解题是常考内容，也是解题的切入点． 6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x 的反比例函数y=2a x a 经过点(1,b)，则b=¿ ． 【答】2 【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值，即得出该反比例函数的解析式．再将点(1，b)代入该反比例 函数的解析式即可求出b 的值． 【详解】∵y=2a x a 是关于x 的反比例函数， ∴a=1， ∴y= 2 x ， ∵该反比例函数经过点(1，b)， ∴b=2 1=2． 故答为：2． 【点睛】本题考查反比例函数的定义与反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的定义求出的值是 解答本题的关键． 7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k−1)x ¿k∨−2是反比例函数，则k=¿ ． 【答】−1 【分析】由题意根据反比例函数的定义列出关于k 的方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意，得 |k|−2=−1，且k−1≠0， 解得，k=−1． 故答是：−1． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，注意掌握重点是将一般式y= k x (k ≠0)转化为y=k x −1 (k ≠0)的形式 题型04 判断反比例函数图象 1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=−1 ❑ √x 的图象所在的象限是（ ） ．第一、三象限 B．第二、四象限 ．第二象限 D．第四象限 【答】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x>0，进而可得y<0，即可判断函数所在的 象限 【详解】解：∵函数y=−1 ❑ √x 中自变量x 的取值范围是x>0， ∴y 的取值范围是y<0， ∴函数y=−1 ❑ √x 的图象所在的象限是第四象限； 故选：D 【点睛】本题考查了函数的图象、二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识，正确判断出x、y 的 取值范围是关键 2（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y=5 x (x>0)和函数y=−3 x (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所 示，则坐标系的纵轴是（ ） ．y1 B．y2 ．y3 D．y4 【答】B 【分析】根据反比例函数k的取值分析即可得到答． 【详解】解：∵5>0，−3<0， ∴ y=5 x (x>0)的图象在第一象限，y=−3 x (x<0)的图象在第二象限， ∵5>|−3|， ∴函数y=−3 x (x<0)的图象更靠近坐标轴， ∴坐标系的纵轴是：y2， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，y=x+ 1 x 的大致图象（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】列表，描点，连线，即可画出函数图像，从而判断． 【详解】解：列表： x … −3 −2 −1 1 2 3 … y … −10 3 −5 2 −2 2 5 2 10 3 … 画图如下： 故选． 【点睛】本题考查了函数图像，解题的关键是能根据函数图像的画法画出草图． 4．（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：a⊕b=¿，例如：3⊕5=3 5，3⊕(−5)=−3 −5，则 y=3⊕x (x≠0)的图象是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据题意可得函数关系式，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答． 【详解】解：由题意得：y=3⊕x=¿， 当x>0时，反比例函数y=3 x 在第一象限， 当x<0时，反比例函数y=−3 x 在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B 选项符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 5．（2023·河北沧州·统考二模）如图，把函数y= 1 x ( x<0)和函数y=−2 x ( x<0)的图象画在同一平面直角 坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） ．点M B．点N ．点P D．点Q 【答】D 【分析】根据同一个自变量对应的函数值的大小即可判断出函数图象离横轴的距离． 【详解】解：∵当x<0时，2 x > 1 x ， ∴函数y=−2 x ( x<0)的图象比函数y= 1 x ( x<0)离横轴远，且都不与横轴相交， ∴坐标系的原点可能是点Q， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时， 两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交，|k|越大， 反比例函数的图象离坐标轴的距离越远． 6．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数y= 1 x ，⊙的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 【答】π 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是1 4 圆的面积，再根据扇形面积公式求 解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是1 4 圆的面积， ∴S阴影=90° π ×2 2 360° =π． 故答为：π． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到 阴影部分与圆之间的关系． 题型05 反比例函数点的坐标特征 1．（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数y=ax与反比例函数y= b x 的图象交于点A (m,n)，则这个 函数图象的另一个交点为（ ） ．(b,a) B．(−a,b) ．(m,−n) D．(−m,−n) 【答】D 【分析】利用正比例函数y=ax与反比例函数y= b x 的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数y=ax与反比例函数y= b x 的图象都关于原点对称，两函数图象交于点A (m,n)， ∴这个函数图象的另一个交点为(−m,−n)， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题 的关键． 2．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点A (x1, y1)，B (x2, y2)皆落于反比例函 数y=7 x 图象上，当直线B 与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ） ．−1 B．1 ．−7 D．7 【答】 【分析】由直线B 与第二象限角平分线垂直可知、B 关于直线y=−x对称，即有x1=−y2，x2=−y1，再根 据两点均在反比例函数图象，可得x1⋅y1=x2⋅y2=7，问题随之得解． 【详解】解：根据题意、B 关于直线y=−x对称， ∴x1=−y2，x2=−y1， ∵互不重合的两点A (x1, y1)，B (x2, y2)皆落于反比例函数y=7 x 图象上， ∴x1⋅y1=x2⋅y2=7， ∴x1⋅x2=x1⋅(−y1)=−x1 y1=−7， 故选：． 【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据、B 关于直线y=−x对称，得出 x1=−y2，x2=−y1，是解答本题的关键． 3．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4 ,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象 与反比例西数y= k x (k ≠0)图象的两个不同的交点，则m+n=¿ ． 【答】−12 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得m,n的值， 即可求解． 【详解】解：∵点P(m+1,7)与点Q(4 ,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y= k x (k ≠0)图象 的两个不同的交点， ∴m+1=−4 ,n=−7， 解得m=−5,n=−7， ∴m+n=−12， 故答为：−12． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是 解题的关键． 4．（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在平面直角坐标系xy 中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线 y¿ 2 x 的交于M（x1，y1），（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 【答】−2 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特 点解答即可． 【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称， ∵k>0， ∴图像经过一、三象限， y¿ 2 x 图像也关于(0，0)中心对称， ∵2>0， ∴图像经过一、三象限， 又∵M、为y=kx 与y¿ 2 x 交点， ∴M、也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限， ∴M(x1， 2 x1 )，(−x1，−2 x1 )， ∴x1⋅y2=x1⋅( −2 x1 )=−2， 故答为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对 称是解答本题的关键． 5．（2021·贵州遵义·统考二模）已知点A (m,n)在双曲线y= k x 上，点B (−m,n)在直线y=2 x−3k上，则 2 n + 1 m的值为 ． 【答】-3 【分析】将点A (m,n)代入反比例函数y= k x 中得到mn=k，将点B (−m,n)代入y=2 x−3k中得到 2m+n=−3k，最后对2 n + 1 m通分再整体代入求值即可． 【详解】解：∵点A (m,n)在双曲线y= k x 上， ∴mn=k， ∵点B (−m,n)在直线y=2 x−3k上， ∴n=−2m−3k，即2m+n=−3k ∴2 n + 1 m=2m+n mn =−3k k =−3， 故答为：−3． 【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数上点的坐标特点，点在函数上，将点的坐标代入解析式即可得到 等式，然后再代入求值． 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式 1．（2023·山东济南·统考一模）反比例函数y= k x 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） ．9 B．18 ．25 D．36 【答】 【分析】根据图象，当x=6时，函数值在3 和6 之间，代入解析式即可求解． 【详解】解：当x=6时，y= k 6 ， ∵3< y<6，