第10讲 一次函数的图象与性质（练习）（解析版）

第10 讲 一次函数图象与性质 目 录 题型01 根据一次函数的定义求参数值 题型02 求一次函数的自变量或函数值 题型03 判断一次函数图象 题型04 根据一次函数图象解析式判断象限 题型05 已知函数经过的象限求参数的值或取值范 题型06 一次函数与坐标轴交点问题 题型07 判断一次函数增减性 题型08 根据一次函数增减性判断参数取值范围 题型09 根据一次函数增减性判断自变量的变化情 题型10 一次函数的平移问题 题型11 求一次函数解析式 题型12 一次函数的规律探究问题 题型13 一次函数的新定义问题 题型14 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型15 由一元一次方程的解判断直线与x 轴交点 题型16 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型17 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型18 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型19 根据两条直线交点求不等式的解集 题型01 根据一次函数的定义求参数值 1．（2022 泸县一中一模）已知函数y=(m−2) x m 2−3+n+2，（m ，是常数）是正比例函数，m+n的值为 （ ） ． −4或0 B． ±2 ．0 D． −4 【答】D 【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如y =kx（k 是常数，）的函数，叫做正比例函 数． 【详解】∵函数y=(m−2) x m 2−3+n+2，（m ，是常数）是正比例函数， ∴¿， 解得，¿， ∴¿， ∴m+n=−4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式． 2．（2022·辽宁沈阳·统考二模）若y=x+2−3b，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（ ） ．0 B．−2 3 ．2 3 D．3 2 【答】 【分析】根据y 是x 的正比例函数，可知2−3b=0，即可求得b 值． 【详解】解：∵y 是x 的正比例函数， ∴2−3b=0， 解得：b=2 3， 故选：． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键． 3．（2022·四川成都·统考二模）若函数y=(m−1) x ¿m∨¿−2¿是一次函数，则m的值为（ ） ．-1 B．±1 ．1 D．2 【答】 【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答． 【详解】解：由题意可得|m|=1，m-1≠0， ∴m=-1， 故选 【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键． 4．（2021·陕西西安·校考二模）若点M (1,2)关于y轴的对称点在一次函数y=(3k+2) x+k的图象上，则k 的值为（ ） ．−2 B．0 ．−1 D．−3 7 【答】 【分析】依题意，点M (1,2) 关于y轴的对称点为M 1(−1,2)，然后将点M 1带入一次函数解析式即可； 【详解】由题知，点关于y轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变， 可得：对称点M 1(−1,2) 将点M 1(−1,2)代入一次函数y=(3k+2)x+k，即为2=(3k+2)×(−1)+k，可得：k=−2； 故选： 【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接； 题型02 求一次函数的自变量或函数值 1．（2023·山东济宁·校考三模）从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线 y=−x+1上的概率是（ ） ．1 6 B．1 5 ．1 4 D．1 3 【答】D 【分析】先列出数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再利 用概率公式的求法得出． 【详解】数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标可以为 (−1，0)、(−1，1)、(−1，2)、(0，−1)、(0，1)、(0，2)、(1，−1)、 (1，0)、(1，2)、(2，−1)、(2，0)、(2，1)共12 种等可能的情况， 依次代入y=−x+1知(−1,2)、(0,1)、(1,0)、(2,−1)在直线上， 故概率为4 12=1 3． 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键． 2．（2023·广东广州·统考一模）若点P (1,3)在直线y=2 x+b上，则下列各点也在直线l 上的是（ ）． ．(2,−1) B．(2,5) ．(−2,3) D．(−2,9) 【答】B 【分析】先将P (1,3)代入y=2 x+b求出b 的值，再将各选项的横坐标依次代入即可判断． 【详解】解：∵点P (1,3)在直线y=2 x+b上， ∴ 3=2×1+b， 解得b=1， ∴ y=2 x+1， 当x=2时，y=2×2+1=5，因此(2,−1)不在直线l 上，(2,5)在直线l 上； 当x=−2时，y=−2×2+1=−3，因此(−2,3)，(−2,9)不在直线l 上； 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是求出b 的值． 3．（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）点P(a，b)在函数y=2 x+1的图像上，则代数式 6a−3b+2的值等于 ． 【答】−1 【分析】把点代入一次函数解析式，求出a,b的关系，再代入计算即可． 【详解】解：∵点P(a，b)在函数y=2 x+1的图像上， ∴2a+1=b，变形得2a−b=−1， 代数式6a−3b+2变形得3(2a−b)+2， ∴3×(−1)+2=−1， 故答为：−1． 【点睛】本题主要考查求一次函数自变量或函数值、求代数式的值，熟练掌握整体思想解答是解题的关键． 4．（2023·广东广州·统考二模）已知P= 2a a 2−b 2−1 a+b (a≠±b) (1)化简P； (2)若点(a,b)在一次函数y=x−2的图象上，求Р 的值 【答】(1) 1 a−b (2)1 2 【分析】（1）利用因式分解对原式进行通分化简即可解答； （2）将点(a,b)代入一次函数中计算后即可解答． 【详解】（1）解： P= 2a (a−b)(a+b)− a−b (a−b)(a+b) ¿ a+b (a−b)(a+b) ¿ 1 a−b； （2）解：∵点(a,b)在一次函数y=x−2的图像上， ∴b=a−2， ∴a−b=2， ∴P= 1 a−b=1 2． 【点睛】本题考查了分式的化简和求值，一次函数图象的坐标特征，解题的关键是掌握分式的运算法则． 题型03 判断一次函数图象 1．（2022·山西太原·统考二模）如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯 中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚 棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ） ．正比例函数关系 B．一次函数关系 ．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答】B 【分析】根据函数的解析式判断即可； 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x 枚棋子后水面高度为y，则 y=kx+b，符合一次函数解析式， 故选： B． 【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b 为常数，k≠0 是解题关键． 2．（2023·辽宁·模拟预测）一次函数y=kx+2的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） ．k<0 B．y 随x 增大而增大 ．图象经过原点 D．图象经过第一、二、三象限 【答】 【分析】根据函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由函数图象得：y 随x 增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限， ∴k<0， 即B，，D 错误，正确； 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键． 3．（2023·湖南长沙·校联考二模）已知一次函数y=ax−4的函数值y 随x 的增大而减小，则该函数的图象 大致是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数的增减性可得a<0，进一步可知y=ax−4的图象经过的象限，即可判断． 【详解】解：∵一次函数y=ax−4的函数值y 随x 的增大而减小， ∴a<0， ∵b=−4<0， ∴y=ax−4经过第二、三、四象限，故选项B 符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 题型04 根据一次函数图象解析式判断象限 1．（2022·陕西西安·校考模拟预测）若m←2，则一次函数y=(m+1) x+1−m的图象不经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据一次函数的图象和系数的关系分析即可． 【详解】解：若m←2，则m+1←1<0，1−m>3>0， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于y=kx+b来说，当k>0时，y随着x的增大而增 大；当k<0时，y随着x的增大而减小；当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负 半轴，熟知上述性质是解题的关键． 2．（2023·安徽六安·统考二模）关于x的一元二次方程m x 2−2 x−1=0无实数根，则一次函数y=mx+2 的图象不经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据一元二次方程m x 2−2 x−1=0无实数根得m≠0且Δ=(−2) 2−4 m×(−1)<0，即可得m←1， 又∵b=2>0，可得一次函数y=mx+2的图象经过一、二、四象限，即可得． 【详解】解：∵一元二次方程m x 2−2 x−1=0无实数根， ∴m≠0且Δ=(−2) 2−4 m×(−1)<0， 4+4 m<0， 4 m←4， m←1， 又∵b=2>0， ∴一次函数y=mx+2的图象经过一、二、四象限， ∴一次函数y=mx+2的图象不经过第三象限， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这 些知识点． 3．（2023·安徽合肥·统考二模）一元二次方程x 2−2 x−3=0有两个实数根，b，那么一次函数 y=(ab−1) x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答． 【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−3， ∴一次函数解析式为：y=−4 x+2， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质． 4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，则一次函数 y=−2kx+k的图象所经过的象限是（ ） ．一、二、四 B．一、二、三 ．一、三、四 D．二、三、四 【答】 【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即 可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大， ∴k ＞0， ∴−2k ＜0 ∴一次函数y=−2kx+k的图象经过一、二、四象限． 故选：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k ≠0)中， 当k ＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限． 题型05 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 1．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数y=(k−2)x+k（k 为常数，k ≠2）的图象不经过第四象限，则 k 的值可能为（ ） ．−1 B．0 ．1 D．3 【答】D 【分析】根据题意得出¿，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵一次函数y=(k−2)x+k（k 为常数，k ≠2）的图象不经过第四象限， ∴¿ 解得：k>2 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·湖南长沙·校考一模）一次函数y=(k−1) x+k不经过第二象限，则k 的值（ ） ．+1 B．0 ．±1 D．不存在 【答】D 【分析】根据题意可知经过第一、三象限或第一、三、四象限，据此根据一次函数的性质列出不等式组求 解即可． 【详解】解：∵一次函数y=(k−1) x+k不经过第二象限， ∴经过第一、三象限或第一、三、四象限， ∴¿， 此时不等式组无解 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时， 一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限， 当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经 过第二、三、四象限是解题的关键． 3．（2023·陕西榆林·校考二模）已知一次函数y =kx+b的图象与y 轴交于负半轴，且不经过第一象限，则 该函数图象与y=−kx+b−1的图象的交点在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】D 【分析】根据一次函数图象的象限，判断出k ＜0，b＜0，即可解答． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与y 轴交于负半轴，且不经过第一象限， ∴k ＜0，b＜0， ∴−k>0，b−1<0， 则y =−kx+b−1的图象经过第一、三、四象限， ∴两函数图象交点在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限判断参数的值，熟知一次函数图象的特征是解题的关键． 4．（2023·湖南娄底·统考一模）若直线y=kx−2经过第一、三、四象限，则k的值可以是 （请填一个 具体的数）． 【答】1 （答不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数中k与b对函数图象的影响是解题的关 键．根据一次函数所经过的象限确定图象的增减性，然后确定k 的取值范围即可解答． 【详解】解：∵ y=kx−2经过第一、三、四象限， ∴k>0， ∴k的值可以为1（答不唯一）， 故答为：1（答不唯一）． 5．（2023·湖南永州·校考二模）已知一次函数y=(m−2) x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，则m的 取值范围是 ． 【答】−3<m<2 【分析】根据一次函数y=(m−2) x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，得到关于m 的不等式，求解即 可． 【详解】解：∵一次函数y=(m−2) x+2m+6的图象经过第一、二、四象限， ∴¿，解得−3<m<2， 故答为：−3<m<2． 【点睛】本题考查一次函数图象的性质，对于一次函数y=kx+b(k ≠0，k，b为常数），当k>0，图象经 过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b>0， 图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b<0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）若一次函数y=kx−k+3不经过第二象限，则k的取值范 围为 ． 【答】k ≥3 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k 的取值范围，从而求解． 【详解】∵一次函数y=kx−k+3的图象不经过第二象限， ∴一次函数y=kx−k+3的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限， ∴k>0且−k+3≤0， 解得k ≥3． 故答为：k ≥3． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b的关系．解答本题注意理解：直线 y=kx+b所在的位置与k 、b的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象 限． 题型06 一次函数与坐标轴交点问题 1．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，直线y=kx+4分别交坐标轴于点、D，x 轴上一 点关于直线CD的对称点A '坐标为( 13 3 ，4)，则k 的值为（ ） ．−3 5 B．−2 ．−2 3 D．−3 4 【答】 【分析】连接A A '，交CD于点P，连接AD、A ' D、A 'C，与A '、D的坐标可知A ' D∥AC，即可得到 A ' D=13 3 ，OD=4，∠A ' DP=∠ACP，与对称的性质得到AD=A ' D，AC=A 'C，CD垂直平分 A A '，证得△A ' PD≌△APC(ASA)，即可证得四边形AD A 'C是菱形，得到AD=AC=13 3 ，利用勾 股定理求得OA，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接A A '，交CD于点P，连接AD、A ' D、A 'C， ∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D， ∴D(0,4)， ∵点A '坐标为( 13 3 ,4)， ∵A ' D∥AC， ∴A ' D=13 3 ，OD=4，∠A ' DP=∠ACP， 由题意可知，AD=A ' D，AC=A 'C，CD垂直平分A A '， ∴PA=P A '， ∵∠A ' PD=∠APC， ∴ △A ' PD≌△APC(ASA )， ∴A ' D=AC， ∴四边形AD A 'C是菱形， ∵AD=AC=13 3 ， ∴OA= ❑ √A D 2−O D 2=5 3， ∴OC=OA+ AC=5 3 + 13 3 =6， ∴C(6,0)， ∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D， ∴6 k+4=0， 解得k=−2 3 ． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−¿对称，菱形的判定和性质，勾股 定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键． 2．（2023·山东菏泽·统考三模）在平面直角坐标系xoy中，已知一次函数y=kx+b (k ≠0)的图像过点 P (1,1)，与x轴、y轴分别交点A、B，且OA=3OB，那么点A的坐标为（ ） ．(−2,0) B．(4,0) ．(−2,0)或(−4,0) D．(−2,0)或(4,0) 【答】D 【分析】根据题意找出k ,b数量关系，考虑直线的位置两种情形即可． 【详解】由y=kx+b得， 当x=0时，y=b，∴点B的坐标为(0,b)， ∴OB=|b|， 当y=0时，x=−b k ，∴点A的坐标为(−b k ,0)， ∴OA=| b k| 又∵y=kx+b图象过点P(1,1)， ∴k+b=1， ∵OA=3OB， ∴| b k|=3|b|， 解得：k=± 1 3 ①当k=1 3时，由k+b=1得，b=2 3