模型09 逆等线最值模型（解析版）(1)

两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 的和为定值 只要保证DE，DF 与腰的夹角相等，总会有：DE+DF 的和为定值的结论！ 证明思路： 作G∥FD，D∥B 易得红蓝全等，黄色平四 ∴DE＋DF＝＋G＝G（定长） 另证易得：△DE∽△DFB ∵D＋BD 为定值∴DE＋DF 为定值 引申：D 在线段B 外时差为定值（证明同理） 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 解：过点作⊥B 于，作M∥B 且M＝B，延长B 并过点M 作M⊥B 于， ∵B＝＝5，B＝6， ∴B＝＝ B＝3， ∴＝ ＝4， ∵M∥B 且M＝B，⊥B， ∴四边形M 是矩形， ∴＝M＝B＝6，＝+＝6+3＝9，M＝＝4， ∵M∥B， ∴∠MD＝∠B， ∵B＝， ∴∠B＝∠B＝∠MD， 在△DM 和△EB 中， ，∴△DM≌△EB（SS）， ∴BE＝MD，∴D+BE＝MD+D≥M， ∴当、D、M 三点共线时，D+BE 取最小值， M＝ ＝ ．故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 例题精讲 解：过作G⊥B 且使得G＝B＝4 ，连接BF、FG、BG， ∵B＝，点D 为B 的中点， ∴D⊥B，∠BD＝∠D，∴∠BD+∠BD＝90°， ∵B⊥G，∴∠BG＝90°， ∴∠BD+∠GF＝90°，∴∠GF＝∠BD， ∴∠GF＝∠BE， 又∵F＝E，G＝B，∴△GF≌△BE（SS），∴GF＝BE， ∵FB＝F，∴BE+F＝GF+BF， ∵当点B、F、G 三点共线时，GF+BF 最小， ∴GF+BF 的最小值时线段BG 的长， ∵∠BG＝90°，B＝8，G＝4 ， ∴BG＝ ＝4 即BE+F 的最小值为4 ，故答为：4 ． 【变式1-2】．如图，已知直线B：y＝ 分别交x 轴、y 轴于点B、两点， （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE 交y 轴于点，且D＝E．当BD+BE 的 值最小时，则点的坐标为（ ） ．（0，4） B．（0，5） ． D． 解：由题意（0， ），B（﹣3，0），（3，0），∴B＝＝8， 取点F（3，8），连接F，EF，BF． ∵（3，0），∴F∥，∴∠EF＝∠， ∵B＝，⊥B，∴∠＝∠BD，∴∠BD＝∠EF， ∵F＝B＝8，D＝E， ∴△EF≌△DB（SS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF， ∵BE+EF≥BF，∴BD+BE 的最小值为线段BF 的长， ∴当B，E，F 共线时，BD+BE 的值最小， ∵直线BF 的解析式为：y＝ x+4， ∴（0，4），∴当BD+BE 的值最小时，则点的坐标为（0，4），故选：． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 解：如图1，作⊥B，且＝B，连接B，连接F， ∵△B 是等边三角形，D⊥B，∴＝B，∠D＝30°，∴＝， ∵∠B＝90°，∠B＝60°，∴∠＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∴∠D＝∠＝30°， ∵E＝F，∴△E≌△F（SS），∴E＝F，BF+E＝BF+F， ∴当F 为与B 的交点时，如图2，BF+E 的值最小， 此时∠FB＝45°，∠FB＝60°，∴∠FB＝105°，故答为：105． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P 和Q 同 时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B 点距离之和 PB+QB 最小时，∠PBQ 的度数为 ． 解：过点作D⊥B，取D＝B，连接BD， ∵△B 是等边三角形，是B 边上的高， ∴∠B＝∠B＝60°，∠B＝30°， ∴∠D＝30°， ∴∠B＝∠D， 在△BP 和△DQ 中， ，∴△BP≌△DQ（SS），∴BP＝DQ，∠QD＝∠PB， ∴当B、Q、D 共线时，PB+QB 最小，连接BD 交于Q， ∴∠PB＝∠QB，∴∠PBQ＝∠Q＝30°，故答为：30°． 【变式2-2】．在等边△B 中，B＝4，点E 在边B 上，点F 在∠B 的角平分线D 上，E＝F， 则E+F 的最小值为 ． 解：过点作G⊥，并截取G＝，连接EG，如图所示： ∵△B 为等边三角形， ∴B＝B＝＝4，∠B＝∠B＝∠B＝60°， ∵D 平分∠B．∴∠D＝∠BD＝ ∠B＝30°， ∵∠G＝90°，∴BG＝∠G﹣∠B＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∴∠D＝∠BG， ∴△GE≌△F（SS）， ∴F＝GE，∴F+E＝GE+E， 当、G、E 三个点在同一直线上时，GE+E 的和最小，即F+E 最小． ∴F+E 的值最小为： ＝ ＝4 ．故答为： 考点三：直角三角形中逆等线模型 【例3】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝6，B＝4，D，E 分别是，B 上的动点，且D ＝BE，连结BD，E，则BD+E 的最小值为 ． 解：过B 作BF∥，在平行线上取BF＝B，连接EF，如上图： ∴∠EBF＝∠， ∵BF＝B，BE＝D， ∴△BEF≌△DB（SS）， ∴EF＝BD， ∴BD+E＝EF+E， 当，E，F 共线时，EF+E 最小，即BD+E 最小，最小值即为F 的长度， ∵BF∥，∠B＝90°， ∴∠FB＝90°， ∴F＝ ＝ ＝2 ， ∴BD+E 最小为2 ， 故答为：2 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，D，E 为B 边上的两个动点，且D＝ BE，连接D，E，若＝2，则D+E 的最小值为 ． 解：如图： 构造矩形BF，连接DF，EF，F 交B 于点， 则F＝，＝B，B＝F， ∵D＝BF， ∴D＝E，∴四边形EFD 为平行四边形， ∴DF＝E， ∴D+E＝D+DF≥F， Rt ∵ △B 中，∠B＝90°，∠B＝30°， ∴B＝2＝4，∴D+E≥4， 故答为：4． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，点M，分别为B，上的动点，且 ＝M，B＝ ．当M+B 的值最小时，M 的长为 ． 解：过点作E⊥B，使得E＝，连接EM，过点作D⊥B 于点D． ∵B＝＝E，∠B＝∠EM＝90°，＝M， ∴△B≌△EM（SS）， ∴B＝EM， ∴M+B＝M+ME， ∴当，M，E 共线时，M+B 的值最小， ∵D∥E， ∴ ＝ ＝ ， ∴M＝ ×1＝2﹣ ． 故答为：2﹣ ． 考点四：一般三角形中逆等线模型 【例4】．在△B 中，∠B＝60°，B＝8，＝10，点D、E 在B、边上，且D＝E，则D+BE 的 最小值 ． 解：如图作K∥B，使得K＝．作BG⊥K 交K 的延长线于G． ∵K∥B，∴∠KE＝∠， ∵K＝，E＝D，∴△KE≌△D，∴D＝KE， ∵D+BE＝EK+EB≥BK， ∴D+BE 的最小值为BK 的长， 在Rt△BG 中，∵∠G＝90°，B＝8， ∴G＝ B＝4，BG＝4 ， 在Rt△KBG 中，BK＝ ＝ ＝2 ． 故答为2 ． 变式训练 【问题背景】（1）如图（1），E 为△B 的边B 上的一点，E＝B，过点作D∥B，且D＝ B，连接DE，求证：△DE≌△B； 【变式迁移】（2）如图（2），在△B 中，＝B，BD 平分∠B，点E 在B 上，且E＝D， 若点分别到B，BD 的距离之比为m，求证： ； 【拓展创新】（3）如图（3），在△B 中，∠B＝45°， ，＝6，D，E 分别是，B 上的点，且E＝D，直接写出E+BD 的最小值 （1）证明：∵D∥B， ∴∠DE＝∠B， 在△DE 和△B 中， ， ∴△DE≌△B（SS）； （2）证明：如图2，过点作G∥B 交BD 的延长线于G，过点作T⊥BG 于点T，⊥B 于点， 连接G． ∴∠DG＝∠， ∵＝B，E＝D，∴△DG≌△E（SS）， ∴DG＝E，G＝，∴E+BD＝DG+BD＝BG， ∵＝B，∴G＝B， ∵G∥B，∴S△GB＝S△G，∴ BG•T＝ •G•， ∴BG•T＝B•，∴ ＝ ＝m； （3）解：如图3 中，作G∥B，使得G＝，连接DG，过点作⊥B 于点，过点G 作GT⊥B 交B 的延长线于点T，连接BG． ∵B＝3 ，∠B＝45°，∠B＝90°， ∴＝B＝3， ∵四边形GT 是矩形，∴GT＝＝3，G＝＝T＝6， ∴BT＝9，∴BG＝ ＝ ＝3 ， 由（2）可知，△DG≌△E，∴DG＝E， ∴E+BD＝DG+DB≥BG＝3 ，∴E+BD 的最小值为3 ． 考点五：正方形中逆等线模型 【例5】如图，正方形BD 的边长为6，点E、F 分别在B、B 上，且E＝BF，E 与DF 交于 点P，连接BP，求BP 的最小值． 解：∵四边形BD 是正方形，∴B＝B＝D， ∵E＝BF，∴BE＝F， 在△BE 和△DF 中， ， ∴△BE≌△DF（SS），∴∠EB＝∠FD， ∵∠EB+∠ED＝90°，∴∠FD+∠ED＝90°，∴∠DP＝90°， ∴点P 在以D 为直径的圆上， 如图，以D 为直径作⊙，连接P，B， ∴P＝＝D＝3， 在△PB 中，BP＞B﹣P， ∴当点P 在B 上时，BP 的最小值为B﹣P， ∵B＝ ＝ ＝3 ，∴BP 的最小值为3 3 ﹣． 变式训练 【5-1】．已知正方形BD 的边长为1，点E，F 分别是边B，D 上的两个动点，且满足BE ＝F，连接E，F，则E+F 的最小值为 ． 解：连接DE，作点关于B 的对称点′，连接B′、E′， ∵四边形BD 为正方形， ∴D＝D＝B，∠D＝∠BD＝90°， ∵BE＝F， ∴DF＝E， ∴△DE≌△DF（SS）， ∴DE＝F， ∴E+F＝E+DE， 作点关于B 的对称点′，连接B′、E′， 则E＝′E， 即E+F＝E+DE＝'E+DE， 当D、E、′在同一直线时，E+F 最小， ′＝2B＝2， 此时，在Rt△D′中，由勾股定理得：D′＝ ， 故E+F 的最小值为 ． 故答为： ． 考点六：矩形中逆等线模型 【例6】如图，矩形BD 中，B＝2，D＝3，点E、F 分别为边B、D 上的动点，且E＝F， 则BF+E 的最小值为 ． 解：连接DE， ∵四边形BD 是矩形，∴B＝D， ∵E＝F，∴BE＝DF， ∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE＝BF， 要求BF+E 的最小值，即求DE+E 的最小值， 作D 点关于B 的对称点D′，连接D′交B 于E， 则DE+E＝D′E+E＝D′的值最小， ∵B＝2，D＝3，∴D＝B＝2，DD′＝2D＝6， ∴D′＝ ＝ ＝2 ， 即BF+E 的最小值为2 ，故答为：2 ． 变式训练 【6-1】如图，矩形BD 中，B＝3，D＝4，点E、F 分别是边B 和对角线BD 上的动点，且 BE＝DF，则E+F 的最小值是 ． 解：如图，作点D 关于B 的对称点G，连接BG，在BG 上截取B，使得B＝D，连接． 作M⊥B 交B 的延长线于M． ∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝3，B＝D＝4，D∥B， ∴∠DF＝∠DB， ∵D＝G，B⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DB＝∠BG，∴∠DF＝∠BE， ∵D＝B，DF＝BE，∴△DF≌△BE（SS），∴F＝E， ∴E+F＝E+E≥， 在Rt△BD 中，BD＝ ＝5， 由△BM∽△DB，可得 ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，∴BM＝ ，M＝ ，∴M＝3+ ＝ ， 在Rt△M 中，＝ ＝ ， ∴E+F≥ ，∴E+F 的最小值为 ．故答为 【6-2】如图，在矩形BD 中，D＝4，B＝4 ，E，F 分别是BD，B 上的一动点，且BF＝ 2DE，则F+2E 的最小值是 ． 解：连接DF，延长B 到T，使得BT＝B，连接DT． ∵四边形BD 是矩形，∴∠BD＝∠B＝90°，B∥D， t ∴∠DB＝ ＝ ，∠DE＝∠DBF，∴∠DB＝30°，∴BD＝2D， ∵BF＝2DE，∴ ＝ ＝2，∴△DBF∽△DE，∴ ＝ ＝2， ∴DF＝2E，∴F+2E＝F+DF， ∵FB⊥T，B＝BT，∴F＝FT，∴F+2E＝DF+FT≥DT， ∵DT＝ ＝ ＝4 ，∴F+2E≥4 ， ∴F+2E 的最小值为4 ，故答为：4 ． 考点七：菱形中逆等线模型 【例7】如图，菱形BD 中，∠B＝60°，B＝2，E、F 分别是边B 和对角线BD 上的动点， 且BE＝DF，则E+F 的最小值为 ． 解：如图，B 的下方作∠BT＝30°，在BT 上截取BT，使得BT＝D，连接ET，T． ∵四边形BD 是菱形，∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，∠DF＝ ∠D＝30°， ∵D＝BT，∠DF＝∠TBE＝30°，DF＝BE， ∴△DF≌△TBE（SS）， ∴F＝ET， ∵∠BT＝∠B+∠BT＝60°+30°＝90°，B＝D＝BT＝2， ∴T＝ ＝ ＝2 ， ∴E+F＝E+ET， ∵E+ET≥T， ∴E+F≥2 ， ∴E+F 的最小值为2 ，故答为2 ． 变式训练 【7-1】如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，D＝4，M，分别是边B，D 的动点，满足M＝ D，连接M、，E 是边M 上的动点，F 是M 上靠近的四等分点，连接E、BE、F，当△F 面积最小时， BE+E 的最小值为 ． 解：如图，连接M、， ∵四边形BD 是菱形，∠BD＝120°， ∴B＝D＝D，∠B＝∠D＝∠D＝60°， ∴△D 和△B 为等边三角形，∴＝D，∠D＝60°， ∵M＝D，∴△M≌△D（SS）， ∴M＝，∠D＝∠M， ∴∠M＝∠M+∠＝∠D+∠＝∠D＝60°， ∴△M 为等边三角形， ∵点F 是M 上靠近点的四等分点，∴S△F＝ S△M， ∴△M 的面积最小时，△F 的面积也最小， ∵S△M＝ ， ∴当和M 长度最短时，S△M的面积最小，即⊥D，M⊥B 时△F 的面积最小， 取BE 的中点为点G，连接MG， ∵△B 为等边三角形，M⊥B，∴点M 是B 的中点， ∴E＝BE，∴MG＝ E＝ BE，∴ BE+E＝ E+E＝ E， ∵点E 是M 上的动点，∠ME＝90°，∴E 的最小值即为M 的长度， ∵D＝4，∴M＝ B＝2，∴（ BE+E）最小值＝ ×2＝3，故答为：3． 【7-2】如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，B＝6，连接BD． （1）求BD 的长； （2）点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合），点F 在边D 上，且BE＝ DF． ①当E⊥B 时，求四边形BEF 的面积； ②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+ F 的值是否也最小？如果是，求E+ F 的最小值；如果不是，请说明理由． 解：（1）过点D 作D⊥B 交B 的延长线于，如图： ∵四边形BD 是菱形， ∴D＝B＝6， ∵∠BD＝120°， ∴∠D＝60°， 在Rt△D 中， D＝D•s∠D＝6× ＝3 ， ＝D•s∠D＝6× ＝3， ∴BD＝ ＝ ＝6 ； （2）①设E⊥B 交B 于M 点，过点F 作F⊥B 交B 的延长线于，如图： 菱形BD 中， ∵B＝B＝D＝D＝6，D∥B，∠BD＝120°， ∴∠B+∠BD＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠BD＝60°， 在Rt△BM 中，BM＝B•s∠B＝6× ＝3， ∵BD 是菱形BD 的对角线， ∴∠DB＝ B＝30°， 在Rt△BEM 中， ME＝BM•t∠DBM＝3× ＝ ， BE＝ ＝ ＝2 ， ∵BE＝ DF， ∴DF＝2， ∴F＝D﹣DF＝4， 在Rt△F 中， ∠F＝180°﹣∠BD＝60°， ∴F＝F•s∠F＝4× ＝2 ， ＝F•s∠F＝4× ＝2， ∴M＝B+﹣BM＝6+2 3 ﹣＝5， ∴S 四边形BEF＝S△BEM+S 梯形EMF﹣S△F ＝ EM•BM+ （EM+F）•M﹣ •F ＝ 3+ （ +2 ）×5﹣ 2×2 ＝ + 2 ﹣ ＝7 ； ②当四边形BEF 的面积取最小值时，E+ F 的值是最小， 理由：设DF＝x，则BE＝ DF＝ x，过点作⊥B 于点，过点F 作FG⊥于点G， 过点E 作EY⊥于点Y，作EM⊥B 于M 点，过点F 作F⊥B 交B 的延长线于，如图： ∴EY∥FG∥B，F∥， ∴四边形EMY、FG 是矩形， ∴F＝G，FG＝，EY＝M，EM＝Y， 由①可知：ME＝ BE＝ x， BM＝ BE＝ x， ＝ F＝ （D﹣DF）＝3﹣ x， F＝ F＝ ， ＝ B＝3 ，B＝ B＝3， ∴M＝B﹣BM＝6﹣ x， ＝B﹣B＝3， Y＝ME＝ x， G＝F＝ ， EY＝M＝BM﹣B＝ x 3 ﹣， ∴Y＝﹣Y＝3 ﹣ x， FG＝＝+＝6﹣ ，G＝﹣G＝3 ﹣ ＝ x， ∴M＝B+﹣BM＝6+3﹣ x﹣ x＝9 2 ﹣x， ∴S 四边形BEF＝S△BEM+S 梯形EMF﹣S△F ＝ EM•BM+ （EM+F）•M﹣ •F ＝ x× x+ （ x+ ）•（9 2 ﹣x）﹣ （3﹣ x）• ＝ x2﹣ x+9 ＝ （x 3 ﹣）2+ ， ∵ ＞0， ∴当x＝3 时，四边形BEF 的面积取得最小值， 方法一：E+ F＝ + • ＝ + ＝ + × ＝ + × ＝ + ， ∵（x 3 ﹣）2≥0，当且仅当x＝3 时，（x 3 ﹣）2＝0， ∴E+ F＝ + ≥12， 当且仅当x＝3 时，E+ F＝12，即当x＝3 时，E+ F 的最小值为12， ∴当四边形BEF 的面积取最小值时，E+ F 的值也最小，最小值为12． 方法二： 如图：将△BD 绕点B 逆时针旋转60°