专题09 相似三角形的五种基本模型（解析版）

专题09 相似三角形的五种基本模型 类型一、字型（双字型） 例1．如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求 的值． 【答】 【分析】过点作D 的平行线交B 的延长线于点，构造“”型和“8”型，得出 和 ，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答； 【详解】如图，过点作D 的平行线交B 的延长线于点． 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为D 为B 的中点，所以 ． 因为M 为D 的中点，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 例2（培优）如图， 中，点D 在 边上，且 ． （1）求证： ； （2）点E 在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数． （3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） ＝60°；（3）F＝11 【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出 ，证得 ； （2）作＝BE，连接D，根据角的数量关系证得 ，再由三角形全等判定得△BD BE ≌△ ，最后推出 △D 为等边三角形，即可得出 ＝60°； （3）借助辅助线⊥E，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE BD ∽△ ，建立相应的等量关系式，完成等 式变形和求值，即可得出F 的值． 【详解】（1）证明：∵∠BD＝90°＋ ∠BD，∠BD= BD+ ∠ ∠， ∴ ∠＝90°－ ∠BD． BD ∠ ＋∠BD＝180°， BD ∴∠ ＝180°－∠BD＝90°－ ∠BD． ∴ ∠＝∠BD＝90°－ ∠BD． DB ∴ ＝B． 解：（2）如图1，作＝BE，连接D， FD ∵∠ ＝∠B，∠FD＝∠BD＋∠BE，∠B＝∠BD＋∠DB， BE ∴∠ ＝∠DB． ∵由（1）知，∠BD＝∠BD， 又∵∠E＝∠BD－∠BE，∠＝∠DB－∠DB， E ∴∠＝∠． E ∴＝E． BE ∵ ＝， BE ∴ ＋E＝＋E． 即B＝E＝E． B ∵＝BD， BD BE ∴△ ≌△ ． BE ∴ ＝D． BE ∵ ＝D， ∴＝D＝D． ∴△D 为等边三角形． B ∴∠＝60°． （3）如图2，过点作⊥E，垂足为． D E ∵∥， E ∴∠＝∠D＝60°，∠E＝∠D＝60°． E ∴△是等边三角形． 设＝E＝E＝x，则BE＝16－x， D E ∵∥， BFE BD ∴△ ∽△ ． ∴ ． ∴ ， ． BF ∵△ 的周长等于30， 即B＋BF＋F＝B＋ ＋x－ =30， 解得B＝16－ ． 在Rt△中，＝ ，＝ ， B ∴＝16－ ． 在Rt B △中，2＋B2＝B2， 即 ．解得 （舍去） ． ∴＝ ．∴F＝11． 【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用， 解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，． 【变式训练1】一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面 积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合 要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合 要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方中的平行关系得到 相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方中，根据相似三角形的 高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作B⊥于，交DE 于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥ ∴ ∴ ，解得 设正方形的边长为x 米，如图乙 ∵DE∥B ∴ ∴ ，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立 数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 是 轴正半轴上一动点，以 为直 角边构造直角 ，另一直角边交 轴负半轴于点 ， 为线段 的中点，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】根据为直角边可分∠B=90°和∠B=90°两种情况进行讨论． 【详解】∵ 为直角三角形， 为直角边， ①当 时， ∵ ，又 ， ∴ 、 、 、 四点共圆，且 为直径， ∵ 为 中点，则 为圆心，连接 ，则 为圆的一条弦， ∴圆心一定在 的垂直平分线上， 取 中点 ，过 做直线 ，则 的运动轨迹为直线 ， ∴当 时， 取得最小值， ∵ ， ∴ 的解析式为 ， 又∵ 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的解析式可设为 ， 代入 ，得： ， ， ∴ 的解析式为 ， 令 ，得 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ②当 时， 点交于 轴原点处不符合题意，故 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四 边形和圆的有关性质求解是解题关键． 类型二、X 字型 X 字型（平行） 反X 字型（不平行） 例1．如图在平行四边形BD 中，E 是D 的中点，F 是E 的中点，F 交BE 于点G，若 ，则 ． 【答】2 【分析】延长F、B 交于M，根据已知条件得出EF＝F，E＝ D，根据平行四边形的性质得出D∥B，D＝ B，根据全等三角形的判定得出△EF≌△MF，根据全等三角形的性质得出E＝M，求出BM＝3E，根据相似 三角形的判定得出△EG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答即可． 【详解】解：延长F、B 交于M， ∵E 是D 的中点，F 是E 的中点， ∴EF＝F，E＝ D， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B，D＝B， ∴E＝ B，∠EF＝∠M， 在△EF 和△MF 中 ， ∴△EF≌△MF（S）， ∴E＝M， ∵E＝ B， ∴BM＝3E， ∵D∥B， ∴△EG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和 判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 例2（培优）矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． （1）如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； （2）如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 【答】（1） ；（2）BF＝3． 【分析】（1）如图①中，取DE 的中点M，连接PM．证明△PM DP ∽△ ，利用相似三角形的性质求解即可． （2）如图②中，过点P 作G B ∥交B 于G，交D 于．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP PD ∽△ ，推出 ，推出PG=2EG=3x，D=G=4+x，在Rt PD △ 中，由P2+D2=PD2，可得（3x）2+（4+x） 2=122，求出x，再证明△EGP EBF ∽△ ，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图①中，取DE 的中点M，连接PM． ∵四边形BD 是矩形， BD ∴∠ ＝∠＝90°， 由翻折可知，＝P，P DE ⊥ ，∠2＝∠3，∠DE＝∠DPE＝90°， 在Rt EPD △ 中，∵EM＝MD， PM ∴ ＝EM＝DM， 3 ∴∠＝∠MPD， 1 ∴∠＝∠3+ MPD ∠ ＝2 3 ∠， DP ∵∠ ＝2 3 ∠， 1 ∴∠＝∠DP， D B ∵∥， DP ∴∠ ＝∠DP， 1 ∴∠＝∠DP， MP ∵∠ ＝∠＝90°， PM DP ∴△ ∽△ ， ∴ ， ∴ ． （2）如图②中，过点P 作G B ∥交B 于G，交D 于．则四边形GD 是矩形，设EG＝x，则BG＝4 x ﹣ ∵∠＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DP＝90°， EPG+ DP ∴∠ ∠ ＝90°，∠DP+ PD ∠ ＝90°， EPG ∴∠ ＝∠PD， EGP PD ∴△ ∽△ ， ∴ ， PG ∴ ＝2EG＝3x，D＝G＝4+x， 在Rt PD △ 中，∵P2+D2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得：x＝ （负值已经舍弃），∴BG＝4﹣ ＝ ， 在Rt EGP △ 中，GP＝ ， G B ∵∥，∴△EGP EBF ∽△ ， ∴ ，∴ ，∴BF＝3． 【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似 三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式训练1】如图，在 中，点D 在B 上， ，连接D， ，则线 段D 的长为 ． 【答】 【分析】过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，交 的延长线于 ，可求 ， ，设 ，可证 ，由 即可求解． 【详解】解：如图，过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，交 的延长线于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得： ， 解得： ， (舍去)， ， 故答： ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性 质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 【变式训练3】（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△B 中，点在线段B 上，∠B＝30°，∠＝75°，＝ ，B：＝2：1，求B 的长经过数学小组成员讨论 发现，过点B 作BD∥，交的延长线于点D，通过构造△BD 就可以解决问题（如图2） 请回答：∠DB＝ °，B＝ （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3 在四边形BD 中对角线与BD 相交于点，⊥D，＝ ，∠B＝∠B＝75°，B：D＝2：1，求D 的长 【答】（1）75，3 ；（2）D＝ 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠DB= =75° ∠ ，结合∠BD=∠可得出△BD∽△，利用相似三角形的性 质可求出D 的值，进而可得出D 的值，由三角形内角和定理可得出∠BD=75°=∠DB，由等角对等边可得出 B=D 即可求解； （2）过点B 作BE∥D 交于点E，同（1）可得出E= ，在Rt△EB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度， 再在Rt△D 中，利用勾股定理即可求出D 的长． 【详解】解：（1）如图2 中，过点B 作BD∥，交的延长线于点D， ∵BD∥，∴∠DB＝∠＝75°． ∵∠BD＝∠，∴△BD∽△，∴ ＝2，． 又∵＝ ，∴D＝2＝2 ， ∴D＝+D＝3 ． ∵∠BD＝30°，∠DB＝75°， ∴∠BD＝180°﹣∠BD﹣∠DB＝75°＝∠DB， ∴B＝D＝3 ； 故答为：75，3 ． （2）如图3 中，过点B 作BE∥D 交于点E． ∵⊥D，BE∥D， ∴∠D＝∠BE＝90°． ∵∠D＝∠EB， ∴△D∽△EB， ∴ ＝2． ∵B：D＝1：3， ∵＝ ，∴E＝2 ，∴E＝3 ． ∵∠B＝∠B＝75°， ∴∠B＝30°，B＝，∴B＝2BE． 在Rt△EB 中，BE2+E2＝B2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2， 解得：BE＝3，∴B＝＝6，D＝ 在Rt△D 中，2+D2＝D2，即62+（ ）2＝D2，解得：D＝ （负根已经舍弃）． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平 行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 类型三、母子型 例1．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为 ． 【答】 【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，可得等腰 和等腰 ， ，再证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求出 ． 【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰 和②构造等腰 是解题关键． 例2．（培优）已知：如图， 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 交 于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ． 【答】见解析 【分析】连接F，先利用垂直平分定义以及角平分线性质，求证 ，所以 ，所 以 【详解】证明：如图所示，连 ，∵ 垂直平分 ， ∴ ， ， ∵ 平分 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，又 公共， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，能够灵活运用三角形判定定理是解题关键 【变式训练1】如图，在 中， ，D 是 上一点，点E 在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ． 【答】2 【分析】过D 作 垂直 于点，过D 作 交B 于G 点，先利用解直角三角形求出 的长，其 次利用 ，求出 的长，得出 的长，最后利用 求出 的长，最后得出答． 【详解】解：如图：过D 作 垂直 于点，过D 作 交 于G 点， ∵在 中， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴在等腰直角三角形 中， ， ∴ ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， 又 ，∴ ，∴ ，故答为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做 出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答． 【变式训练2】如图，在 中， ， ， ， ， ，则D 的长为 ． 【答】5 【分析】在D 上取点F，使 ，证明 ，求解 再证明 ，利 用相似三角形的性质求解 即可得到答 【详解】解：在D 上取点F，使 ， ， ， 由 ， ， ， ， 且 ， ， ， ∽ ， ， ， ， 又 ， ， ∽ ， ， 又 ， ， 或 舍去， 经检验： 符合题意， ．故答为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的 判定与性质，掌握以上知识是解题的关键 类型四、旋转相似模型 例．在 中， ， ，点P 是平面内不与点，重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点P 逆时针旋转α 得到线段 ，连接 ， ， (1)观察猜想 如图①，当 时， 的值是_______，直线 与直线 相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当 时，请写出 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形 说明理由． 【答】(1)1， ； (2) ， ，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得 ，如图①中， 设直线 与直线 交于点，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得 ，即可证得 ， 如图②中，设直线 交 于G， 交 于点，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 与 都是等边三角形， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ； 设 与 的延长线交于点，如图①， ， ∴直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ； （2）解： ，直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ， 理由如下： ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， 即 ， ， ， ， 设 交 于点G， 交 于点，如图②， ， ， ∴直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质， 全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 【变式训练1】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P 是底边B 上一点，连接P，以P 为腰作等 腰 ，且 ，连接Q、则BP 和Q 的数量关系是______； (2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P 是腰B 上一点，连接P，以P 为底边作等 腰 ，连接Q，判断BP 和Q 的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形BD 中，点P 是边B 上一点，以DP 为边作正方形DPEF，点Q 是正方形 DPEF 两条对角线的交点，连接Q．若正方形DPEF 的边长为 ， ，求正方形BD 的边长． 【答】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明 ，再利用全等三角形的性质即可得到BP 和Q 的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证 明 ，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP 和Q 的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出 和 都是等腰直角三角形，再利 用与第二问同样的方法证出 ，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP 的长，接着设正 方形BD 的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答． 【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ， 在 中， ， ， ∴ ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：判断 ，理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， 中， ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：连接BD，如图所示， ∵四边形 与四边形 是正方形，DE 与PF 交于点Q， ∴ 和 都是等腰直角三角形， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 中， ，设 ，则 ， 又∵正方形 的边长为 ， ∴ ， ∴ ， 解得 （舍去）， ． ∴正方形 的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角 形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 【变式训练2】在△B 中，B＝，∠B＝α，点P 为线段延长线上一动点，连接PB，将线段PB 绕点P 逆时针 旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，D． （1）如图1，当α＝60°时，求证：P＝D； （2）如图2，当α＝120°时，猜想P 和D 的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若B＝6，BP＝ ，请直接写出点D 到P 的距离． 【答】（1）见解析；（2） ；（3） 或 【分析】（1）当α＝60°时，△B 和△PBD 为等边三角形，根据三角形全等即可求证； （2）过点 作 ，求得 ，根据题