专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法（解析版）(1)

考点1 一点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围 成的三角形面积等于 |k|． 【示例】 拓展： 【例1】．如图，已知动点，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上，动点P 在反比例函数y＝ （x ＞0）图象上，P⊥x 轴，△PB 是以P 为底边的等腰三角形．当点的横坐标逐渐增大时， 模型介绍 △PB 的面积将会（ ） ．越来越小 B．越来越大 ．不变 D．先变大后变小 解：如图，过点B 作B⊥P 于点， 则B＝， 设点P（x， ）， 则S△PB＝ P•B＝ • •x＝3， 当点的横坐标逐渐增大时，△PB 的面积将会不变，始终等于3， 故选：． 变式训练 【变1-1】．如图，点、B 在反比例函数 的图象上，过点、B 作x 轴的垂线，垂足分别 是M、，射线B 交x 轴于点，若M＝M＝，四边形MB 的面积是4，则k 的值为 ﹣ ． 解：设M＝，则M＝M＝＝， ∵点、B 在反比例函数y＝ 的图象上，M⊥、B⊥， ∴M＝ ，B＝ ， ∵S△＝S△M+S 四边形MB+S△B， ∴﹣ ×3× ＝﹣ k+4﹣ ×× ， 解得k＝﹣ ， 故答为：﹣ ． 【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（，2）是双曲线y＝ （k≠0）上的 两点，P⊥x 轴于点，MB⊥x 轴于点B，P 与M 交于点，则△的面积为（ ） ． B． ．2 D． 解：把P（2，3），M（，2）代入y＝ 得k＝2×3＝2，解得k＝6，＝3， 设直线M 的解析式为y＝mx， 把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝ ， 所以直线M 的解析式为y＝ x，当x＝2 时，y＝ ×2＝ ， 所以点坐标为（2， ）， 所以△的面积＝ ×2× ＝ ． 故选：B． 考点2 一点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|． 【示例】 【例2】．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线 分别交双曲线于、B 两点，连接、B，则△B 的面积为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 解：设直线B 与x 轴交于点． ∵B∥y 轴， ∴⊥x 轴，B⊥x 轴． ∵点在双曲线y＝ 的图象上， ∴△的面积＝ ×10＝5． ∵点B 在双曲线y＝ 的图象上， ∴△B 的面积＝ ×6＝3． ∴△B 的面积＝△的面积﹣△B 的面积＝5 3 ﹣＝2． 故选：B． 变式训练 【变2-1】．如图，函数y＝ （x＞0）和 （x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P 在l2 上，P∥y 轴交l1于点，PB∥x 轴交l1于点B，△PB 的面积为 ． 解：设点P（x， ），则点B（ ， ），（x， ）， ∴BP＝x﹣ ＝ ，P＝ ﹣ ＝ ， ∴S△BP＝ ＝ ， 故答为： ． 【变2-2】．如图，直线B∥x 轴，分别交反比例函数y＝ 图象于、 B 两点，若S△B＝2，则k2﹣k1的值为 4 ． 解：设（，b），B（，d）， 代入得：k1＝b，k2＝d， ∵S△B＝2， ∴ d﹣ b＝2， ∴d﹣b＝4， ∴k2﹣k1＝4， 故答为：4． 【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M 为y 轴正半轴上一点，过点M 的直线l∥x 轴， l 分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于、B 两点，若S△B＝3，则k 的值为 ﹣ 2 ． 解：∵直线l∥x 轴， ∴M⊥y 轴，BM⊥y 轴， ∴S△M＝ |k|，S△BM＝ ×4＝2， ∵S△B＝3， ∴S△M＝1， | ∴k|＝2， ∵k＜0， ∴k＝﹣2， 故答为：﹣2． 考点3 两曲一平行模型 【 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的 点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k 的几何意义求解． 类型1 两条双曲线的k 值符号相同 【示例】 【例3】．如图，四边形B 是矩形，四边形DEF 是正方形，点、D 在x 轴的负半轴上，点 在y 轴的正半轴上，点F 在B 上，点B、E 在反比例函数y＝ （k 为常数，k≠0）的图象 上，正方形DEF 的面积为16，且BF＝2F，则k 值为（ ） ．﹣8 B．﹣12 ．﹣24 D．﹣36 解：设（x，0）． ∵正方形DEF 的面积为16， ∴DEF 的边长为4， ∴E（x 4 ﹣，4）， ∵BF＝2F， ∴BF＝2×4＝8， ∴B（x，12）． ∵点B、E 在反比例函数y＝ （k 为常数，k≠0）的图象上， 4 ∴（x 4 ﹣）＝12x， 解得x＝﹣2， ∴B（﹣2，12）， ∴k＝﹣2×12＝﹣24， 故选：． 变式训练 【变3-1】．若正方形B 的顶点B 和正方形DEF 的顶点E 都在函数 的图象 上．若正方形B 的面积为1，则k 的值为 1 ；点E 的坐标为 （ + ， ﹣ ） ． 解：∵正方形B 和正方形EDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形B 的边长 为1． ∴B 点坐标为：（1，1）， 设反比例函数的解析式为y＝ ； ∴xy＝k＝1， 设正方形DEF 的边长为，则E（1+，）， 代入反比例函数y＝ （x＞0）得：1＝（1+），又＞0， 解得：＝ ﹣ ． ∴点E 的坐标为：（ + ， ﹣ ）． 【变3-2】．如图，、B 两点在双曲线y＝ 上，分别经过、B 两点向坐标轴作垂线段，已 知S 阴影＝17，则S1+S2等于 46 ． 解：如图， ∵、B 两点在双曲线y＝ 上， ∴S 四边形EF＝4，S 四边形BD＝4， ∴S1+S2＝S 四边形EF+S 四边形BD 2× ﹣ S 阴影， ∴S1+S2＝8 34 ﹣ ＝46 故答为：46． 【变3-3】．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它 们的横坐标依次为1，2，3，4，…．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的 阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3+…+S＝ ．（用的 代数式表示，为正整数） 解：当x＝1 时，P1的纵坐标为2， 当x＝2 时，P2的纵坐标1， 当x＝3 时，P3的纵坐标 ， 当x＝4 时，P4的纵坐标 ， 当x＝5 时，P5的纵坐标 ， … 则S1＝1×（2 1 ﹣）＝2 1 ﹣； S2＝1×（1﹣ ）＝1﹣ ； S3＝1×（ ﹣ ）＝ ﹣ ； S4＝1×（ ﹣ ）＝ ﹣ ； … S＝ ﹣ ； S1+S2+S3+…+S＝2 1+1 ﹣ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝2﹣ ＝ ． 故答为： ． 考点4 两点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角 形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积， 等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 【示例】 【例4】．如图，正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝﹣ 相交于，两点，点的横坐标为﹣ 4，过点作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接B，下列结论：①k＝﹣ ；②不等式kx＜ ﹣ 的解集为﹣4＜x＜0 或x＞4；③△B 的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 解：将x＝﹣4 代入y＝﹣ 得y＝﹣ ＝2， ∴点坐标为（﹣4，2）， 将（﹣4，2）代入y＝kx 得2＝﹣4k， 解得k＝﹣ ， ∴①正确． 由反比例函数及正比例函数的对称性可得点坐标为（4，﹣2）， ∴当﹣4＜x＜0 或x＞4 时，kx＜﹣ ， ∴②正确． ∵S△＝S△B+S△B＝ B•y+ B•（﹣y）＝ B（y﹣y）＝ ×（2+2）＝8， ∴③错误． 故选：． 变式训练 【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于， B 两点，过点B 作B⊥y 轴于点，连接，则△B 的面积为 4 ． 解：∵B⊥y 轴于点， ∴S△B＝ | 4| ﹣＝2， ∵正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝﹣ 的图象均关于原点对称， ∴＝B， ∴S△＝S△B＝2， ∴S△B＝S△B+S△B＝2+2＝4， 故答为：4． 【变4-2】．如图，过点的直线与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作⊥x 轴 于点，连接B，则△B 的面积为 ． 解：∵点反比例函数y＝ 的图象上，过点作⊥x 轴于点， ∴S△＝ |k|＝ ， ∵过点的直线与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点， ∴＝B， ∴S△B＝S△＝ ∴S△B＝2S△＝ ， 故答为： ． 【变4-3】．如图，函数y＝x 与y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直于y 轴，垂足为， 连接B，若S△B＝3，则k＝ 3 ． 解：设（，）（＞0）， ∵函数y＝x 与y＝ 的图象的中心对称性， ∴B（﹣，﹣）， ∴S△B＝ ••2＝2＝3， ∴＝ ， ∴（ ， ）， 把（ ， ）代入y＝ 得k＝ ＝3． 故答为：3． 考点5 两点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|k|． 【 示例】 【例5】．如图，正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝﹣ 的图象交于，两点，过点作B⊥x 轴于点B，过点作D⊥x 轴于点D，则△BD 的面积为 4 ． 解：∵点在反比例函数y＝﹣ 上，且B⊥x 轴， ∴ ＝2， ∵，是反比例函数与正比例函数的交点，且D⊥x 轴， ∴是BD 的中点， ∴S△BD＝2S△B＝4． 故答为：4． 变式训练 【变5-1】．如图，一次函数y＝kx 与反比例函数 上的图象交于，两点，B∥y 轴，B∥x 轴，若△B 的面积为4，则k＝ ﹣ 2 ． 解：设B 交x 轴于点D， 由反比例函数系数的几何意义可得S△D的面积为 ， 由函数的对称性可得点为中点，即D 为△B 中位线， ∴ ＝ ， ∴S△B＝4S△D＝2|k|＝4， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故答为：﹣2． 【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝ 的图象交于，两点，过 点作x 轴的垂线，交x 轴于点B，过点作x 轴的垂线，交x 轴于点D，连接D，B，则四 边形BD 的面积为 2 ． 解：∵、是两函数图象的交点， ∴、关于原点对称， ∵D⊥x 轴，B⊥x 轴， ∴＝，B＝D， ∴S△B＝S△B＝S△D＝S△D， 又∵点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴S△B＝S△B＝S△D＝S△D ×1＝ ， ∴S 四边形BD＝4S△B＝4× ＝2， 故答为：2． 【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象交于点和点B，与y 轴 交于点P，且P 为线段B 的中点，作⊥x 轴于点，BD⊥x 轴交于点D，则四边形BD 的面 积是 5 ． 解：过点作F⊥y 轴，垂足于点F；过点B 作BE⊥y 轴，垂足为点E． ∵点P 是B 中点． ∴P＝PB． 又∵∠PF＝∠BPE，∠FP＝∠BEP＝90°， ∴△PF≌△BPE． ∴S△PF＝S△BPE． ∴S 四边形BD＝S 四边形F+S 四边形EDB＝| 2|+|3| ﹣ ＝5． 故答为：5． 考点6 反比例函数上两点和外一点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上， 用减法． 【示例】 方法一：S△B＝S△D－S△－S△BD． 方法二：作E⊥x 轴于点E，交B 于点M，BF⊥x 轴于点F，则S△M＝S 四边形MEFB（划归到模型 一），则S△B＝S 直角梯形EFB． 【拓展】 方法一：当 或 ＝m 时，则S 四边形FBE＝m|k|． 方法二：作EM⊥x 轴于M，则S△EF＝S 直角梯形EMF（划归到上一个模型示例）． 【例6】．如图，一次函数y＝x+b 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于，B 两点，则S△B ＝（ ） ． B． ． D．6 解：把（﹣4，1）代入y＝ 的得：k＝﹣4， ∴反比例函数的解析式是y＝﹣ ， ∵B（1，m）代入反比例函数y＝﹣ 得：m＝﹣4， ∴B 的坐标是（1，﹣4）， 把、B 的坐标代入一次函数y＝x+b 得： ， 解得：＝﹣1，b＝﹣3， ∴一次函数的解析式是y＝﹣x 3 ﹣； 把x＝0 代入一次函数的解析式是y＝﹣x 3 ﹣得：y＝﹣3， ∴D（0，﹣3）， ∴S△B＝SD+S△BD＝ ×3×（1+4）＝ ． 故选：． 变式训练 【变6-1】．如图，直线B 经过原点，且交反比例函数 的图象于点B，，点在x 轴上， 且 ．若S△B＝12，则k 的值为（ ） ．12 B．﹣12 ．﹣6 D．6 解：作D⊥x 轴于D，BE⊥x 轴于E， ∵点、B 在反比例函数 的图象上，直线B 经过原点， ∴＝B＝ B， ∵ ，S△B＝12， ∴B＝B，S△B＝ S△B＝6， ∵BE⊥， ∴E＝E， ∴S△BE＝ S△B＝3， ∵BE⊥x 轴于E， ∴S△BE＝ |k|， | ∴k|＝6， ∵k＜0， ∴k＝﹣6． 故选：． 【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 与直线y＝ 交于，B，x 轴 的正半轴上有一点使得∠B＝90°，若△D 的面积为25，则k 的值为 48 ． 解：设点坐标为（3，4）， 由反比例函数图象与正比例函数图象的对称性可得点B 坐标为（﹣3，﹣4）， ∴＝B＝ ＝5， ∵∠B＝90°，为B 中点， ∴＝＝B＝5， 设直线B 解析式为y＝kx+b， 将（﹣3，﹣4），（5，0）代入y＝kx+b 得 ， 解得 ， ∴y＝ x﹣ ， ∴点D 坐标为（0，﹣ ）， ∴S△D＝ •D＝ 5× ＝25， 解得＝2 或＝﹣2（舍）， ∴点坐标为（6，8）， ∴k＝6×8＝48． 故答为：48． 【变6-3】．如图，正比例函数y＝﹣ x 与反比例函数y＝ 的图象交于，B 两点，点在x 轴上，连接，B．若∠B＝90°，△B 的面积为10，则该反比例函数的解析式是 y ＝﹣ ． 解：设点为（，﹣ ）， 则＝ ＝﹣ ， ∵点为x 轴上一点，∠B＝90°，且△B 的面积为20， ∴＝B＝＝﹣ ， ∴S△B＝ ××（y+|yB|）＝ ×（﹣ ）×（﹣ ）＝10， 解得，＝± （舍弃正值）， ∴点为（﹣ ，2 ）， ∴k＝﹣ ×2 ＝﹣6， ∴反比例函数的解析式是y＝﹣ ， 故答为：y＝﹣ ． 考点7 反比例函数上两点和原点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支 上，用加法． 【示例】 方法一：S△B＝ D·|xB－x|＝ ·|y－yB|． 方法二：S△B＝S△＋S△D＋S△BD． 方法三：作E⊥y 轴于点E，BF⊥x 轴于点F，延长E 与BF 相交于点，则 S△B＝S△B－S△E－S△BF－S 矩形EF． 【例7】．如图，直线B 交双曲线 于、B，交x 轴于点，B 为线段的中点，过点B 作 BM⊥x 轴于M，连接．若M＝2M，S△＝12．则k 的值为 8 ． 解：过作⊥于， ∵BM⊥ ∴∥BM， ∵，B 为中点， ∴M＝M， ∵M＝2M， ∴＝M＝M， 设的坐标是（，b）， 则B（2， b）， ∵S△＝12． ∴ •3•b＝12， ∴b＝8，∴k＝b＝8，故答为：8． 变式训练 【变7-1】．如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形B 的两边、分别在x 轴、y 轴的正半 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）与B 相交于点D，与B 相交于点E，若BD＝3D，且四 边形DBE 的面积为21，则k＝ 7 ． 解：设D 点的横坐标为x，则其纵坐标为 ， ∵BD＝3D， ∴点B 点的坐标为（4x， ），点的坐标为（4x，0） ∵S 四边形DBE＝21， ∴S 矩形BD﹣S△E﹣S△D＝21， 即：4x• ﹣ ﹣ ＝21 解得：k＝7． 故答为：7． 【变7-2】．如图，点 是直线B 与反比例函数 图象 的两个交点，⊥x 轴，垂足为点，已知D（0，1），连接D，BD，B． （1）求反比例函数和直线B 的解析式； （2）△B 和△BD 的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1． 解：（1）由点（ ，4）在反比例函数y＝ （x＞0）图象上， ∴＝ ×4＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）， 将点B（3，m）代入y＝ （x＞0）并解得m＝2， ∴B（3，2）， 设直线B 的表达式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的表达式为y＝﹣ x+6； （2）由点坐标得＝4， 则点B 到的距离为3﹣ ＝ ， ∴S1＝ ＝3， 设B 与y 轴的交点为E，则点E（0，6），如图： ∴DE＝6 1 ﹣＝5， 由点（ ，4），B（3，2）知，点，B 到DE 的距离分别为 ，3， ∴S2＝S△BDE﹣S△ED＝ ﹣ ＝ ， ∴S2﹣S1＝ ﹣3＝ ． 考点8 两双曲线k 值符号不同模型 【 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的 点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k 的几何意义求解． 类型1 两条双曲线的k 值符号相同 【示例】 【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx 与 的图象交于、B 两点，过作y 轴的垂线，交函数 的图象于点，连接B，则△B 的面积为（ ） ．2 B．3 ．5 D．6 解：∵正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝﹣ 的图象交点关于原点对称， ∴设点坐标为（x，﹣ ），则B 点坐标为（﹣x， ），（﹣2x，﹣ ）， ∴S△B＝ ×（﹣2x﹣x）•（﹣ ﹣ ）＝ ×（﹣3x）•（﹣ ）＝6． 故选：D． 变式训练 【变8-1】．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝ （x＞0）和y＝﹣ （x＞0）的图象交于B、两点．若点是y 轴上任意一点，则△B 的面积为（ ） ．3 B．6 ．9 D． 解：设P（，0），＞0，则和B 的横坐标都为， 将x＝代入反比例函数y＝﹣ 中得：y＝﹣ ，故（，﹣ ）； 将x＝代入反比例函数y＝ 中得：y＝ ，故B（， ）， ∴B＝P+BP＝ + ＝ ， 则S△B＝ B•xP 的横坐标＝ × ×＝ ， 故选：D． 【变8-2】．如图，点和点B 分别是反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上 的点，B⊥x 轴，点为y 轴上一点，若S△B＝2，则m﹣的值为 4 ． 解：连接．， ∵B⊥x 轴，点为y 轴上一点， ∴B∥y 轴， ∴S△B＝S△B＝2， ∴ ＝2． ∴ ＝2， 即m﹣＝4． 故答为：4．