专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法（原卷版）(1)

考点1 一点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围 成的三角形面积等于 |k|． 【示例】 拓展： 【例1】．如图，已知动点，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上，动点P 在反比例函数y＝ （x ＞0）图象上，P⊥x 轴，△PB 是以P 为底边的等腰三角形．当点的横坐标逐渐增大时， 模型介绍 △PB 的面积将会（ ） ．越来越小 B．越来越大 ．不变 D．先变大后变小 变式训练 【变1-1】．如图，点、B 在反比例函数 的图象上，过点、B 作x 轴的垂线，垂足分别 是M、，射线B 交x 轴于点，若M＝M＝，四边形MB 的面积是4，则k 的值为 ． 【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（，2）是双曲线y＝ （k≠0）上的 两点，P⊥x 轴于点，MB⊥x 轴于点B，P 与M 交于点，则△的面积为（ ） ． B． ．2 D． 考点2 一点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|． 【示例】 【例2】．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线 分别交双曲线于、B 两点，连接、B，则△B 的面积为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 变式训练 【变2-1】．如图，函数y＝ （x＞0）和 （x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P 在l2 上，P∥y 轴交l1于点，PB∥x 轴交l1于点B，△PB 的面积为 ． 【变2-2】．如图，直线B∥x 轴，分别交反比例函数y＝ 图象于、 B 两点，若S△B＝2，则k2﹣k1的值为 ． 【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M 为y 轴正半轴上一点，过点M 的直线l∥x 轴， l 分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于、B 两点，若S△B＝3，则k 的值为 ． 考点3 两曲一平行模型 【 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的 点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k 的几何意义求解． 类型1 两条双曲线的k 值符号相同 【示例】 【例3】．如图，四边形B 是矩形，四边形DEF 是正方形，点、D 在x 轴的负半轴上，点 在y 轴的正半轴上，点F 在B 上，点B、E 在反比例函数y＝ （k 为常数，k≠0）的图象 上，正方形DEF 的面积为16，且BF＝2F，则k 值为（ ） ．﹣8 B．﹣12 ．﹣24 D．﹣36 变式训练 【变3-1】．若正方形B 的顶点B 和正方形DEF 的顶点E 都在函数 的图象 上．若正方形B 的面积为1，则k 的值为 ；点E 的坐标为 ． 【变3-2】．如图，、B 两点在双曲线y＝ 上，分别经过、B 两点向坐标轴作垂线段，已 知S 阴影＝17，则S1+S2等于 ． 【变3-3】．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它 们的横坐标依次为1，2，3，4，…．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴 影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3+…+S＝ ．（用的代数式 表示，为正整数） 考点4 两点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角 形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积， 等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 【示例】 【例4】．如图，正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝﹣ 相交于，两点，点的横坐标为﹣ 4，过点作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接B，下列结论：①k＝﹣ ；②不等式kx＜ ﹣ 的解集为﹣4＜x＜0 或x＞4；③△B 的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 变式训练 【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于， B 两点，过点B 作B⊥y 轴于点，连接，则△B 的面积为 ． 【变4-2】．如图，过点的直线与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作⊥x 轴 于点，连接B，则△B 的面积为 ． 【变4-3】．如图，函数y＝x 与y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直于y 轴，垂足为， 连接B，若S△B＝3，则k＝ ． 考点5 两点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|k|． 【 示例】 【例5】．如图，正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝﹣ 的图象交于，两点，过点作B⊥x 轴于点B，过点作D⊥x 轴于点D，则△BD 的面积为 ． 变式训练 【变5-1】．如图，一次函数y＝kx 与反比例函数 上的图象交于，两点，B∥y 轴，B∥x 轴，若△B 的面积为4，则k＝ ． 【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝ 的图象交于，两点，过 点作x 轴的垂线，交x 轴于点B，过点作x 轴的垂线，交x 轴于点D，连接D，B，则四 边形BD 的面积为 ． 【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象交于点和点B，与y 轴 交于点P，且P 为线段B 的中点，作⊥x 轴于点，BD⊥x 轴交于点D，则四边形BD 的面 积是 ． 考点6 反比例函数上两点和外一点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上， 用减法． 【示例】 方法一：S△B＝S△D－S△－S△BD． 方法二：作E⊥x 轴于点E，交B 于点M，BF⊥x 轴于点F，则S△M＝S 四边形MEFB（划归到模型 一），则S△B＝S 直角梯形EFB． 【拓展】 方法一：当 或 ＝m 时，则S 四边形FBE＝m|k|． 方法二：作EM⊥x 轴于M，则S△EF＝S 直角梯形EMF（划归到上一个模型示例）． 【例6】．如图，一次函数y＝x+b 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于，B 两点，则S△B ＝（ ） ． B． ． D．6 变式训练 【变6-1】．如图，直线B 经过原点，且交反比例函数 的图象于点B，，点在x 轴上， 且 ．若S△B＝12，则k 的值为（ ） ．12 B．﹣12 ．﹣6 D．6 【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 与直线y＝ 交于，B，x 轴 的正半轴上有一点使得∠B＝90°，若△D 的面积为25，则k 的值为 ． 【变6-3】．如图，正比例函数y＝﹣ x 与反比例函数y＝ 的图象交于，B 两点，点在x 轴上，连接，B．若∠B＝90°，△B 的面积为10，则该反比例函数的解析式是 ． 考点7 反比例函数上两点和原点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支 上，用加法． 【示例】 方法一：S△B＝ D·|xB－x|＝ ·|y－yB|． 方法二：S△B＝S△＋S△D＋S△BD． 方法三：作E⊥y 轴于点E，BF⊥x 轴于点F，延长E 与BF 相交于点，则 S△B＝S△B－S△E－S△BF－S 矩形EF． 【例7】．如图，直线B 交双曲线 于、B，交x 轴于点，B 为线段的中点，过点B 作 BM⊥x 轴于M，连接．若M＝2M，S△＝12．则k 的值为 ． 变式训练 【变7-1】．如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形B 的两边、分别在x 轴、y 轴的正半 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）与B 相交于点D，与B 相交于点E，若BD＝3D，且四 边形DBE 的面积为21，则k＝ ． 【变7-2】．如图，点 是直线B 与反比例函数 图象 的两个交点，⊥x 轴，垂足为点，已知D（0，1），连接D，BD，B． （1）求反比例函数和直线B 的解析式； （2）△B 和△BD 的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1． 考点8 两双曲线k 值符号不同模型 【 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的 点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k 的几何意义求解． 类型1 两条双曲线的k 值符号相同 【示例】 【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx 与 的图象交于、B 两点，过作y 轴的垂线，交函数 的图象于点，连接B，则△B 的面积为（ ） ．2 B．3 ．5 D．6 变式训练 【变8-1】．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝ （x＞0）和y＝﹣ （x＞0）的图象交于B、两点．若点是y 轴上任意一点，则△B 的面积为（ ） ．3 B．6 ．9 D． 【变8-2】．如图，点和点B 分别是反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上 的点，B⊥x 轴，点为y 轴上一点，若S△B＝2，则m﹣的值为 ． 1．如图，Rt△B 的顶点在双曲线y＝ 的图象上，直角边B 在x 轴上，∠B＝90°，∠B＝ 30°，＝4，连接，∠B＝60°，则k 的值是（ ） ．4 B．﹣4 ．2 D．﹣2 2．如图，平行四边形B 的顶点B，在第一象限，点的坐标为（3，0），点D 为边B 的中点， 反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，D 两点，若∠＝α，则k 的值等于（ ） ．8s2α B．8s2α ．4tα D．2tα 3．如图，在直角坐标系xy 中，点，B 分别在x 轴和y 轴， ＝ ．∠B 的角平分线与的垂 直平分线交于点，与B 交于点D，反比例函数y＝ 的图象过点．当以D 为边的正方形 的面积为 时，k 的值是（ ） ．2 B．3 ．5 D．7 4．如图，已知第一象限内的点在反比例函数y＝ 的图象上，第二象限内的点B 在反比例 函数y＝ 的图象上，且⊥B，s＝ ，则k 的值为（ ） ．﹣3 B．﹣4 ．﹣ D．﹣2 5．如图，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点（﹣1，1），过点作B⊥y 轴，垂足为 B，在y 轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P 作直线的垂线l，以直线l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ） ． B． ． D． 6．如图，菱形B 的顶点B 在y 轴上，顶点的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝ （x＞ 0）的图象经过点，则k 的值为（ ） ．﹣6 B．﹣3 ．3 D．6 7．如图，直线y＝ 与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点，将直线y＝ 向上平移4 个 单位长度后，与y 轴交于点，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点B，若＝3B，则k 的 值为（ ） ．3 B．6 ． D． 8．如图，已知四边形BD 是平行四边形，B＝2B．，B 两点的坐标分别是（﹣1，0）， （0，2），，D 两点在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则k 等于 ． 9．如图，点E，F 在函数y＝ （x＞0）的图象上，直线EF 分别与x 轴、y 轴交于点，B， 且BE：BF＝1：m．过点E 作EP⊥y 轴于P，已知△EP 的面积为1，则k 值是 ， △EF 的面积是 （用含m 的式子表示） 10．如图，在Rt△B 中，＝4，B＝5，点在上，＝1，⊙P 的圆心P 在线段B 上，且⊙P 与边 B，都相切．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，则k＝ ． 11．如图，B 是平行四边形，对角线B 在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点 分别在双曲线y＝ 和y＝ 的一支上，分别过点、作x 轴的垂线，垂足分别为M 和， 则有以下的结论： ① ＝ ； ②阴影部分面积是 （k1+k2）； ③当∠＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若B 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）． 12．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知直线l：y＝﹣x 1 ﹣，双曲线y＝ ，在l 上取一点 1，过1 作x 轴的垂线交双曲线于点B1，过B1 作y 轴的垂线交l 于点2，请继续操作并探 究：过2作x 轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y 轴的垂线交l 于点3，…，这样依次得 到l 上的点1，2，3，…，，…记点的横坐标为，若1＝2，则2＝ ，2013＝ ； 若要将上述操作无限次地进行下去，则1不可能取的值是 ． 13．如图，一次函数y＝ x+1 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点（，3）， 与y 轴交于点B． （1）求，k 的值； （2）直线D 过点，与反比例函数图象交于点，与x 轴交于点D，＝D，连接B． ①求△B 的面积； ②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点，B，P，Q 为顶点的四边形是 平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标． 14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b 与坐标轴分别交于（5，0），B（0， ）两点，且与反比例函数y2＝ 的图象在第一象限内交于P，K 两点，连接P，△P 的 面积为 ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）当y2＞y1时，求x 的取值范围． （3）若为线段上的一个动点，当P+K 最小时，求△PK 的面积． 15．如图，一次函数y＝x+1 与反比例函数y＝ 的图象相交于（m，2），B 两点，分别连 接，B． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）在平面内是否存在一点P，使以点，B，，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接B． （1）如图①，点P 在线段B 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的 反比例函数表达式； （2）如图②，点是线段B 上一点，连接，将△沿翻折，使得点与线段B 上的点M 重合， 求经过、两点的一次函数表达式． 17．小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线， 画出了如图1 所示的图象． x … 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 … y … 1 2 4 1 0 4 ﹣ 2 ﹣ ﹣ 1 ﹣ … 请根据图象解答： （1）【观察发现】 ①写出函数的两条性质： ； ； ②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0 一定成立吗？ ．（填“一定”或“不一定”） （2）【延伸探究】如图2，将过（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移个单位 长度后，得到直线l 与函数y＝﹣ （x≤ 1 ﹣）的图象交于点P，连接P，PB． ①求当＝3 时，直线l 的解析式和△PB 的面积； ②直接用含的代数式表示△PB 的面积．