高中物理新教材同步必修第一册 第3章 5 共点力的平衡

5 共 点力的平衡 [学习目标] 1.理解平衡状态，掌握共点力平衡的条件.2.会利用合成法或正交分解法分析计 算平衡问题． 一、共点力 如果一个物体受到两个或更多个力的作用，这些力共同作用在同一点上，或它们的延长线交 于一点，这样一组力叫作共点力． 二、共点力平衡的条件 1．平衡状态： 物体受到几个力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态． 2．在共点力作用下物体平衡的条件是合力为 0 . 即F 合＝0 或，其中Fx 合和Fy 合分别是将力进行正交分解后，在x 轴和y 轴上所受的合力． 3．共点力平衡的推论 (1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线． (2)多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力 的合力等大、反向、共线． 1．判断下列说法的正误． (1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力一定平衡．( × ) (2)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态．( × ) (3)物体处于平衡状态时加速度一定为零．( √ ) (4)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力等大、 反向．( √ ) 2.如图1 所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N，则它受到的支持力为_____ _______ N，摩擦力为________ N. 图1 答案 5 5 一、共点力平衡的条件 1．平衡状态 (1)物体处于静止或匀速直线运动的状态． (2)对“平衡状态”的理解 不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝，对应加速度为零，速度 为零不代表a＝0. 例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但这一状态不可能保持，因而 上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止． 2．共点力平衡的条件 (1)共点力平衡的条件是合力为0. (2)表示为：F 合＝0；或将各力分解到x 轴和y 轴上，满足Fx 合＝0，且Fy 合＝0. ①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线． ②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三 个力等大、反向、共线． ③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力 的合力等大、反向、共线． (3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三 角形，表示合力为0. 物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图2 所示，其中F1大小为10 N，方向水平 向右，求： 图2 (1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向； (2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小． 答案 (1)10 N 水平向左 (2)10 N 解析 (1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个 力的合力大小为10 N，方向水平向左． (2)若将F1转过90°，则F1′与其余四个力的合力垂直，F 合＝＝ N＝10 N. 二、共点力平衡条件的应用 处理平衡问题的常用方法 方法 内容 合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大 小相等，方向相反 正交 分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的 两组，每组力都满足平衡条件 矢量三 角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次 相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求 解未知力 (多选)(2019·玉门一中高一上期中)如图3 所示，是一种测定风作用力的仪器的原理 图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P.P 是质量为m 的金属球， 固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O 在竖直平面内摆动，无风时金属丝自然下垂， 有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ 大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚 性金属丝拉力FT与角度θ 的关系式正确的是(重力加速度为g)( ) 图3 A．F＝mgsin θ B．F＝mgtan θ C．FT＝mgcos θ D．FT＝ 答案 BD 解析 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态， 这三个力的合力为零．可用以下三种方法求解． 解法一 力的合成法 将风力F 和拉力FT合成如图乙所示，由平衡条件知F 与FT的合力与重力等大反向，由平行 四边形定则可得F＝mgtan θ，FT＝. 解法二 正交分解法 以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立直角坐标系，如图 丙所示．由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力Fx 合和竖直方向的合力Fy 合都等于零， 即 Fx 合＝FTsin θ－F＝0 Fy 合＝FTcos θ－mg＝0 解得F＝mgtan θ，FT＝. 解法三 矢量三角形法 把表示重力、风力、拉力的有向线段依次首尾相连构成一个矢量三角形，如图丁所示 由图可知，F＝mgtan θ FT＝. 用正交分解法求解平衡问题 1．选用原则：当物体受到不在一条直线上的三个或多于三个共点力时，一般要采用正交分解 法． 2．建立坐标系原则：使尽可能多的力落在x、y 轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便． 3．当物体处于平衡时，根据共点力平衡的条件，x 轴，y 轴上合力均为0，列式(Fx＝0，Fy ＝0)求解． (2019·华中师大一附中期中)如图4，一质量m＝6 kg 的物块，置于水平地面上，物 块与地面间的动摩擦因数μ＝，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，现用一与水平方向 夹角为37°的力斜向上拉物体，求拉力大小．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2) 图4 答案 20 N 解析 物块做匀速直线运动，受力分析如图，则 水平方向：FTBcos 37°＝Ff 竖直方向：FN＝mg－FTBsin 37° 且Ff＝μFN 代入数据解得FTB＝20 N. 针对训练 如图5 所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推 力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的 动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F 的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝ 0.8) 图5 答案 88 N 或40 N 解析 若物体向上做匀速直线运动，受力分析如图甲所示， Fcos θ＝mg＋Ff Fsin θ＝FN Ff＝μFN 故推力F＝＝ N＝88 N 若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示， Fcos θ＋Ff′＝mg Fsin θ＝FN′ Ff′＝μFN′ 故推力F＝＝ N＝40 N. 1．(平衡条件的理解和应用)如图6，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向( ) 图6 A．沿斜面向上 B．垂直斜面向上 C．竖直向上 D．无法判断 答案 C 解析 物体受三个力，重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合 力，与重力等大反向． 2．(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中，如图7 所示．已知ac 和bc 与 竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac 绳和bc 绳中的拉力大小分别为( ) 图7 A.mg，mg B.mg，mg C.mg，mg D.mg，mg 答案 A 解析 对结点c 受力分析如图所示，设ac 绳受到的拉力为F1、bc 绳受到的拉力为F2，根据 平衡条件知F1、F2的合力F 与重力mg 等大、反向，由几何知识得 F1＝Fcos 30°＝mg， F2＝Fsin 30°＝mg.选项A 正确． 3.(正交分解法求平衡问题)如图8，在倾角为37°的斜面上，一质量为10 kg 的物块恰好沿斜 面匀速下滑，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求： 图8 (1)物块与斜面间的动摩擦因数μ； (2)若用力拉着物块沿斜面匀速上滑，求拉力F 的大小． 答案 (1)0.75 (2)120 N 解析 (1)把重力正交分解，由平衡条件知 mgsin 37°＝Ff FN＝mgcos 37° Ff＝μFN 联立以上三式解得μ＝tan 37°＝0.75 (2)F＝mgsin 37°＋Ff＝mgsin 37°＋μmgcos 37°＝120 N. 考点一 平衡状态与平衡条件 1．(多选)下列物体中处于平衡状态的是( ) A．静止在粗糙斜面上的物体 B．在平直路面上匀速行驶的汽车 C．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间 D．物体的速度在某一时刻为零，则物体处于平衡状态 答案 AB 2．(多选)(2019·长春外国语学校高一上期末)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于 平衡状态( ) A．3 N,4 N,8 N B．3 N,5 N,1 N C．4 N,7 N,8 N D．7 N,9 N,6 N 答案 CD 3.如图1 所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态．若保持F4大小不 变、方向改变180°，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为( ) 图1 A.F4 B．2F4 C．F4 D.F4 答案 B 考点二 共点力平衡条件的应用 4.(多选)如图2 所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都 为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则( ) 图2 A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G B．两绳的拉力和重力不是共点力 C．两绳的拉力大小均为G D．两绳的拉力大小均为 答案 AC 解析 对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个 力是共点力，B 选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的 拉力的合力与重力G 等大反向，A 选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方 向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，且F1＝F2，故F1＝F2＝G，C 选项正确，D 选项错误． 5.如图3，一只氢气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右．细绳与竖直方向 的夹角为α，绳的拉力为FT，则风对气球的作用力大小为( ) 图3 A．FTsin α B．FTcos α C. D. 答案 A 解析 气球在风中处于静止状态，受力平衡，合力为零，对气球受力分析得，气球受到重力、 浮力、拉力和水平方向上风的作用力，由水平方向上受力平衡得：F 风＝FTsin α，故A 正确． 6．(多选)(2019·华中师大一附中期中)如图4 甲所示，笔记本电脑底座一般设置有四个卡位 用来调节角度，某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1 调至卡 位4(如图乙)，电脑始终处于静止状态，则( ) 图4 A．电脑受到的支持力变大 B．电脑受到的摩擦力变大 C．散热底座对电脑的作用力的合力不变 D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力 答案 AC 解析 电脑受到的支持力FN＝mgcos θ，由原卡位1 调至卡位4，θ 减小，故FN增大，故A 正确；电脑受到的摩擦力Ff＝mgsin θ，θ 减小，Ff减小，故B 错误；由平衡条件知，底座对 电脑的作用力的合力与电脑重力等大反向，故C 正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力矢 量和与其重力大小相等，但电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，故D 错 误． 7.(2019·宜宾一中高一期末模拟)目前，宜宾每个社区均已配备了公共体育健身器材，如图5 所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点，由于长期使用， 导致两根支架向内发生了微小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高，座椅静止时所受 合力的大小用F 表示，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，则( ) 图5 A．F 不变，F1变小 B．F 不变，F1变大 C．F 变小，F1变小 D．F 变大，F1变大 答案 A 解析 对座椅受力分析如图所示，座椅静止，则合力F＝0，不变．因两悬挂点等高，则F2 ＝F1＝，支架内倾，θ 变小，则F1变小． 8．如图6 所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为m 的小滑块，在水 平力F 的作用下静止于P 点．设滑块所受支持力为FN，OP 与水平方向的夹角为θ，重力加 速度为g，下列关系正确的是( ) 图6 A．F＝ B．F＝mgtan θ C．FN＝ D．FN＝mgtan θ 答案 A 解析 对滑块受力分析如图所示，由平衡条件知，重力mg 和推力F 的合力与支持力FN等大 反向， 由几何关系知：F＝，FN＝，故A 正确． 9.(2019·上海复旦附中期中)如图7 所示，物块在力F 作用下向右沿水平方向匀速运动，则物 块受到的摩擦力Ff与拉力F 的合力方向应该是( ) 图7 A．水平向右 B．竖直向上 C．向右偏上 D．向左偏上 答案 B 解析 对物块受力分析如图所示，由于重力G 与地面支持力FN的合力方向竖直向下，因此 F 和Ff的合力方向只有竖直向上时，四力合力才能为零，B 正确． 10.(2019·宿州市十三所重点中学高一第一学期期末)如图8 所示，一只小鸟沿着较粗的均匀 树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A 运动到B 的过程中( ) 图8 A．树枝对小鸟的合力先减小后增大 B．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大 C．树枝对小鸟的弹力先减小后增大 D．树枝对小鸟的弹力保持不变 答案 B 解析 树枝对小鸟的合力是支持力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力 等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，A 项错误．对小鸟进行受力 分析如图所示，则树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大，对小鸟的弹力先增大后减小，所以B 项正确，C、D 项错误． 11.(多选)如图9 所示，人在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀 速靠岸的过程中，下列说法正确的是( ) 图9 A．绳的拉力不断增大 B．绳的拉力保持不变 C．船受到的浮力不断减小 D．船受到的浮力保持不变 答案 AC 解析 在绳牵引小船匀速靠岸的过程中，小船的受力情况如图所示，船匀速运动，所受的合 力为零，则在水平方向有Ff＝Fcos θ，在竖直方向有F 浮＋Fsin θ＝G，解得F＝，F 浮＝G－ Fsin θ＝G－Fftan θ，船在靠岸的过程中，θ 角增大，则cos θ 减小，tan θ 增大，所以F 增大， F 浮减小，选项A、C 正确． 12．(2019·莆田一中段考)如图10 所示，放在粗糙水平面上的物块A 和悬挂的物块B 均处于 静止状态，绳AC 水平，劲度系数为k＝300 N/m 的轻弹簧中轴线CD 与水平方向的夹角α＝ 37°，弹簧伸长量为x＝5 cm.求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 图10 (1)物块A 受到的摩擦力的大小； (2)物块B 的重力的大小． 答案 (1)12 N (2)9 N 解析 (1)、(2)根据胡克定律得FCD＝kx＝300×0.05 N＝15 N 对C 点进行受力分析，将FCD正交分解， 由平衡条件得，FCDcos α＝F AC FCDsin α＝GB 对A 由平衡条件得：FfA＝F AC 解得FfA＝12 N，GB＝9 N. 13.如图11 所示，质量为30 kg 的小孩坐在10 kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°角斜向 上的大小为100 N 的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动．g 取10 m/s2，sin 37° ＝0.6，cos 37°＝0.8.求： 图11 (1)雪橇对地面的压力大小； (2)雪橇与水平地面间的动摩擦因数． 答案 (1)340 N (2) 解析 (1)以小孩和雪橇整体为研究对象，受力分析如图所示，根据共点力平衡条件知， 竖直方向上，有Fsin θ＋FN＝mg 解得FN＝mg－Fsin θ＝340 N 由牛顿第三定律可得雪橇对地面的压力大小FN′＝FN＝340 N (2)根据共点力平衡条件知， 水平方向上，有Fcos θ－Ff＝0 滑动摩擦力Ff＝μFN 联立解得μ＝. 14.如图12 所示，质量为m＝4 kg 的物体在水平恒力F＝26 N 的作用下静止于斜面上，斜面 的倾角θ＝37°，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2) 图12 (1)物体受到的斜面的支持力大小； (2)物体受到的摩擦力大小． 答案 (1)47.6 N (2)3.2 N 解析 (1)受力分析如图，正交分解各力有： G1＝mgsin θ＝4×10×sin 37° N＝24 N G2＝mgcos θ＝4×10×cos 37° N＝32 N F1＝Fcos θ＝26×cos 37° N＝20.8 N F2＝Fsin θ＝26×sin 37° N＝15.6 N 则斜面对物体的支持力大小：FN＝G2＋F2＝47.6 N (2)因为G1>F1，故物体受到的摩擦力方向沿斜面向上， 故摩擦力大小为：Ff＝G1－F1＝3.2 N.