第30讲 投影与视图（练习）（解析版）

第30 讲 投影与视图 目 录 题型01 平行投影 题型02 中心投影 题型03 正投影 题型04 判断简单几何体三视图 题型05 判断简单组合体三视图 题型06 判断非实心几何体三视图 题型07 画简单几何体的三视图 题型08 画简单组合体的三视图 题型09 由三视图还原几何体 题型10 已知三视图求边长 题型11 已知三视图求侧面积或表面积 题型12 求小立方块堆砌图形的表面积 题型13 已知三视图求体积 题型14 求几何体视图的面积 题型15 由三视图，判断小立方体的个数 题型01 平行投影 1．（2022·广东深圳·深圳市大鹏新区华侨中学校考二模）房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下 边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ） ．三角形 B．平行四边形 ．圆 D．梯形 【答】B 【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重合， 所以她的投影不可能为三角形、圆、梯形． 【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子 就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 2．（2022·湖北·统考一模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受广大人们的喜爱，体现了“瑞雪 兆丰年”的寓意及包容交流拼搏的理念．一名艺术爱好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12 点观测到高为165m 的“冰墩墩”的影长为55m，此时在同一地点的“雪容融”的影长为60m，那么“雪 容融”的高为（ ） ．160m B．170m ．180m D．185m 【答】 【分析】在同一时刻物体的身高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，以及经过物体顶部的太 阳光线三者构成的两个直角三角形相似，通过相似比即可解决本题． 【详解】解：∵“ 冰墩墩”的身高 “ 冰墩墩”的影长= “雪容融”的身高 “雪容融”的影长， ∴“雪容融”的身高= “ 冰墩墩”的身高 “ 冰墩墩”的影长ד雪容融”的影长= 165 55 ×60=180（m）， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够根据对应边成比例列出方程，建立起适当的数学模型是解决本 题的关键． 3．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了 地上和墙上，此时测得地面上的影长BD为4m，墙上的影子CD长为1m，同一时刻一根长为1m 的垂直于 地面上的标杆的影长为05m，则树的高度为 m． 【答】9 【分析】设地面影长对应的树高为x m，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上 的影长CD即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为x m， 由题意得，x 4 = 1 0.5， 解得x=8， ∵墙上的影子CD长为1m， ∴树的高度为8+1=9 (m )． 故答为：9． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 4．（2023·浙江温州·校联考二模）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA ,OB，此时各叶片影子在点M 右侧成线 段CD，测得MC=8.5m ,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点，M 之间的距 离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米． 【答】 10 (10+❑ √13) 【分析】过点作、BD 的平行线，交D 于，过点作水平线交BD 于点，过点B 作B⊥，垂足为，延长M，使 得K＝B，求出的长度，根据EF FG = OM MH =2 3，求出M 的长度，证明△BIO∽△JIB，得出BI=2 3 IJ， OI= 4 9 IJ，求出、B、的长度，用勾股定理求出B 的长，即可算出所求长度． 【详解】如图，过点作、BD 的平行线，交D 于，过点作水平线交BD 于点，过点B 作B⊥，垂足为，延长 M，使得K＝B， 由题意可知，点是B 的中点， ∵OH ∥AC ∥BD， ∴点是D 的中点， ∵CD=13m， ∴CH=HD=1 2 CD=6.5m， ∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m， 又∵由题意可知：EF FG = OM MH =2 3， ∴OM 15 =2 3，解得OM=10m， ∴点、M 之间的距离等于10m， ∵B⊥， ∴∠BIO=∠BIJ=90°， ∵由题意可知：∠OBJ=∠OBI +∠JBI=90°， 又∵∠BOI +∠OBI=90°， ∴∠BOI=∠JBI， ∴△BIO∽△JIB， ∴BI IJ =OI BI =2 3， ∴BI=2 3 IJ，OI= 4 9 IJ， ∵OJ ∥CD ,OH ∥DJ， ∴四边形D 是平行四边形， ∴OJ=HD=6.5m， ∵OJ=OI+IJ= 4 9 IJ+IJ=6.5m， ∴IJ=4.5m，BI=3m，OI=2m， ∵在Rt △OBI中，由勾股定理得：O B 2=O I 2+B I 2， ∴OB= ❑ √O I 2+B I 2= ❑ √2 2+3 2=❑ √13m， ∴OB=OK=❑ √13m， ∴MK=MO+OK=(10+❑ √13)m， ∴叶片外端离地面的最大高度等于(10+❑ √13)m， 故答为：10，10+❑ √13． 【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是 解答本题的关键． 题型02 中心投影 5．（2023·河北邯郸·校考三模）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的 大小变化是（ ） ．越来越小 B．越来越大 ．大小不变 D．不能确定 【答】 【分析】根据中心投影的性质求解． 【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小， 故选：． 【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键． 6．（2023·辽宁抚顺·统考三模）下列各种现象属于中心投影的是（ ） ．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 ．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子 【答】 【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意； B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； 、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； 故选：． 【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 7．（2022·四川成都·统考二模）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其 俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯 光下的影子的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据中心投影的定义，结合中心投影下物体的影子的位置、长短进行判断即可． 【详解】解：．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项符合题意； B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B 不 符合题意； ．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项不符合题意； D．利用中心投影下影子位置可得，选项D 中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了中心投影，理解中心投影的意义，掌握中心投影下物体的影子的位置、长短关系 是正确判断的前提． 8．（2023·河北邯郸·校考一模）如图，在一间黑屋子的地面处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在 墙上的影子的大小变化情况是（ ） ．变大 B．变小 ．不变 D．不能确定 【答】B 【分析】直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答． 【详解】如图所示： 当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小． 故选： B 【点睛】此题主要考查了中心投影，正确得出人的影子在墙上的变化是解题关键． 9．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点(2,2)是一个光源，木杆AB两端的坐标分 别为(0,1)，(3,1)，则木杆AB在x 轴上的投影A ' B '长为（ ） ．2❑ √3 B．3 ❑ √2 ．5 D．6 【答】D 【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x 轴于点A '、B '，作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，证明 △PAB∼△P A ' B '，然后利用相似比即可求解． 【详解】解：延长PA、PB分别交x 轴于点A '、B '，作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，如图， ∵P (2,2)，A (0,1)，B (3,1)， ∴PD=1，PE=2，AB=3， ∵AB∥A ' B '， ∴∠PAB=∠P A ' B '，∠PBA=∠P B ' A '， ∴△PAB∼△P A ' B '， ∴AB A ' B ' = PD PE ，即3 A ' B ' =1 2， ∴A ' B '=6， 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明△PAB∼△P A ' B '是解题的关键． 10．（2022·安徽滁州·校考一模）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高 度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明( AB)的影子BC长是3m，而小 颖( EH )刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G； (2)求路灯灯泡的垂直高度GH； (3)如果小明沿线段BH向小颖（点H )走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继 续走剩下路程的1 3到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的1 4 到B3处，…按此规律继续 走下去，当小明走剩下路程的1 n+1到Bn处时，其影子BnCn的长为 m．（直接用n的代数式表示） 【答】(1)见解析； (2)4.8m； (3) 3 n+1． 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出； （2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC ∽△GHC，由它们对应 成比例可以求出GH； （3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）解：如图 （2）∵AB⊥HC，GH ⊥HC， ∴AB∥GH， ∴△ABC ∽△GHC， ∴ AB GH = BC HC ， ∵AB=1.6m，BC=3m，HB=6m ∴ 1.6 GH = 3 6+3， ∴GH=4.8m． （3）同理△A1B1C1∽△GH C1， ∴ A1B1 GH = B1C1 H C1 ， 设B1C1长为x，则1.6 4.8= x x+3， 解得：x=3 2，即B1C1=3 2． 同理1.6 4.8= B2C2 B2C2+2， 解得B2C2=1， ∴1.6 4.8= BnCn BnCn+ 1 n+1 ×6 ， 可得BnCn= 3 n+1， 故答为：3 n+1． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似 三角形的性质对应边成比例解题． 题型03 正投影 11．（2020·河北邢台·统考二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致． 故选． 【点睛】本题考查了正投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物 体的外形即光线情况而定． 12．（2021·广西百色·校联考一模）矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（ ） ．矩形 B．平行四边形 ．线段 D．点 【答】D 【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答． 【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形． 故长方形的正投影不可能是点， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧 平行是解题关键． 题型04 判断简单几何体三视图 13．（2023·山东泰安·校考模拟预测）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图 是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选： 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 14．（2020·河南周口·统考模拟预测）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项错误； 选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B 错误； 选项：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项正确； 选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D 错误． 故答为：． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往 右边看，熟练三视图的概念即可求解 15．（2022·广东广州·统考二模）某物体如图所示，它的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：某物体如图所示，它的主视图是： 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形． 16．（2022·山东青岛·模拟预测）如图所示的几何体，其左视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】画出从左面看这个几何体所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答的前提． 题型05 判断简单组合体三视图 17．（2023·山东菏泽·一模）由5 个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见 的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 18．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视 图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答． 【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项符合题意， 故答选：． 【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视 图是解题的关键． 19．（2022·山东济南·统考一模）如图是由8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方形， 故选：． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 20．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图是由6 个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的 主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】找到从正面看所得的图形即可． 【详解】解：从正面看，底层有3 个正方形，第二层有2 个正方形，第三层有1 个正方形， 故选：． 【点睛】本题考查简单组合体三视图的识别，主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形． 题型06 判断非实心几何体三视图 21．（2023·山西太原·校联考二模）水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂， 则它的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答． 【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4 条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不 到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图： 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线． 22．（2019·天津和平·天津二十中校考二模）如图所示几何体的俯视图是( )． ． B． ． D． 【答】 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图为 ， 故选：． 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键． 23．（2021·山东德州·统考二模）如图所示的“中”字，俯视图是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 24．（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形． 【详解】解：从物体左面看，是一个长方形，长方形的内部有两条横向的实线． 故选：． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中． 25．（2023·广东深圳·校联考二模）如图，几何体的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答． 【详解】解：从正面看图形为 故选：． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键． 题型07 画简单几何体的三视图 26．（2022·广东深圳·校考一模）（1）如图1，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的 几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面