第30讲 投影与视图（讲义）（原卷版）

第30 讲 投影与视图 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 图形的投影 题型01 平行投影 题型02 中心投影 题型03 正投影 考点二 几何体的三视图 题型01 判断简单几何体三视图 题型02 判断简单组合体三视图 题型03 判断非实心几何体三视图 题型04 画简单几何体的三视图 题型05 画简单组合体的三视图 题型06 由三视图还原几何体 题型07 已知三视图求边长 题型08 已知三视图求侧面积或表面积 题型09 求小立方块堆砌图形的表面积 题型10 已知三视图求体积 题型11 求几何体视图的面积 题型12 由三视图，判断小立方体的个数 考点要求 新课标要求 命题预测 图形的投影  通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念  会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视 图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几 何体  了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制 作模型 本单元内容以考查几何体的三 视图和正方体的展开图为主，年年 都会考查，是广大考生的得分点， 分值为3 分，预计2024 年各地中考 还将出现，并且在选择题出现的可 能性较大，一般只考察基础应用， 所以考生在复习时要多注重该考点 几何体的三视 图  通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用 的概念以及应用 考点一 图形的投影 投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影照射 光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面 平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影（例如：太阳光） 平行投影的特征： 1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长 2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度 图1 图2 【小技巧】 1）图1 中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例 2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线， 便可求出同一时刻其他物体的影子（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的） 3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： ，利用上面的关系式 可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等 4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物 体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长 中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影（例如：手电筒、路灯、台灯等） 中心投影的特征： 1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短， 离点光源远的物体它的影子长 2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越 短，但不会比物体本身的长度还短 图3 图4 【小技巧】 1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第 三个点的位置 2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且 中心投影后得到的图形与原图形相似 正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影 正投影的分类： 1）线段的正投影分为三种情况如图所示 ①线段B 平行于投影面P 时，它的正投影是线段1B1，与线段B 的长相等；、 ②线段B 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段2B2，长小于线段B 的长； ③线段B 垂直于投影面P 时，它的正投影是一个点 2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示 ①当平面图形平行于投影面Q 时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个 平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q 时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小， 是类似图形但不一定相似 ③当平面图形垂直于投影面Q 时，它的正投影是直线 3）立体图形的正投影 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立 体图形的最大截面全等 投影的判断方法： 1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是 平行投影． 2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投 影就是中心投影． 题型01 平行投影 【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照 片（上午8 时至下午5 时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ） ．①②③④⑤ B．②④①③⑤ ．⑤④①③② D．⑤③①④② 【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时 刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地 面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与 地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m． 【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂 直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为 100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡 上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡 度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答 这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 题型02 中心投影 【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（ ） ．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子 ．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子 【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个 点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以 是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的 是（ ） ． B． ． D． 【变式2-3】（2020·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P (2,2)处，木杆AB两端的 坐标分别为(0,1)，(3,1)．则木杆AB在x轴上的影长CD为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【变式2-4】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗 手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1 米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2 米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） ．减少3 2米 B．增加3 2米 ．减少5 3米 D．增加5 3米 【变式2-5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD． 当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影 子的顶部刚好接触到路灯BD的底部． 已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m，且AP=QB． (1)标出小华站在P 处时，在路灯AC下的影子． (2)求两个路灯之间的距离． (3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？ 题型03 正投影 【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线 由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ） ． B． ． D． 【变式3-1】（2022·江西·模拟预测）如图1 所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1 可抽象成图2， 在图2 中，点可在BD 上滑动，当伞完全折叠成图3 时，伞的下端点F 落在F '处，点落在C '处，AE=EF， AC=BC=CE=90cm，D F '=70cm． (1)BD 的长为______． (2)如图2，当AB=54 cm时． ①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin36.9°≈0.60， tan31.0°≈0.60） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 考点二 几何体的三视图 三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图 三视图之间的关系： 1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2） 大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐， 左视图与俯视图的宽相等的原则 画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等” 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线 由三视图确定几何体的方法： 1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左 侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助 利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积 题型01 判断简单几何体三视图 【例1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2021·河南驻马店·校联考一模）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ） ．该圆锥的主视图是轴对称图形 B．该圆锥的主视图是中心对称图形 ．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【变式1-2】（2022·江苏无锡·统考一模）下列立体图形中，主视图是圆的是 （ ） ． B． ． D． 【变式1-3】（2023·江西上饶·校联考一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） ． B． ． D． 【变式1-4】（2023·河北沧州·校考一模）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的 左视图是（ ） ． B． ． D． 题型02 判断简单组合体三视图 【例2】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ） ． B． ． D． 【变式2-1】（2022·山东德州·统考一模）如图所示的几何体是由6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视 图是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2023·海南三亚·一模）如图是5 个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ） ． B． ． D． 题型03 判断非实心几何体三视图 【例3】（2022·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ） ． B． ． D． 【变式3-1】（2021·安徽宿州·统考二模）如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）． ． B． ． D． 【变式3-2】（2021·山东济南·统考一模）如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图 正确的是（ ） ． B． ． D． 【变式3-3】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几 何体的左视图是（ ） ． B． ． D． 题型04 画简单几何体的三视图 【例4】（2023·广东汕头·校联考二模）图中几何体的三视图是（ ） ． B． ． D． 【变式4-1】（2022·贵州遵义·统考三模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的 有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 D．4 题型05 画简单组合体的三视图 【例5】（2022·山东青岛·二模）如图是由一些棱长均为1 个单位长度的小正方体组合成的简单几何体． (1)画该几何体的主视图、左视图： (2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是 ； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加 块小正方 体． 【变式5-1】（2021·河北·模拟预测）如图的两个几何体分别由7 个和6 个相同的小正方体搭成，比较两个 几何体的三视图，正确的是（ ） ．仅主视图不同 B．仅俯视图不同 ．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 【变式5-2】（2023·全国·一模）如图是用10 个完全相同的小立方体搭成的几何体． (1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图． (2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体． 【变式5-3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立 体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m． (1)图2 是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50 元，那么一共需要花费多少元？ （π取314）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油 漆．） 【变式5-4】（2020 浙江宁波·统考一模）如图1 是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何 体的模型． （1）这个几何体模型的名称是 ． （2）如图2 是根据，b，的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在格中画 出该几何体的左视图． （3）若=+b，且，b 满足1 4 2+b2 6b+10=0 ﹣ ﹣ ，求该几何体的表面积． 题型06 由三视图还原几何体 【例6】（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） ．圆柱 B．球 ．圆锥 D．正四棱柱 【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） ．圆锥 B．三棱锥 ．三棱柱 D．四棱柱 【变式6-2】（2022·河南郑州·一模）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） ． B． ． D． 【变式6-3】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） ． B． ． D． 题型07 已知三视图求边长 【例7】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2 的等边三角形，则此圆锥的高是（ ） ．2 B．3 ．❑ √2 D．❑ √3 【变式7-1】（2022·北京·校考一模）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（ ） ．2 B．3 ．❑ √3 D．3 2 ❑ √3 【变式7-2】（2020·山东聊城·统考一模）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2 的等腰直角三 角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 （结果保留π） 【变式7-3】（2022·山东青岛·统考一模）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG 中，FG=18m， EG=14m，∠EGF=30°，则左视图中B 的长为 cm． 题型08 已知三视图求侧面积或表面积 【例8】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：m），则这个几何体的 侧面积为（ ） ．48πm2 B．24πm2 ．12πm2 D．9πm2 【变式8-1】（2020·广东茂名·校联考模拟预测）图2 是图1 中长方体的三视图，用S 表示面积， S主=x 2+3 x ,S左=x 2+x ,则S 俯=¿（ ） ．x 2+3 x+2 B．x 2+2 x+1 ．x 2+4 x+3 D．2 x 2+4 x 【变式8-2】（2021·宁夏吴忠·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． 题型09 求小立方块堆砌图形的表面积 【例9】（2020·江苏南京·统考一模）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图 如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ． 【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）如图，棱长为5m 的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透 的边长为1m 的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 m2． 【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图是由10 个边长为2m 的小正方体组合成的简单几何体． (1)画出该几何体从三个方向看到的形状图； (2)该几何体的表面积（含底面）是______． 【变式9-3】（2024·河南平顶山·统考一模）把边长为1 个单位的6 个相同正方体摆成如图的形式． （1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）直接写出该几何体的表面积为______； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么 最多可以再添加 ______个小正方体． 题型10 已知三视图求体积 【例10】（2023·河北·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积 为（ ） ．12π B．18 π ．24