第30讲 投影与视图（讲义）（解析版）

第30 讲 投影与视图 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 图形的投影 题型01 平行投影 题型02 中心投影 题型03 正投影 考点二 几何体的三视图 题型01 判断简单几何体三视图 题型02 判断简单组合体三视图 题型03 判断非实心几何体三视图 题型04 画简单几何体的三视图 题型05 画简单组合体的三视图 题型06 由三视图还原几何体 题型07 已知三视图求边长 题型08 已知三视图求侧面积或表面积 题型09 求小立方块堆砌图形的表面积 题型10 已知三视图求体积 题型11 求几何体视图的面积 题型12 由三视图，判断小立方体的个数 考点要求 新课标要求 命题预测 图形的投影  通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念  会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视 图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几 何体  了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制 作模型 本单元内容以考查几何体的三 视图和正方体的展开图为主，年年 都会考查，是广大考生的得分点， 分值为3 分，预计2024 年各地中考 还将出现，并且在选择题出现的可 能性较大，一般只考察基础应用， 所以考生在复习时要多注重该考点 几何体的三视 图  通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用 的概念以及应用 考点一 图形的投影 投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影照射 光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面 平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影（例如：太阳光） 平行投影的特征： 1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长 2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度 图1 图2 【小技巧】 1）图1 中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例 2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线， 便可求出同一时刻其他物体的影子（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的） 3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： ，利用上面的关系式 可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等 4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物 体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长 中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影（例如：手电筒、路灯、台灯等） 中心投影的特征： 1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短， 离点光源远的物体它的影子长 2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越 短，但不会比物体本身的长度还短 图3 图4 【小技巧】 1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第 三个点的位置 2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且 中心投影后得到的图形与原图形相似 正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影 正投影的分类： 1）线段的正投影分为三种情况如图所示 ①线段B 平行于投影面P 时，它的正投影是线段1B1，与线段B 的长相等；、 ②线段B 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段2B2，长小于线段B 的长； ③线段B 垂直于投影面P 时，它的正投影是一个点 2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示 ①当平面图形平行于投影面Q 时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个 平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q 时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小， 是类似图形但不一定相似 ③当平面图形垂直于投影面Q 时，它的正投影是直线 3）立体图形的正投影 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立 体图形的最大截面全等 投影的判断方法： 1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是 平行投影． 2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投 影就是中心投影． 题型01 平行投影 【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照 片（上午8 时至下午5 时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ） ．①②③④⑤ B．②④①③⑤ ．⑤④①③② D．⑤③①④② 【答】B 【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由 长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东． 【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置 的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这 五张照片排序是②④①③⑤． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键． 【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时 刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等 且平行，据此判断即可． 【详解】解：．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； ．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的 影子就是平行投影． 【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地 面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与 地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m． 【答】12 【分析】设地面影长对应的树高为x m，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上 的影长CD即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为x m， 由题意得，x 5 = 1 0.5， 解得x=10， ∵墙上的影子CD长为2m， ∴树的高度为10+2=12m． 故答为：12． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂 直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为 100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡 上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡 度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答 这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 【答】（1）120m；（2）正确；（3）280m 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点F 作FG E ⊥ 于点G，设FG=4m，G=3m，利用勾股定理求出G 和FG，得到BG，过点F 作F B ⊥ 于点，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出的长度，即可得到B 【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xm， 由题意可得：90 72=150 x ， 解得：x=120， 经检验：x=120 是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为120m； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与M 垂直，所以太阳光的光线与M 垂直， 则在斜坡上的影子也与M 垂直，则过斜坡上的影子的横截面与M 垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，B 为高圆柱，F 为太阳光，△DE 为斜坡，F 为圆柱在斜坡上的影子， 过点F 作FG E ⊥ 于点G， 由题意可得：B=100，F=100， ∵斜坡坡度i=1:0.75， ∴DE CE = FG CG = 1 0.75= 4 3 ， ∴设FG=4m，G=3m，在△FG 中， (4 m) 2+(3m) 2=100 2， 解得：m=20， G=60 ∴ ，FG=80， BG=B+G=160 ∴ ， 过点F 作F B ⊥ 于点， ∵同一时刻，90m 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72m， FG BE ⊥ ，B BE ⊥ ，F B ⊥， 可知四边形BGF 为矩形， ∴90 72= AH HF = AH BG ， = ∴90 72 ×BG=90 72 ×160=200， B=+B=+FG=200+80=280 ∴ ， 故高圆柱的高度为280m 【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理 解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． 题型02 中心投影 【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（ ） ．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子 ．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子 【答】 【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断． 【详解】解：．白天旗杆的影子为平行投影，所以选项不合题意； B．阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B 选项不合题意； ．灯光下演员的影子为中心投影，所以选项符合题意； D．中午小明跑步的影子为平行投影，所以D 选项不合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光 的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影． 【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个 点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以 是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到 符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面， 则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例 是解题的关键． 【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的 是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判 断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的 影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影 子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 【变式2-3】（2020·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P (2,2)处，木杆AB两端的 坐标分别为(0,1)，(3,1)．则木杆AB在x轴上的影长CD为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【答】B 【分析】利用中心投影，过点P 作PE⊥D 于点E 交B 于点M，证明△ABP∼△CDP，然后利用相似比可 求出D 的长． 【详解】解：如图，过点P 作PE⊥D 于点E 交B 于点M， 根据题意得：AB∥CD， ∴△ABP∼△CDP， ∵P (2,2)，(0,1)，B(3,1)． ∴PE=2，B=3，ME=1， ∴PM=1， ∴AB CD = PM PE ，即3 CD =1 2 ， 解得：D=6，． 故选：B 【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影 是放大（即位似变换）的关系． 【变式2-4】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗 手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1 米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2 米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） ．减少3 2米 B．增加3 2米 ．减少5 3米 D．增加5 3米 【答】 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作 OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF ⊥CD， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD，则AB CD =OE OF ， ∵EF=1米，OE=2米，则OF=3米， ∴AB CD =OE OF =2 3， 设AB=2k，CD=3k ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即AB=2k，C ' D '=6 k，E F '=1米，△A O ' B∽△C 'O ' D ' ∴AB C ' D ' =O ' E ' O ' F ' =1 3， 则O ' F '−O ' E '=2O ' E '=E F '， ∴O ' E '=1 2米， ∴光源与小明的距离变化为：OE−O ' E '=2−1 2=3 2米， 故选：． 【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立 适当的数学模型来解答问题． 【变式2-5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD． 当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影 子的顶部刚好接触到路灯BD的底部． 已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m，且AP=QB． (1)标出小华站在P 处时，在路灯AC下的影子． (2)求两个路灯之间的距离． (3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？ 【答】(1)画图见解析 (2)两路灯的距离为18m； (3)当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6 m． 【分析】（1）连接CM并延长与AB交于点K，从而可得答； （2）如图，先证明△APM ∽△ABD，利用相似比可得AP=1 6 AB，即得BQ=1 6 AB，则 1 6 AB+12+ 1 6 AB=AB，从而可得答； （3）如图，他在路灯AC下的影子为BN，证明△NBM ∽△NAC，利用相似三角形的性质得 BN BN +18=1.6 9.6，然后利用比例性质求出BN即可． 【详解】（1）解：如图，连接CM并延长与AB交于点K，线段PK即为小华站在P 处时，在路灯AC下的 影子 （2）如图， ∵PM ∥BD， ∴△APM ∽△ABD， ∴AP AB = PM BD ，即AP AB =1.6 9.6 ， ∴AP=1 6 AB， ∵QB=AP， ∴BQ=1 6 AB， 而AP+PQ+BQ=AB， ∴1 6 AB+12+ 1 6 AB=AB， ∴AB=18． 答：两路灯的距离为18m； （3）如图，他在路灯AC下的影子为BN， ∵BM ∥AC， ∴△NBM ∽△NAC， ∴BN AN = BM AC ，即 BN BN +18=1.6 9.6，解得BN=3.6． 答：当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6 m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似 三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴 含了数形结合的思想方法． 题型03 正投影 【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线 由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形， 故选：． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【变式3-1】（2022·江西·模拟预测）如图1 所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1 可抽象成图2， 在图2 中，点可在BD 上滑动，当伞完全折叠成图3 时，伞的下端点F 落在F '处，点落在C '处，AE=EF， AC=BC=CE=90cm，D F '=70cm． (1)BD 的长为______． (2)如图2，当AB=54 cm时． ①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin36.9°≈0.60， tan31.0°≈0.60） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【答】(1)250m (2) 35° ① ；②29484 π 【分析】（1）根据题意可得BD=B F '+F ' D，当伞完全折叠成图3 时，伞的下端点F 落在F '处，点落在 C '处，可得B F '=EF=AC+CE，代入数据求解即可； （2）①过点C作CG⊥AG，根据BC=AC，可得AG=GB=27cm，∠ACG=1 2 ∠ACB，根据 sin∠ACG=0.3，sin17.5°≈0.30