专题13.5 等边三角形【九大题型】（原卷版）

专题135 等边三角形【九大题型】 【人版】 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】.........................................................................................................1 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】..................................................................................................3 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】.........................................................................................................4 【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】..................................................................................................6 【题型5 等边三角形的证明】.................................................................................................................................7 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】............................................................................................................. 8 【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】.........................................................................................................9 【题型8 与等边三角形有关的动点问题】........................................................................................................... 11 【题型9 含30°角的直角三角形性质】................................................................................................................. 12 【知识点1 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形 （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60° （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 【例1】（2022 秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠B 和∠D 都是直角 ①若∠B＝60°，则∠BD＝ °，∠＝ °； ②改变∠B 的大小，则∠BD 与∠相等吗？为什么？ （2）如图2，∠B＝∠D＝80°，若∠D＝∠B+40°，求∠的度数； （3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若 ∠BE＝10°，∠F＝30°，则∠1＝ °． 1 【变式1-1】（2022 秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△B 是等边三角形，D 是B 延长线上 的点，BE、E 分别平分∠B 和∠D，求∠BE 的度数． 【变式1-2】（2022 秋•太原期末）问题情境：如图1，点D 是△B 外的一点，点E 在B 边的 延长线上，BD 平分∠B，D 平分∠E．试探究∠D 与∠的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△B 是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△B 是等腰三角形，顶角∠＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个 图中，∠D 与∠度数的比是 ； （2）猜想证明： 如图1，△B 为一般三角形，在（1）中获得的∠D 与∠的关系是否还成立？若成立，利用 图1 证明你的结论；若不成立，说明理由． 【变式1-3】（2022 秋•龙港区期末）已知△B，△EFG 是边长相等的等边三角形，点D 是边 B，EF 的中点． （1）如图①，连接D，GD，则∠D 的大小＝ （度）；∠GDF 的大小＝ （度）； D 与GD 的数量关系是 ；D 与DF 的数量关系是 ； （2）如图②，直线G，F 相交于点M，求∠MF 的大小． 1 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】 【例2】（2022 秋•华容县期末）如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧 分别作等边△B 和等边△DE，D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q，连结 PQ．以下五个结论： ①D＝BE；②PQ∥E；③P＝Q；④△PQ 为等边三角形；⑤∠B＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答序号都写上） 【变式2-1】（2022 秋•西青区期末）如图，△B 和△DE 都是等边三角形，点E 在△B 内部， 连接E，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠EB 的度数是 ． 【变式2-2】（2022 秋•兴化市校级月考）如图1，等边△B 中，D 是B 边上的点，以D 为一 边，向上作等边△ED，连接E． （1）求证：△DB≌△E； （2）求证：E∥B； （3）如图2，若D 在边B 的延长线上，且B＝6，D＝2，试求△B 与△E 面积的比值． 【变式2-3】（2022 秋•赫山区期末）如图，△B 和△DE 都为等边三角形，E 在B 上，E 的延 长线交BD 于F． （1）求证：E＝BD； 1 （2）求∠FB 的度数； （3）求证：F 平分∠FD； （4）直接写出EF，DF，F 之间的数量关系． 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】 【例3】（2022 春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（2，0）， 以线段为边在第一象限内作等边△B，点D 为x 轴正半轴上一动点（D＞2），连结BD， 以线段BD 为边在第一象限内作等边△BDE，直线E 与y 轴交于点，则点的坐标为（ ） ．(0，−❑ √3) B．(0，−2❑ √3) ．（0，﹣2） D．(0，−2❑ √2) 【变式3-1】（2022 春•龙口市期末）如图，在直角坐标系xy 中，直线M 分别与x 轴，y 轴 交于点M，，且M＝4，∠M＝30°，等边△B 的顶点，B 分别在线段M，M 上，点的坐标 为（ ） ．（1，❑ √3） B．（1，❑ √5） ．（❑ √3，1） D．（3 2，❑ √3） 【变式3-2】（2022 秋•新洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点在y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限，＝，B＝b，B 与x 轴正方向的夹角为150°，且2﹣b2+﹣b＝0． 1 （1）试判定△B 的形状； （2）如图1，若B⊥B，B＝B，点D 为的中点，、BD 交于E，求证：E＝BE+E； （3）如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG，延长G 交x 轴 于点P，问：P 与之间有何数量关系？试证明你的结论． 【变式3-3】（2022 秋•汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知（﹣2，0），B （2，0），（6，0），D 为y 轴正半轴上一点，且∠DB＝30°，延长DB 至E，使BE＝ BD．P 为x 轴正半轴上一动点（P 在点右边），M 在EP 上，且∠EM＝60°，M 交BE 于． （1）求证：BE＝B； （2）求证：∠B＝∠EP； （3）当P 点运动时，求BP﹣B 的值． 【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】 【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2 的等边三角形B 中，D 为边B 上一点，且 BD¿ 1 2D．点E，F 分别在边B，上，且∠EDF＝90°，M 为边EF 的中点，连接M 交DF 于点．若DF∥B，则M 的长为（ ） 1 ．2 3 ❑ √3 B．3 4 ❑ √3 ．5 6 ❑ √3 D．❑ √3 【变式4-1】（2022 春•西乡县期末）如图，△B 是等边三角形，BD 是中线，过点D 作 DE⊥B 于E 交B 边延长线于F，E＝1，求BF 的长． 【变式4-2】（2022•浙江模拟）如图，等边△B 的边长为10，点P 是边B 的中点，Q 为B 延 长线上一点，Q：B＝1：2，过P 作PE⊥于E，连PQ 交边于D，求DE 的长 【变式4-3】（2022 秋•崇川区校级月考）如图，在△B 中，B＝，D、E 是△B 内两点，D 平 分∠B，∠EB＝∠E＝60°，若BE＝30m，DE＝2m，则B＝ m． 【题型5 等边三角形的证明】 【例5】（2022 秋•建水县校级期中）如图，△B 为等边三角形，D 为B 边上一点，以D 为 边作∠DE＝60°，DE 与△B 的外角平分线E 交于点E，连接E．求证：△DE 是等边三角形． 1 【变式5-1】如图，已知△B 是等边三角形，E 是延长线上一点，选择一点D，使得△DE 是 等边三角形，如果M 是线段D 的中点，是线段BE 的中点， 求证：△M 是等边三角形． 【变式5-2】（2022 春•龙口市期末）如图，E 是∠B 的平分线上一点，E⊥B，ED⊥，、D 是垂足，连接D 交E 于点F，若∠B＝60°． （1）求证：△D 是等边三角形； （2）若EF＝5，求线段E 的长． 【变式5-3】（2022 秋•韶关期末）已知：如图，△B、△DE 都是等边三角形，D、BE 相 交于点，点M、分别是线段D、BE 的中点． （1）求证：D＝BE； （2）求∠DE 的度数； （3）求证：△M 是等边三角形． 1 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 【例6】（2022 秋•思明区校级期中）如图，已知∠M＝30°，点1，2，3…在射线上，点B1， B2，B3…在射线M 上，△1B12，△2B23，△3B34…均为等边三角形，若1＝2，则△7B78的边长 为 ． 【变式6-1】（2022 秋•简阳市 期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动： 从坐标原点开始起跳记为1，然后沿着边长为1 的等边三角形跳跃即1→2→3→4→5……已 知3的坐标为（1，0），则2018的坐标是 ． 【变式6-2】（2022•定兴县二模）如图，△B 是一个边长为2 的等边三角形，D0⊥B，垂足 为点D0．过点D0作D0D1⊥B，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥D0，垂足为点D2；又 过点D2作D2D3⊥B，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2， D2D3，…，则线段D1D2的长为 3 4 ，线段D 1 ﹣D 的长为 （为正整数）． 1 【变式6-3】（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点1是面积为3 的等边△B 的两条中线的交点， 以B1为一边，构造等边△B11，称为第一次构造；点2是△B11的两条中线的交点，再以B2 为一边，构造等边△B22，称为第二次构造；以此类推，当第次构造出的等边△B∁的边B∁ 与等边△B 的边B 第一次在同一直线上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面 积是 ． 【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】 【例7】（2000•内蒙古）如图，已知△B 为等边三角形，延长B 到D，延长B 到E，并且使 E＝BD，连接E，DE．求证：E＝ED． 【变式7-1】如图，在等边三角形B 中，B，分别平分∠B，∠B，E∥B，F∥，试说明BE＝EF ＝F． 【变式7-2】（2022 秋•绵竹市期末）在等边△B 中，点E 是B 上的动点，点E 与点、B 不重 合，点D 在B 的延长线上，且E＝ED． （1）如图1，若点E 是B 的中点，求证：BD＝E； 1 （2）如图2，若点E 不是B 的中点时，（1）中的结论“BD＝E”能否成立？若不成立， 请直接写出BD 与E 数量关系，若成立，请给予证明． 【变式7-3】（2022 春•建平县期末）如图（1），等边△B 中，D 是B 边上的动点，以D 为 一边，向上作等边△ED，连接E． （1）△DB 和△E 会全等吗？请说说你的理由； （2）试说明E∥B 的理由； （3）如图（2），将（1）动点D 运动到边B 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问 是否仍有E∥B？证明你的猜想． 【题型8 与等边三角形有关的动点问题】 【例8】（2022 秋•香洲区期中）如图，在等边△B 中，B＝9m，点P 从点出发沿B 边向B 点以2m/s 的速度移动，点Q 从B 点出发沿B 边向点以5m/s 速度移动．P、Q 两点同时 出发，它们移动的时间为t 秒钟． （1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？ （3）若P、Q 两点分别从、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△B 三边运动，请 问经过几秒钟后点P 与点Q 第一次在△B 的哪条边上相遇？ 1 【变式8-1】（2022 春•渭滨区期末）如图，在等边△B 中，B＝12m，现有M，两点分别从 点，B 同时出发，沿△B 的边按顺时针方向运动，已知点M 的速度为1m/s，点的速度为 2m/s，当点第一次到达B 点时，M，同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t 为何值时，M，两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点M，在B 边上运动时，是否存在使M＝的位置？若存在，请求出此时点M， 运动的时间；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（2022 春•金牛区校级期中）如图1，点P、Q 分别是等边△B 边B、B 上的动 点（端点除外），点P 从顶点、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接 Q、P 交于点M． （1）求证：△BQ≌△P； （2）当点P、Q 分别在B、B 边上运动时，∠QM 变化吗？若变化，请说明理由；若不 变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q 在运动到终点后继续在射线B、B 上运动，直线Q、P 交点为 M，则∠QM 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式8-3】（2022 秋•禄劝县期末）如图，在等边△B 中，＝6，点在上，且＝2，点P 是B 上一动点，连接P，将线段P 绕点逆时针旋转60°得到线段D．要使点D 恰好落在B 上， 则P 的长是多少？ 【知识点2 含30°角的直角三角形】 1 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【题型9 含30°角的直角三角形性质】 【例9】（2022 秋•尚志市期中）已知：如图△B 中，B＝，∠＝30°，B⊥D，DE⊥． （1）求证：E＝E； （2）若DE＝2，求B 的长． 【变式9-1】（2022 秋•武清区期中）如图，在△B 中，B＝，∠B＝120°，点P 为B 边的中点， PD⊥于点D． 求证：D＝3D． 【变式9-2】（2022 春•湟中县校级月考）如图，已知∠B＝60°，点P 在边上，P＝12，点 M，在边B 上，PM＝P，若M＝5，求M 的长度． 【变式9-3】（2022 秋•尚志市期中）如图所示，等边△B 中，D⊥B 于D，点P 是B 边上的 任意一点（点P 可以与点重合，但不与点B 重合），过点P 作PE⊥B，垂足为E，过E 作EF⊥，垂足为F． （1）如图1，求证：2BD＝2F+BE； （2）若B＝4，过F 作FQ⊥B，垂足为Q，PQ＝1，求BP 的长． 1