第34讲 概率（讲义）（原卷版）

第34 讲 概率 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 概率的相关概念 题型01 事件的分类 题型02 判断事件发生可能性的大小 题型03 理解概率的意义 题型04 判断几个事件概率的大小关系 考点二 概率的计算方法 题型01 根据概率公式计算概率 题型02 根据概率作判断 题型03 已知概率求数量 题型04 列举法求概率 题型05 画树状图法/列表法求概率 题型06 几何概率 题型07 由频率估计概率 题型08 用频率估计概率的综合应用 题型09 放回实验概率计算方法 题型10 不放回实验概率计算方法 题型11 游戏公平性 题型12 概率的应用 题型13 概率与统计综合 考点要求 新课标要求 命题预测 概率的相 关概念  能通过列表、画树状图等方法列出 简单随机事件所有可能的结果，以 及指定随机事件发生的所有可能结 果，了解随机事件的概率 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年 都会考查，是广大考生的得分点，分值为10 分左右，预 计2024 年各地中考还将出现 该专题考题的类型也比较的 固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率 概率的计 算方法  知道通过大量重复试验，可以用频 率估计概率 的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题 结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时 要多加注意即可 考点一 概率的相关概念 1 概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件发生的概率，记 为P() 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小 概率公式： P(随机事件)= 随机事件出现的次数 所有可能出现的结果数 2 确定事件与随机事件 定义 事件发生的概率 确 定 事 件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， 这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1 （随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 题型01 事件的分类 【例1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）彩民李大叔购买1 张彩票，中奖．这个事件是（ ） ．必然事件 B．确定性事件 ．不可能事件 D．随机事件 【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） ．水落石出 B．水涨船高 ．水滴石穿 D．水中捞月 【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）下列事件是必然事件的是（ ） ．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 ．掷一枚均匀骰子，点数是6 的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【变式1-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭 合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机 事件的是（ ） ．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 ．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【变式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是随机事件的是（ ） ．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 ．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540° 题型02 判断事件发生可能性的大小 【例2】（2022·广东中山·统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”． 比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3 分别写在3 张同样 的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法 中正确的是（ ） ．小星抽到数字1 的可能性最小 B．小星抽到数字2 的可能性最大 ．小星抽到数字3 的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【变式2-1】（2021·河北唐山·统考一模）下列4 个袋子中，装有除颜色外完全相同的10 个小球，任意摸 出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8 个红球，m 个白球，3 个黑球， 每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m 的值不可能是（ ） ．1 B．3 ．5 D．10 【变式2-3】（2023·贵州贵阳·校考一模）将4 张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4 四个 数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（ ） ．数字大于2 的卡片 B．数字小于2 的卡片 ．数字大于3 的卡片 D．数字小于4 的卡片 题型03 理解概率的意义 【例3】（2022·广东深圳·校考一模）“14 人中至少有2 人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P， 则（ ） ．P＝0 B．0＜P＜1 ．P＝1 D．P＞1 【变式3-1】（2022·安徽芜湖·统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列 理解正确的是（ ） ．明天千岛湖镇下雨的可能性较大 B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨 ．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨 D．明天千岛湖镇一定会下雨 【变式3-2】（2022·河北石家庄·校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是05．则下 列判断正确的是（ ） ．连续掷2 次时，正面朝上一定会出现1 次 B．连续掷100 次时，正面朝上一定会出现50 次 判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为100%，不可能事件的 可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0－100%．在随机事件中，要想判断 随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的 可能性大．所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错 误结果． ．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于05 【变式3-3】（2023·山西晋城·统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代 物，但下列物品不能做替代物的是（ ） ．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃) ．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 题型04 判断几个事件概率的大小关系 【例4】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色 外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5 个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1 个球，取出红球 的可能性大，则红球的个数是（ ） ．4 个 B．5 个 ．不足4 个 D．6 个或6 个以上 【变式4-1】（2023·广东云浮·统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的 事件是（ ） ．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3 ．朝上一面的点数是2 的倍数 D．朝上一面的点数是3 的倍数 【变式4-2】（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）桌子上有6 杯同样型号的杯子，其中1 杯84 消毒液，2 杯 75%的酒精，3 杯双氧水，从6 个杯子中随机取出1 杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ． （填序号 即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84 消毒液． 考点二 概率的计算方法 公式法 P（）=m n ，其中为所有事件的总数，m 为事件发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列 举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图 法 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 画树状图法 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果， 这种方法叫列表法 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数m 的值； 3）利用概率公式P ( A )=m n ，计算出事件的概率． 用频率估计 概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示 出一定的稳定性 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等 时，一般通过统计频率来估计概率． 题型01 根据概率公式计算概率 【例1】（2023·广西·模拟预测）书架上有2 本数学书、1 本物理书．从中任取1 本书是物理书的概率为（ ） ．1 4 B．1 3 ．1 2 D．2 3 【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3 个红球、1 个白球，它们除 颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ） ．3 4 B．1 2 ．1 3 D．1 4 【变式1-2】（2023·广西·模拟预测）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选 中甲同学的概率是（ ） 1 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列 出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法 当试验包含三步或三步以上时，不能用 列表法，用画树状图法比较方便 2 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确 ．1 5 B．1 4 ．1 3 D．3 4 【变式1-3】（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘 自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇 数的概率是 ． 题型02 根据概率作判断 【例2】（2020·北京·一模）一个不透明的袋中装有8 个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相 同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ） ．m=n=8 B．n−m=8 ．m+n=8 D．m−n=8 【变式2-1】（2015·河北石家庄·统考一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率 是05，则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ． 【变式2-2】（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1 个红球、2 个黄球，这些球除颜色外无 其他差别．从该盒子中随机摸出1 个球，请写出概率为1 3的事件： ． 题型03 已知概率求数量 【例3】（2023·广东·统考二模）一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两 个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则的 值为（ ） ．18 B．20 ．22 D．24 【变式3-1】（2023·山东临沂·统考一模）一个不透明的箱子中有5 个红球和若干个黄球，除颜色外无其它 差别若任意摸出一个球，摸出红球的概率为1 4 ，则这个箱子中黄球的个数为 个． 【变式3-2】（2018·四川成都·成都外国语学校校考一模）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验， 发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为3 4 ”，则这个袋中白球大约有 个． 【变式3-3】（2020·辽宁鞍山·统考一模）在一个不透明的袋子中装有6 个红球和若干个白球，这些球除颜 色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100 次，发现有 20 次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ． 【变式3-4】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验， 具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4 个，这些球除颜色外无其它差别， 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断 重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251 摸到白球的频率 m n 0260 0253 0250 0254 0246 0251 (1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为________ ___（精确到001）； (2)试估算盒子里有多少个白球？ (3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小 球”的概率． 题型04 列举法求概率 【例4】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图主要 由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机 涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ） ．1 3 B．3 8 ．1 2 D．2 3 【变式4-1】（2023·广东佛山·校考一模）宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下： ①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠； ③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里 这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ） ．1 12 B．1 18 ．1 24 D．1 64 【变式4-2】．（2021·山东潍坊·校考二模）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根， 可以组成三角形的概率为 ． 题型05 画树状图法/列表法求概率 【例5】（2023·山东济南·统考一模）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽 取2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ） ．1 2 B．1 4 ．3 4 D．5 12 【变式5-1】（2022·广东深圳·校考一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7 的 概率是（ ） ．1 12 B．1 6 ．1 3 D．1 2 【变式5-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一只不透明的袋子中装有3 个大小、质地完全相同的乒乓球，球 面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1 个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任 意摸出1 个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【变式5-3】（2023·陕西宝鸡·统考一模）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西 瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． (1)若从这五个纸箱中随机选1 个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg 的概率是______； (2)若从这五个纸箱中随机选2 个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为 15kg 的概率． 【变式5-4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相 等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙 上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状 图法求满足+b<0 的概率． 题型06 几何概率 【例6】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，在5×6的长方形格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色 外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形B 的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形 是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1 次），任意投掷飞镖1 次，飞镖击中扇形B （阴影部分）的概率是（ ） ．π 12 B．π 24 ． ❑ √10 π 60 D． ❑ √5 π 60 【变式6-1】（2022·福建漳州·统考模拟预测）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落 在白色区域的概率为( ) ．1 2 B．1 3 ．2 5 D．3 5 【变式6-2】（2022·福建龙岩·统考一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图（图中阴影部分）， 小明想了解该图的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图围起 来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图上的次数（球扔在界线上或长 方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规 则图的面积大约为（ ） ．6m 2 B．7m 2 ．8m 2 D．9m 2 【变式6-3】（2020·浙江衢州·统考模拟预测）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后， 指针落在数字“ ”所示区域内的概率是（ ） Ⅱ ．1 3 B．1 4 ．1 6 D．1 8 【变式6-4】（2022·贵州毕节·统考模拟预测）如图，将一个棱长为3 的正方体表面涂上颜色，再把它分割 成棱长为1 的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被 涂色的概率为（ ） ．4 27 B．2 9 ．8 27 D．20 27 【变式6-5】（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在 某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【变式6-6】（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于