模型37 圆——定弦定角模型-解析版

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 2. 根据张角动线段、确定 隐形圆 3. 定角是圆周角，找圆心 定半径 知识点二：30º、150 ◎结论3：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝30º（或∠PB ＝150º），则点 P 在以B 为边构造的等边△B（或△B´）的顶点（或´）为圆心的圆弧 上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为150°时， 方法同上 知识点三：45º、135 ◎结论4：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝45º（或∠PB ＝135º），则点 P 在圆上运动 130°圆周角＝60°圆心角，即∠1B＝60°。 2. 以B 作等边三角形1B，以1 为圆心，为 半径画圆，∠PB＝30° 3. 等边三角形2B 也可向下作∠P0B＝30°。 点P 在弧PB 和弧P0B（除端点）上运动。 P 在以B 为底， B 为腰构造的等腰直角三角形△B（或△B´）的顶 点（或´）为圆心的圆弧上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为135°时， 方法同上 知识点四 60º、120 ◎结论5：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝60º（或∠PB ＝120º），则点 P 在以B 为底， B 为腰构造的等腰直角三角形△B（或△B´）的顶 点（或´）为圆心的圆弧上运动（不包含、B 两点） P 在圆上运动 145°圆周角＝90°圆心角。 2 以B 为斜边作Rt 1B △ ，1＝1B,以1 为圆心， 1 为半径画圆，∠PB＝45° 3 等腰直角三角形2B 也可向下作∠P0B＝45° 点P 在弧PB 和弧P0B（除端点）上运动。 当动点处的角度为120°时， 方法同上 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动， 连接 ，作 ，垂足为 ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是______． 【答】 【分析】先确定点的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得 取最小值时，点的位置，然后利用圆周 角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设D 的中点为点E，则 由题意得，点的运动轨迹在以点E 为圆心，E 为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E 交于点，则此时 取得最小值， 连接BD B 为半圆的直径 P 在圆上运动 160°圆周角＝120°圆心角 2 以B 作等腰三角形的底边1B，1＝1B, 1B ∠ ＝120°以1 为圆心 1 为半径作圆，∠PB＝60° 3 等腰直角三角形2B 也可向下作∠P0B＝60° 点P 在弧PB 和弧P0B（除端点）上运动。 故答为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点的运动轨迹， 从而得出B 取最小值时，点的位置是解题关键． 2．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，过点 作 的平行线， 为直线上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为__________． 【答】2 【分析】如图，连接E．首先证明∠BE=120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，连接M 交 于E′，此时E′的值最小． 【详解】解：如图，连接E． ∵P∥B， ∴∠P=∠B=60°， ∴∠EP=∠P=60°， ∴∠BE=120°， ,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，过点 作 ∴ 中优弧 度数为 =240°，则劣弧 度数为120° ∴△BM 是等腰三角形，∠BM=120°， ∵∠BM=30°，B= ， ∴MB=M=8， ∴连接M 交 于E′，此时E′的值最小． ∵∠B=60°，∠B=30°， ∴∠M=90°， ∴M= = ， ∴E 的最小值为= ． 故答为：2 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等 知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 1．（2022·江苏·九年级专题练习）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图 所示，点 、 、 、 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 的坐标为 ， 为半圆的直径， 半圆圆心 的坐标为 ，半圆半径为． （1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦 的长； （2）已知点 是“蛋圆”上的一点（不与点 ，点 重合），点 关于轴的对称点是点 ，若点 也 在“蛋圆”上，求点 坐标； （3）点 是“蛋圆”外一点，满足 ，当 最大时，直接写出点 的坐标． 【答】（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为 ，D 的长 ；（2）E1( ，1)，E2( ，1)，E3( ，−1)，E4( ，−1)；（3）点P 的坐标为（1， ）． 【分析】（1）求出点，B 的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x=0 代入抛物线的解析式得y=-3， 故此可得到D 的长，可得到B 的长，由M 为圆心可得到M 和M 的长，然后依据勾股定理可求得的长，最 后依据D=+D 求解即可． （2）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，EF 与x 轴交于点，连接EM．由M2+E2=EM2，点F 在二次函数 y=x2-2x-3 的图象上，可得方程组，以及对称性求解； （3）根据∠BP=60°保持不变，点P 在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可． 【详解】解：（1）∵圆心 的坐标为 ，半圆半径为2． ∴（-1，0），B（3，0） 设“蛋圆”抛物线部分的解析式为 把（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得， 解得， “ ∴蛋圆”抛物线部分的解析式为 连接，B，M ∵点D 的坐标为（0，-3）， ∴D 的长为3． ∵（-1，0），B（3，0）． =1 ∴ ，B=3，B=4， ∵M（1，0）． ∴M=2，M=1． 在Rt△M 中，= ． ∴D=+D= ，即这个“蛋圆”被y 轴截得的线段D 的长 ． （2）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设E（m，），则点F 的坐标为（m，-）． EF 与x 轴交于点，连接EM． ∴M2+E2=EM2， ∴（m-1）2+2=4，…①； ∵点F 在二次函数y=x2-2x-3 的图象上， ∴m2-2m-3=-，…② 解由①②组成的方程组得： ； ．（=0 舍去） 由对称性可得： ； ． ∴E1( ，1)，E2( ，1)，E3( ，−1)，E4( ，−1)． （3）如图， ∵∠BP=60°保持不变， 因此点P 在一圆弧上运动． 此圆是以K 为圆心（K 在B 的垂直平分线上，且∠BK=120°），BK 为半径． 当BP 为直径时，BP 最大． 在 中， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 在 中， ∴ ∴ 在Rt△PR 中， ∴ ∴ ∴ ∴点P 的坐标为（1， ）． 【点睛】本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、二次 函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确． 1．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线 交x 轴于点 ， ，D 是抛物线的 顶点，P 是抛物线上的动点，点P 的横坐标为 ， 交直线l： 于点E，P 交 DE 于点F，交y 轴于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点P 的坐标； （3）连接BQ，点M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点P 从点B 运动到点 的过程中，点M 也随之运动，直接写出点M 的纵坐标t 的取值范围． 【答】（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】（1）运用待定系数法将 ， 代入 ，即可求得答； （2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标 ，由 得 ，再根据 与 的 面积相等，可得 ，故点F 分别是P、ED 的中点，设 ， ，结合中 点坐标公式建立方程求解即可； （3）根据题意，分别求出t 的最大值和最小值：①当点P 与点B 重合时，点Q 与点重合，此时t 的值最大， 如图2，以B 为斜边在第一象限内作等腰直角 ，以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴 于点 ，过点 作 轴于点，运用勾股定理即可求得答，②当点P 与点重合时，点Q 与点重合， 此时t 的值最小，如图3，连接B，以为圆心，B 为半径作 交抛物线对称轴于点M，连接M，设抛物线 对称轴交x 轴于点E，运用勾股定理即可求得答． 【详解】解：（1） 抛物线 交x 轴于点 ， ， 将、B 坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得： ， 抛物线的表达式为： ； （2）如图， D 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ， ， 交直线l： 于点E，P 是抛物线上的动点，点P 的横坐标为 ， ，设 ， ， 又 的面积为 ， 的面积为 ， ， ， ， ，即点F 分别是P、ED 的中点， 又 ， ， ， ， 由中点坐标公式得： ， 解得： （与“ ”不符，应舍去）， ， ， ， ； （3）①当点P 与点B 重合时，点Q 与点重合，此时t 的值最大，如图2， 以B 为斜边在第一象限内作等腰直角 ， 则 ， ， 以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ， 过点 作 轴于点，则 ， ， ， ， ， ②当点P 与点重合时，点Q 与点重合，此时t 的值最小，如图3， 连接B，以为圆心，B 为半径作 交抛物线对称轴于点M， ， 经过点， 连接M，设抛物线对称轴交x 轴于点E， 则 ， ， ， ， ， 综上所述， ． 【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一 元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．