模型21 瓜豆原理之直线型（解析版）(1)

运动轨迹为直线 问题1：如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时， Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所 以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点为定点，点P、Q 为动点，P=Q，且∠PQ 为定值，当点P 在直线 B 上运动，Q 的运动轨迹是？ 解析：当P 与Q 夹角固定，且P=Q 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△PP1 PP ≌△ 1，则∠PP1=QQ1，故可知Q 点轨迹为一条直线 模型总结 R 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． R 结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运 动路径长； 【例1】如图，在平面直角坐标系中，（－3，0），点B 是y 轴正半轴上一动点， 点、D 在x 正半轴上，以B 为边在B 的下方作等边△BP，点B 在y 轴上运动时，求 P 的最小值． 解：求P 最小值需先作出P 点轨迹，根据△BP 是等边三角形且B 点在直线上运动， 故可知P 点轨迹也是直线． 取两特殊时刻：（1）当点B 与点重合时，作出P 点位置P1；（2）当点B 在x 轴 上方且B 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P2．连接P1P2，即为P 点轨迹． 根据∠BP＝60°，可知： 与y 轴夹角为60°，作P⊥ ，所得P 长度即为最 小值，P2＝＝3，所以 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ＝90°，当点P 在线段B 上运动时，画 出点Q 的运动轨迹． 解：如图，直线QF 即为所求． 【变式1-2】．如图，等边△B 中，B＝B＝＝6，点M 是B 边上的高D 所在直线上的点，以 BM 为边作等边△BM，连接D，则D 的最小值为 ． 解：如图，连接， ∵△B 和△BM 是等边三角形， ∴B＝B，BM＝B，∠B＝∠MB＝60°， ∴∠BM＝∠B， ∵D⊥B， ∴∠BD＝∠D＝30°，BD＝D＝3， 在△BM 和△B 中， ， ∴△BM≌△B（SS）， ∴M＝，∠BD＝∠B＝30°， ∴点在与B 成30 度的射线上运动， ∴当D⊥时，D 有最小值， ∵D⊥，∠B＝30°， ∴D＝ D＝ ， 故答为： ． 【变式1-3】．如图，已知点（﹣3，0），B（0，3），（﹣1，4），动点P 在线段B 上， 点P、、M 按逆时针顺序排列，且∠PM＝90°，P＝MP，当点P 从点运动到点B 时，则 点M 运动的路径长为 6 ． 解：∵点（﹣3，0），B（0，3）， ∴B＝ ， ∵（﹣1，4），动点P 在线段B 上，∠PM＝90°，P＝MP， ∴ ，P 为主动点，M 为从动点，为定点， 由“瓜豆原理”得P 运动路径（B）与M 运动路径之比等于 ， ∴点M 运动的路径长为 ÷ ＝6， 故答为：6． 【例2】．如图，边长为5 的等边三角形B 中，M 是高所在直线上的一个动点，连接MB， 将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接．则在点M 运动过程中，线段长度的最 小值是（ ） ． B．1 ．2 D． 解：如图，取B 的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∴∠MB+∠B＝60°， 又∵∠MB+∠MB＝∠B＝60°， ∴∠B＝∠GBM， ∵是等边△B 的对称轴， ∴B＝ B， ∴B＝BG， 又∵MB 旋转到B， ∴BM＝B， 在△MBG 和△B 中， ， ∴△MBG≌△B（SS）， ∴MG＝， 根据垂线段最短，MG⊥时，MG 最短，即最短， 此时∵∠B＝ ×60°＝30°，G＝ B＝ ×5＝ ， ∴MG＝ G＝ ， ∴＝ ， 故选：． 变式训练 【变式2-1】．如图，等边△B 的边长为4，点D 是边上的一动点，连接BD，以BD 为斜边 向上作等腰Rt△BDE，连接E，则E 的最小值为（ ） ．1 B． ．2 D．2 解：如图，过点B 作B⊥于点，作射线E， ∵△B 是等边三角形，B⊥， ∴＝2＝， ∵∠BED＝∠BD＝90°， ∴点B，点D，点，点E 四点共圆， ∴∠BE＝∠BDE＝45°， ∴点E 在∠B 的角平分线上运动， ∴当E⊥E 时，E 的长度有最小值， ∵∠E＝45°， ∴＝ E＝2， ∴E 的最小值为 ， 故选：B． 【变式2-2】．如图，正方形BD 的边长为4，E 为B 上一点，且BE＝1，F 为B 边上的一 个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接G，则G 的最小值为（ ） ．05 B．25 ． D．1 解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在 线段轨迹上运动 将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EG，连接B，得到△EFB≌△EG 从而可知△EB 为等边三角形，点G 在垂直于E 的直线上， 延长M 交D 于点． 则△EFB≌△EG， ∴E＝BE＝1，∠BE＝60°，∠GE＝∠FBE＝90°， ∴△EB 为等边三角形． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠FBE＝90°， ∴∠GE＝∠FBE＝90°， ∴点G 在垂直于E 的直线上， 作M⊥，由垂线段最短可知，M 即为G 的最小值， 作EP⊥M，连接B，E， 则四边形EPM 为矩形， ∴MP＝E＝1，∠EP＝90°， ∴∠PE＝30°． ∵E＝B﹣BE＝3， ∴P＝ E＝ ， ∴M＝MP+P＝1+ ＝ ， 即G 的最小值为 ． 方法二：以E 为边作等边三角形E，连接F， 则△EG≌△EF， ∴G＝F， 当F⊥B 时，F 最小＝1+ ＝ ． 故选：B． 【变式2-3】．如图，等腰Rt△B 中，斜边B 的长为4，为B 的中点，P 为边上的动点， Q⊥P 交B 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点运动到点时，点M 所经过的路线长为 2 ． 解：连接，M、M，如图， ∵M 为PQ 的中点， ∴M＝ PQ，M＝ PQ， ∴M＝M， ∴点M 在的垂直平分线上， ∴点M 运动的轨迹为△B 的中位线， ∴点M 所经过的路线长＝ B＝2． 故答为2． 1．如图，长方形BD 中，B＝3，B＝4，E 为B 上一点，且BE＝1，F 为B 边上的一个动点， 连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和G，则G 的最小值为 （ ） ．2 B．1+3 ❑ √2 2 ．2❑ √2 D．5 2 解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE 交G 于． ∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝3，∠B＝∠BD＝90°， ∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG， 在△EBF 和△TEG 中，{ EB=ET ∠BEF=∠TEG EF=EG ， ∴△EBF≌△TEG（SS），∴∠B＝∠ETG＝90°， ∴点G 的在射线TG 上运动，∴当G⊥TG 时，G 的值最小， ∵B＝4，BE＝1，D＝3，∴E＝D＝3， ∴∠ED＝∠BET＝45°，∴∠TE＝90°＝∠ETG＝∠GT＝90°， ∴四边形ETG 是矩形，∴DE∥GT，G＝TE＝BE＝1， ∴⊥DE，∴E＝D，∴¿ 1 2DE¿ 3 ❑ √2 2 ，∴G＝+G＝1+3 ❑ √2 2 ， ∴G 的最小值为1+3 ❑ √2 2 ，故选：B． 2．如图，已知直线y＝kx+2k 分别交x 轴和y 轴于，B 两点，以B 为边作等边△B（，B，三 点逆时针B 排列），D，E 两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接D，E，则 D+E 的最小值为（ ） ．6 B． ．65 D．7 解：∵点B 在直线y＝kx+2k 上， ∴k（x+2）＝0， ∵k≠0， ∴x 2 ﹣＝0， ∴（﹣2，0）， ∵E（﹣1，0），D（﹣6，0）， 在x 轴上方作等边△F， ∵∠B＝∠F＝60°， ∴∠B+∠BF＝∠BF+∠F， 即∠F＝∠B， 在△B 和△F 中， ， ∴△B≌△F（SS）， ∴∠F＝∠B＝90°， ∴点的轨迹为定直线F， 作点E 关于直线F 的对称点E'，连接E'，E＝E'， ∴D+E＝D+E'， ∴当点D、、E'在同一条直线上时，DE'＝D+E 的值最小， ∵F＝＝2，∠F＝60°，∠FG＝90°， ∴G＝4，EG＝3，EE'＝2× F＝3， 即E'（ ， ）， ∴（D+E）的最小值＝DE'＝ ＝7， 故选：D． 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝8，点D 在B 上，且D＝2，点P 是线段上一个动点， 以PD 为直径作⊙，点Q 为直径PD 上方半圆的中点，连接Q，则Q 的最小值为（ ） ．2 B．2 ．4 D．4 解：如图，连接Q，Q，过点作T⊥Q 交Q 的延长线于T， ∵ ， ∴Q⊥PD， ∴∠QD＝90°， ∴∠QD＝ ， ∵∠B＝90°， ∴∠T＝45°， ∵T⊥T， ∴∠T＝90°， ∵＝8， ∴T＝•s45°＝4 ， ∵Q≥T， ∴Q≥4 ， ∴Q 的最小值为：4 ， 故选：D． 4．如图，∠B＝30°，D＝4，当点在上运动时，作等腰Rt△DE，D＝DE，则，E 两点间距离 的最小值为 ． 解：∵∠B＝30°，D＝4，点在上运动时，D＝DE，D⊥DE， ∴为主动点，E 为从动点，D 为定点， 由“瓜豆原理”，在上运动，则E 在垂直的直线上运动， 当D⊥时，如答图： 过E 作EM⊥于M，交B 于，则直线M 即为E 的运动轨迹，M 的长为，E 两点间距离的 最小值， ∵∠B＝30°，D＝4，D⊥，∴D＝2， ∵D＝DE，∴DE＝2， ∵∠D＝∠DE＝90°，∴DE∥，而EM⊥， ∴∠DE＝90°，∠ED＝30°，∴在△DE 中可得D¿ 4 ❑ √3 3 ， ∴＝4+4 ❑ √3 3 ，△M 中可得M¿ ❑ √3 2 ×（4+4 ❑ √3 3 ）＝2+2❑ √3，故答为：2+2❑ √3． 5．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝5 ，点P 在线段B 上运动（含B、两点），连接 P，以点为中心，将线段P 逆时针旋转60°到Q，连接DQ，则线段DQ 的最小值为_____ ___ 解：如图，以B 为边向右作等边△BF，作射线FQ 交D 于点E，过点D 作D⊥QE 于． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BP＝∠BD＝90°， ∵△BF，△PQ 都是等边三角形， ∴∠BF＝∠PQ＝60°，B＝F，P＝Q， ∴∠BP＝∠FQ， 在△BP 和△FQ 中， ， ∴△BP≌△FQ（SS）， ∴∠BP＝∠FQ＝90°， ∵∠FE＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∴∠EF＝90° 30° ﹣ ＝60°， ∵B＝F＝5，E＝F÷s30°＝ ， ∴点Q 在射线FE 上运动， ∵D＝B＝5 ， ∴DE＝D﹣E＝ ， ∵D⊥EF，∠DE＝∠EF＝60°， ∴D＝DE•s60°＝ × ＝ ， 根据垂线段最短可知，当点Q 与重合时，DQ 的值最小，最小值为 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，点D 在B 边上，B＝5，D＝2，点E 是边所在直线上的一动 点，连接DE，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF 的最小值为 ． 解：如图，以BD 为边作等边三角形DB，连接E，过点作⊥BD 于， ∵B＝5，D＝2，∴BD＝3， ∵△DB 是等边三角形，⊥BD， ∴D＝B¿ 3 2，DB＝D，∠DB＝60°，∴¿ 7 2， ∵将DE 绕点D 顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDF＝∠DB，∴∠ED＝∠FDB， 在△DE 和△DBF 中，{ DE=DF ∠EDH=∠FDB DH=DB ， ∴△DE≌△DBF（SS），∴E＝BF， ∴当E 有最小值时，BF 有最小值， 由垂线段最短可得：当E⊥时，E 有最小值， 此时，∵E⊥，∠B＝90°，⊥DB， ∴四边形E 是矩形，∴E＝¿ 7 2，故答为：7 2． 7．如图，矩形BD 中，D＝6，D＝8，点E 为对角线上一动点，BE⊥BF，BE BF = 4 3 ， BG⊥EF 于点G，连接G，当G 最小时，E 的长为 ． 解：如图，过点B 作BP⊥于点P，连接PG， ∵BE BF = AB BC = 4 3 ，∠B＝∠EBF，∴△B∽△EBF，∴∠B＝∠FEB， ∵∠PB＝∠EGB＝90°，∴△BP∽△EBG， ∴AB PB = EB GB = 1 sin∠BAC = AC BC =5 3，∠BP＝∠EBG，∴∠BE＝∠PBG， ∴△BE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BE， 即在点E 的运动过程中，∠BPG 的大小不变且等于∠B， ∴当G⊥PG 时，G 最小， 设此时E＝x，∵AE PG = AB PB =5 3，∴PG¿ 3 5 x， ∵G⊥PG，∴∠PG＝∠BPG＝∠B，∴CP PG =5 3， 代入PG¿ 3 5 x，解得P＝x， ∵P＝B•s∠BP＝B•s∠B¿ 18 5 ， ∴x¿ 18 5 ，∴E¿ 18 5 ．∴E¿ 32 5 ，故答为：32 5 ． 8．如图，已知点是第一象限内横坐标为 的一个定点，⊥x 轴于点M，交直线y＝﹣x 于 点．若点P 是线段上的一个动点，∠PB＝30°，B⊥P，则点P 在线段上运动时，点不变， B 点随之运动．求当点P 从点运动到点时，点B 运动的路径长是 ． 解：如图1 所示，当点P 运动至上的任一点时，设其对应的点B 为B，连接P，B， BB， ∵⊥B1，P⊥B， ∴∠P＝∠B1B， 又∵B1＝•t30°，B＝P•t30°， ∴B1：＝B：P， ∴△B1B∽△P， ∴∠B1B＝∠P． 同理得△B1B2∽△， ∴∠B1B2＝∠P， ∴∠B1B＝∠B1B2， ∴点B 在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B 运动的路径（或轨迹）． 由图形2 可知：Rt△PB1中，∠PB1＝30°， ∴ ， Rt△B2中，∠B2＝30°， ∴ ＝ ， ∴ ， ∵∠PB1＝∠B2＝90°， ∴∠P＝∠B1B2， ∴△P∽△B1B2， ∴ ＝ ＝ ， ∵的解析式为：y＝﹣x， ∴△M 是等腰直角三角形， ∴M＝M＝ ， ∴P＝ ， ∴B1B2＝ ， 综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为 ． 故答为： ． 9．如图，菱形BD 的边长为4，∠B＝120°，E 是B 的中点，F 是对角线上的动点，连接 EF，将线段EF 绕点F 按逆时针旋转30°，G 为点E 对应点，连接G，则G 的最小值为 ． 解：如图取D 的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG 交B 于，作⊥K 于． ∵四边形BD 是菱形，∴∠FE＝∠FK，B＝D，B∥D， ∴∠DB+∠B＝180°， ∵∠B＝120°，∴∠DB＝60°， ∵BE＝E，K＝KD，∴K＝E，∴△EK 是等边三角形， ∵F＝F，∠FK＝∠FE，K＝E， ∴△FK≌△FE（SS），∴FK＝FE， ∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG¿ 1 2∠EFG＝15°， ∵∠KE＝60°，∴∠K＝45°，∴点G 在直线K 上运动， 根据垂线段最短可知，当点G 与重合时，G 的值最小， 在Rt△K 中，∵∠K＝45°，∠K＝90°，K¿ 1 2D＝2， ∴＝K¿ ❑ √2，∴G 的最小值为❑ √2，故答为❑ √2． 10．如图，已知△B 为直角三角形，∠＝30°，∠B＝90°，B＝4，D 是直线B 上一点．以D 为 斜边作等腰直角三角形DE，求E 的最小值． 解：如图，作⊥B 于，取D 的中点，连接E，，E，作G⊥E 交E 的延长线于G． ∵∠ED＝∠D＝90°，＝D， ∴E＝＝＝D， ∴，E，，D 四点共圆， ∴∠E＝∠ED＝45°， ∴∠G＝90°﹣∠E＝45°， ∴点E 的运动轨迹是直线G，当E 与G 重合时，E 的值最小， 在Rt△B 中，∵B＝4，∠B＝30°， ∴＝ B＝4 ，＝•s30°＝6， ∵G⊥G， ∴∠G＝90°， ∵∠G＝∠G＝45°， ∴G＝G＝ ＝3 ， ∴E 的最小值为3 11．如图，在等边△B 中，B＝6，BD⊥，垂足为D，点E 为B 边上中点，点F 为直线BD 上 一点．当点M 为BE 中点，点在边上，且 D＝2，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将 线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当P+1 2 MP 最小时，直接写出 △DP 的面积． 解：以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML＝30°，ML 交BD 于点G，过点P 作P⊥ML 于点， 设MP 交BD 于点K，如图， Rt△PM 中，P¿ 1 2 MP，∴P+1 2 MP最小即P+P 最小，此时、P、共线， ∵将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP， ∴F 在射线QF 上运动，则点P 在MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从 动点，E 为定点，∠FEP＝60°，则F、P 轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°， ∴∠BKM＝60°， ∵∠BD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°， ∴∠BML＝∠，∴ML∥，∴∠＝180°﹣∠PM＝90°， ∵BD⊥，∴∠BD＝∠＝∠PM＝90°，∴四边形GD 为矩形，∴D＝G， ∵等边△B 中，B＝6，BD⊥，∴D＝3， 又∵D＝2，∴等边△B 中，B＝6，点E 为B 的中点，点M 为BE 中点， ∴BM¿ 3 2，BD＝B•s＝6×s60°¿3 ❑ √3， Rt△BGM 中，MG¿ 1 2 BM= 3 4 ，BG＝BM•s30°¿ 3 ❑ √3 4 ， ∴M＝MG+G¿ 11 4 ，GD＝BD﹣BG¿ 9 ❑ √3 4 ，Rt△MP 中，P＝M•t30°¿ 11❑ √3 12 ， ∴P＝﹣P＝GD﹣P¿ 4 ❑ √3 3 ，∴S△DP¿ 1 2 PN ⋅DN= 4 ❑ √3 3 ． 12．如图，等边三角形B 的边长为4，点D 是直线B 上一点．将线段D 绕点D 顺时针旋转 60°得到线段DE，连接BE． （1）若点D 在B 边上（不与，B 重合）请依题意补全图并证明D＝BE； （2）连接E，当E 的长最小时，求D 的长． 解：（1）补全图形如图1 所示，D＝BE，理由如下： ∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝，∠＝∠B＝60°，