第21讲 相似三角形及其应用（练习）（原卷版）

第21 讲 相似三角形及其应用 目 录 题型01 添加条件使两个三角形相似 题型02 证明两个三角形相似 题型03 确定相似三角形的对数 题型04 在格中判断相似三角形 题型05 利用相似的性质求解 题型06 利用相似的性质求点的坐标 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 证明三角形的对应线段成比例 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 题型12 三角板与相似三角形综合应用 题型13 平移与相似三角形综合应用 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型18 字模型 题型19 8 字模型 题型20 一线三垂直模型 题型21 三角形内接矩形模型 题型22 旋转相似模型 题型23 相似三角形的应用 题型01 添加条件使两个三角形相似 1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E 在B 上， 那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ） ．∠CAB=∠D B．AC BC = DE AE ．AD∥BC D．BC AC = AD AE 2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC ∼△ACB． 3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这 个条件可以是 ．（写一个即可） 题型02 证明两个三角形相似 4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E 为BC边上的点（不 与点B，点重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD． 5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E 在AC上，且 ∠EAD=∠ADE． (1)求证：△DCE∽△BCA； (2)若AB=6，AC=8，求BD CD 的值． 6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2， BC=m，P 为线段BC上一动点，且和B、不重合，连接PA，过P 作PE⊥PA交CD所在直线于E． (1)请找出一对相似三角形，并说明理由； (2)若点P 在线段BC上运动时，点E 总在线段CD上，求m 的取值范围． 题型03 确定相似三角形的对数 7．（2023·山西晋中·统考一模）在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D 画一条直线，与三 角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（ ） ．5 条 B．4 条 ．3 条 D．2 条 8．（2023·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（ ） ．3 对 B．4 对 ．5 对 D．6 对 9．（2020·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点E 是平行四边形BD 中B 的延长线上的一点，连接E 交 D 于F，交BD 于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对． ．4 B．5 ．6 D．7 题型04 在格中判断相似三角形 10．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在小正方形的边长为1 的格中，三角形的顶点都在格 点上，与△ABC相似的是（ ） ． B． ． D． 11．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；这3 个斜三 角形中，能与△ABC相似的是 ．（点A、B、C、D、E均在格点上） 12．（2017·天津和平·统考二模）如图，在正方形格上有6 个三角形：①△B，②△DB，③△DEB，④ △FBG，⑤△GF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是 ． 题型05 利用相似的性质求解 13．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，△ABC ∽△≝¿，若AB=2，DE=3，则BC : EF的值等于 （ ） ．1∶2 B．1 3 ∶ ．2 3 ∶ D．4∶9 14．（2023·江西南昌·统考一模）如图，△≝¿的顶点D , E在△ABC的边BC上，EF ∥AC , DF ∥AB， 若∠F=55°，则∠A=¿（ ） ．45° B．55° ．60° D．65° 15．（2023·四川成都·统考一模）若△ABC ∽△≝¿，且AB DE =1 3，若△ABC的周长为2，则△≝¿的周长 为（ ） ．2 9 B．2 3 ．6 D．18 16．（2023·甘肃张掖·校联考一模）已知△ABC ∽△≝¿，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△≝¿ 的面积为 ． 题型06 利用相似的性质求点的坐标 17．（2022·广东汕头·林百欣中学校考一模）如图，矩形BD 的顶点B，分别在x 轴，y 轴上，B＝4，＝3， B＝10，将矩形BD 绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021 次旋转结束时，点的坐标为（ ） ．（10，8） B．（8，－10） ．（－10，8） D．（－8，10） 18．（2023·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系内，一束光线从点P(4,4 )射向x 轴上的点M，经x 轴反 射后反射光线经过点Q(0,2)，则点M 的坐标为 ． 19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点的坐标为(8，6)，点P 在矩形ABOC的内部，点E 在BO边上，且满足 △PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△B 是等边三角形，点B 在x 轴上，，D 分 别是边，B 上的点，且D∥B，＝2，若D＝2，则点的坐标是 ． 21．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A (1,0)，B (0,2)，点C为图示中正方 形格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C的坐标是 ． 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 22．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形 （顶点在方格顶点处）． (1)在图1 中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1； (2)在图2 中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1． 23．（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7 格，每个小正方形的顶点叫做格点，△B 的三个顶点都是格点，边上的D 也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定格中完成画图，画图过程用虚线 表示． (1)在图（1）中，先将线段B 绕点顺时针旋转90°，画出对应线段E，再在E 上画点F，使△BF∽△BD； (2)在图（2）中，先在边B 上画点G，使DG∥B，再在边B 上画点，使＋D 值最小． 24．（2020·新疆·三模）如图1，在6×6 的方格纸中，有格点△B（三个顶点都在方格顶点上的三角形） （1）请在图2 中作一个格点三角形，使它与△B 相似（不全等），且相似比为有理数； （2）请在图3 中作一个格点三角形，使它与△B 相似，且相似比为无理数． 题型08 证明三角形的对应线段成比例 25．（2023·广东惠州·统考二模）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D 与点E 重合，AE交BC于点 F，过点E 作EG∥CD交AC于点G，交CF于点，连接DG． (1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明； (2)连接ED交AC于点O，求证：DC 2=OC ⋅AC； (3)在（2）的条件下，若DG=6，AG=14 5 ，求CG的值． 26．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射， CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______． (2)问题情景：如图1，Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似 证明A C 2=AD× AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形ABCD的边长为15，点是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点作 CF ⊥BE，垂足为F，连接OF： ①试利用射影定理证明△BOF ∽△BED； ②若DE=CE，求OF的长． 27．（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，BD是对角线， 点E、F分别是AB、AD上两个动点（不与端点重合），且AF=BE，BF与DE交于点G． (1)求证：△AED ≌△DFB； (2)如图②，连接CG，若CG⊥BD于点H，求证：E F 2=GH ⋅HC； (3)若AF=nFD，试探究BF与GF的数量关系，并证明． 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 28．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知Rt △ABC中，∠C=90° , AC=6, AB=9，E 是AB上的一 点，BE=5，点D 是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点与C '重合，连接BC '． (1)求证：△AEC '∽△A C ' B； (2)若点F 是BC上一点，且BF=❑ √5，求F C '+ 2 3 BC '的最小值． 29．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）综合与实践 如图1，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC> AC ． 猜想证明：（1）如图1，点D 在BC边上∠DAC=45° ．将△ABC沿AD所在直线折叠，点的对应点为 E ．试猜想四边形ACDE的形状并加以证明 ． 实践探究：（2）如图2，拓展小组受此问题启发，将△ABC沿过点的直线CF折叠 ．点B 的对应点为G ．且CG⊥AB于点 ．若AC=2❑ √5，BC=4 ❑ √5，求BF的长 ． 问题解决：（3）如图3 ．探究小组突发奇想，将△ABC沿过点的直线AM折叠，若∠BAM=45°， AC=4，CM=3，直接写出BM的长 ． 30．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6 的等边△ABC中，点D在 AC上，且CD=2，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应 点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为 ． 31．（2023·江西吉安·校考三模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB 的中点，F为线段AC上的动点，将AD沿过点D的射线DF折叠得到DE，若AB下方的DE与△ABC的边 垂直，则AF的长度可能是 ． 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 32．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，AB⊥BC于点B，DC ⊥BC于点，点E 是线段BC上一个动点， AE⊥EF于点E，射线EF交射线CD于点F，BC=2 AB=8，设BE=x，CF= y，当点E 从点B 运动到 点时，y 与x 的函数图象大致是（ ） ． B． ． D． 33．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上 一动点，过点E作EF ∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE、DF，设EC的长为x，则 △≝¿的面积y关于x的函数图象大致为（ ）． ． B． ． D． 34．（2021·甘肃·模拟预测）如图，矩形BD 中，B＝3，B＝4，动点P 由点出发，沿→B→的路径匀速运动， 过点P 向对角线作垂线，垂足为Q，设Q＝x，△PQ 的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系 的图象大致是（ ） ． B． ． D． 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 35．（2023·广东深圳·统考二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°．由尺规作图得射线BM交 AC于点F．则AF的长是 ． 36．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0)，B是y轴上 一点． (1)B上求作点M，使得△AMO∽△AOB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）的条件下，AB=4 AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当 MO=MF时，求点D的坐标． 37．（2023·福建宁德·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC． (1)尺规作图：在AC和AB上分别确定点D，E 的位置，使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形； （保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若AB=6,BC=4，求BE的长． 题型12 三角板与相似三角形综合应用 38．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，把两块全等的直角三角板ABC和¿叠放在一起，使三角板¿的 锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠≝¿90 ∘，∠C=∠F=45 ∘， AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板¿绕点O逆时针旋转，旋转角为α．其中0 ∘<α<90 ∘．设 射线DE与射线AB相交于点P，线段DF与线段BC相交于点Q．给出下面三个结论： ①△APD∽△CDQ； ②AP⋅CQ的值不变，为8； ③当45°≤α<90°时，设CQ=x，两块三角板重叠部分的面积为y=4−x−8−4 x 4−x ． 其中正确的是（ ） ．只有①与② B．只有①与③ ．只有②与③ D．①②③ 39．（2022·广东深圳·校联考二模）一副三角板按如图1 放置，图2 为简图，D 为B 中点，E、F 分别是一 个三角板与另一个三角板直角边、B 的交点，已知E=2，E=5，连接DE，M 为B 上一点，且满足 ∠ME=2∠DE，EM= ． 40．（2023·安徽合肥·校考一模）如图（1），直线L上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直 角边长为6cm，较小锐角度数为30度． (1)将△ECD沿直线AC翻折到图（2）的位置，E D '与AB相交于点F，请证明：AF=F D ' (2)将△ECD沿直线L向左平移到图（3）的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移距离，试试看； (3)将△ECD绕点C逆时针旋转到图（4）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数． 41．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）问题发现．【发现】如图①，已知等边 △ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上(点D不与点B、C重合)，使两边分别交线段AB、 AC于点E、F． (1)若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=¿______； (2)求证：△EBD∽△DCF． (3)【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都 存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存 在，求出BD BC 的值；若不存在，请说明理由． (4)【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放 在点O处(其中∠MON=∠B)，使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与△ABC的顶点重 合)，连接EF .设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为______(用含α的表达式表示)． 题型13 平移与相似三角形综合应用 42．（2023·安徽六安·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为❑ √5，点在y 轴正 半轴上，点B 在x 轴负半轴上，B (−1,0)，、D 两点在抛物线y=1 2 x 2+bx+c上． (1)求此抛物线的表达式； (2)正方形ABCD沿射线BC以每秒❑ √5个单位长度平移，1 秒后停止，此时B 点运动到B1点，试判断B1点是 否在抛物线上，并说明理由； (3)正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A2B2C2 D2，A2点在x 轴正半轴上，求正方形ABCD的平移 距离． 43．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN 上，起始状态如图①所示，点F 与点D 重合，点G 在CD边上．已知EF=2cm，AB=4 cm．正方形 EFGH沿MN方向以2cm/s的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为S (cm 2)． (1)在正方形EFGH平移过程中，若S=2cm 2，求t 的值． (2)在1≤t ≤3这段时间内，求S与t的函数关系式． (3)当直线BG平分线段AH时，如图②，t=¿______s． 44．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，将y=−x函数图象向上平移b 个单位后， 恰好与y= 4 x ( x>0)有唯一公共点B，并交y= k x (x<0)于点，交x 轴于点． (1)求b 的值． (2)若AB=3 5 AC，求k 的值． 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 45．（2022·河南安阳·统考一模）兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题，部分探索活动如下： (1)如图1，在△B 中，B=，∠B=60°，D，E 分别是B，边上的点，∠FE=∠B，则BE AD 的值为______． (2)如图2，在△B 中，B=，∠B=45°，D，E 分别是B，边上的点，∠FE=∠B，请你猜想BE AD 的值，并给出证 明； (3)如图3，在△B 中，B=，s∠B= 5 12，D，E 分别是B，边延长线上的点，∠DFB=∠B，请直接写出BE AD 的值． 46．（2020·江苏扬州·统考二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5，那么称这 个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （1）如图，在△B 中，=8，B=5，∠ACB=30°，试判断△B 是否是“准黄金”三角形，请说明理由． （2）如图，△B 是“准黄金”三角形，B 是“金底”，把△B 沿B 翻折得到△DB，D 交B 的延长线于点E， 若点恰好是△BD 的重心，求AB BC 的值． （3）如图，l1// l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△B 的“金底”B 在直线l2上，点在直线l1上， AB BC =2❑ √5 5 ，若∠B 是钝角