第21讲 相似三角形及其应用（讲义）（原卷版）

第21 讲 相似三角形及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 相似三角形的性质与判定 题型01 添加条件使两个三角形相似 题型02 证明两个三角形相似 题型03 确定相似三角形的对数 题型04 在格中判断相似三角形 题型05 利用相似的性质求解 题型06 利用相似的性质求点的坐标 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 证明三角形的对应线段成比例 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 题型12 三角板与相似三角形综合应用 题型13 平移与相似三角形综合应用 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 考点二 相似三角形的常见模型 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 一线三垂直模型 题型04 三角形内接矩形模型 题型05 旋转相似模型 考点三 相似三角形的应用 题型01 测量树高 题型02 测量旗杆高度 题型03 测量楼高问题 题型04 测量河宽问题 题型05 杠杆问题 题型06 实验问题 题型07 九章算经问题 题型08 三角形内接矩形问题 考点要求 新课标要求 命题预测 相似三角形的 性质与判定  了解相似三角形的判定定理  了解相似三角形判定定理的证明  了解相似三角形的性质定理 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考 点，也是难度最大的一个考点它不仅可以作为简 单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题 方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一 起考察而且在很多压轴题中，经常通过相似三角 形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关 系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段 需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似三角形的 常见模型  相似三角形的 应用  会利用图形的相似解决一些简单 的实际问题 考点一 相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似用符号 “∽”，读作“相似于” 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 3）相似三角形周长的比等于相似比 4）相似三角形面积比等于相似比的平方 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 题型01 添加条件使两个三角形相似 【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后， 不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ） ．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC ．AC BC =CD AC D．AD AB =CD AC 【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是 （填一个即可） 1 判断格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等 【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知AB AC = AC AD =k，请再添加一个条件，使 △ABC ∽△ACD，你添加的条件是 （写出一个即可）． 题型02 证明两个三角形相似 【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A 、D 、C 、E在同一直线上，满足∠ABC=90°， BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽△AEB． 【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在 BC边上求作一点M，使△CMA ∽△CAB．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分 线 (1)求证：△P∽△DPB； (2)若P＝BP＝1，D＝P，求DP 的长 【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点 E，F 在线段BC上，CE=BF，点Q 在线段AB上，且A E 2=AQ⋅AB． 求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)△ACE∽△AFQ． 题型03 确定相似三角形的对数 【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中， ∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72 ∘则图中相似三角形共有（ ） ．2 对 B．3 对 ．4 对 D．5 对 【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则 图中相似三角形共有（ ） ．2 对 B．3 对 ．4 对 D．5 对 题型04 在格中判断相似三角形 【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形格，连结小长方形的顶 点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） ．①和② B．②和③ ．①和③ D．①和④ 【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形格中有3 个斜三角形：①△ABC；②△CDB； ③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ．（△ABC除外） 题型05 利用相似的性质求解 【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D , E分别在边BC , AC上， ∠ADE=60°，若AD=4 , BD CE =3 2，则DE的长度为（ ） ．1 B．4 3 ．2 D．8 3 【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若AD BD =2 3，那么下列结论中， 正确的是（ ） ． DE BC =2 3 B． AE AC =2 3 ． DO CO =2 3 D． S△DOE S△BOC = 4 25 【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED=9:16， 则BC为（ ） ．8 B．20 3 ．25 3 D．10 【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若 △ABC的周长为12，则△ADE的周长为（ ） ．3 B．4 ．6 D．9 【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC ∽△≝¿，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的 度数是（ ） ．120° B．60° ．90° D．30° 题型06 利用相似的性质求点的坐标 【例6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考二模）如图，已知点、B 的坐标分别是(0,1)、(0,3)， 点为x 轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点的坐标是（ ） ．(2,0) B．(❑ √3,0) ．(❑ √2,0) D．(1,0) 【变式6-1】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A (1,0)，B (2,0)，C (0,1)，在 坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ． 【变式6-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=a x 2−3 2 x+c与x 轴交于A(−1,0)、B(4,0)， 与y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接AC，点P 为抛物线上一点，且在y 轴右侧，过点P 作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ∽△ACO，请求 出点P 的坐标． 【变式6-3】（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双 曲线y= k x (x>0)相交于点P，PC ⊥x轴于点C，且PC=4，点A的坐标为(−4,0)． (1)求一次函数和双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH ⊥x轴于H，当△ABO∼△CQH时，求点Q的坐标． 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 【例7】（2023·吉林延边·统考一模）如图是由边长为1 的小正方形组成的6×8 的正方形络，每个小正方形 的顶点称为格点，△ABC的顶点，B，均在格点上，在给定的络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要 求写画法． (1)在图①中，作△≝¿，使△≝≌△ABC，且点D、E、F 均在格点上． (2)在图②中，作△CGH，使△CGH ∽△ABC，点G、均在格点上，且相似比不为1． (3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C． 【变式7-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6 正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要 求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点，B，重合． (1)在图1 中，作一个格点△≝¿，使得△≝¿与△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥DE； (2)在图2 中，作一个格点△PQR，使得△PQR与△ABC全等，且每条对应边都互相垂直． 注：图1，图2 在答题卷上． 【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1 个单位的格中， △ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（格线的交点）上． (1)作出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； (2)画出一个格点△EFC，使△EFC ∽△ABC（相似比不为1）． 题型08 证明三角形的对应线段成比例 【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形BD 中，E 为D 上一点，DE E ∶＝2 3 ∶，连接E、 BD，且E、BD 交于点F，则DF BF ∶ 等于（ ） ．2 5 ∶ B．2 3 ∶ ．3 5 ∶ D．3 2 ∶ 【变式8-1】（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形BD 中，点为边B 的中点，点G 为线段D 上一点， 且∠BG=90°，延长BG 交D 于点E，延长G 交D 于点F，当D=4，DE=1 时，则DF 的长为（ ） ．2 B．3 2 ．❑ √5 D．9 5 【变式8-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE 与对角线BD交于点F，且B E 2=EF ⋅EC． 求证： (1)△ABD∼△FCB； (2)BD⋅BE=AD⋅CE． 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 【例9】（2020·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上， 且BE=3 5 a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B '落在矩形ABCD的边上，则a的值为( ) ．5 3 B．3 5 ．5 3或 ❑ √5 3 D．3 5或 ❑ √5 3 【变式9-1】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E 分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A ' DE，且点A '落在BC边上，若△A ' DC恰好与 △ABC相似，AD的长为 ． 【变式9-2】（2020·河南平顶山·统考一模）如图所示，已知等边△B，边长为3，点M 为B 边上一点，且 BM=1，点为边上不与、重合的一个动点，连结M，以M 为对称轴，折叠△M，点的对应点为点P，当点 P 落在等边△B 的边上时，的长为 ． 【变式9-3】（2022·辽宁抚顺·统考一模）如图，在矩形BD 中，E 是B 的中点，F 是为射线D 上的一个动 点，将△EF 沿EF 折叠得到△EF，连接，分别交EF 和直线E 于点，M，已知∠B＝30 ∘，BC=2，若△EM 与△EF 相似，则F 的长为多少？ 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 【例10】（2023·河北邯郸·校考三模）在△ABC中，AH ⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动， 设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2 所示．Q (1，❑ √3)是函数图 象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（ ） ．2<x<4 B．1<x<3 ．1<x<4 D．3<x<5 【变式10-1】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90° , AC=3,BC=4，点P 为边AB上一动点，过点P 作直线l⊥AB，交折线ACB于点Q．设AP=x ,CQ= y，则y 关于x 的函数图 象大致是（ ） ． B． ． D． 【变式10-2】（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形ABCD中，动点E 从点出发，沿AB→BC方向 运动，当点E 到达点时停止运动，过点E 作FE⊥AE，交CD于点F，设点E 的运动路程为x，FC= y， 如图2 所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC上运动时，FC的最大长度是4 5 ，则矩形 ABCD的面积是（ ） ．20 B．16 ．6 ❑ √5 D．8 ❑ √5 【变式10-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校联考二模）如图，矩形BD 中，B＝4，B＝6，点P 从B 点出发， 沿B→→D 方向移动，连接DP，过P 作PQ⊥DP 交边B 于点Q，设点P 走的路程为x，线段BQ 的长度为 y，则y 与x 之间函数图象大致为（ ） ． B． ． D． 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 【例11】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB边上有一点D． (1)尺规作图：在AC上取一个点E，使得△ADE∽△ACB（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，若AD=3 cm，AC=6 cm，BC=5 cm，求DE的长度． 【变式11-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）已知△ABC． (1)在边AB上取一点P，使△APC ∽△ACB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若PB=AC，求PB AB 的值． 【变式11-2】（2023·广东广州·校考二模）在Rt △ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D 为边 BC的中点． (1)尺规作图，过点D 作DE⊥BC交边AC于点E； (2)求ED、EC的长； (3)点P 为射线AB上的一动点，点Q 为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°，若BP=2，求CQ的长． 题型12 三角板与相似三角形综合应用 【例12】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若 AB=3，CD=2，则AE CE 的值为（ ） ．2 B．3 2 ．1 2 D．2 3 【变式12-1】（2023·陕西渭南·统考一模）【问题情景】 含30°角的直角三角板ABC中∠A=30°．将其绕直角顶点顺时针旋转α 角(0°<α<90°)，得到 Rt △A ' B 'C，边A 'C与边B 交于点D． (1)如图1，若A ' B '边经过点B，则α 的度数为 °； (2)【探究发现】 如图2 是旋转过程的一个位置，过点D 作DE∥A ' B '交C B '边于点E，连接BE，小明发现在三角板旋转的 过程中，∠CBE度数是定值，求∠CBE的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，设BC=1，△BDE的面积为S，当S=1 3 S△ABC时， ①求AD的长； ②以点E 为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A 'C与⊙E的位置关系． 【变式12-2】（2022·吉林长春·校考模拟预测）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板 ABC绕点依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α ≤45°)得到△ABC '，如图所示． 试问： (1)当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC； (2)当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比； (3)连接BD，当0°<α ≤45°时，探寻∠DBC '+∠CA C '+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明． 【变式12-3】（2022·湖南永州·统考二模）如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量 角器的直径DE在同一条直线上，B=B=40m，D=20m． (1)如图①，当AC与量角器的半圆相切时，求AD的长； (2)如图②，当AB和DE重合时，求证：C F 2=CG⋅CE． 题型13 平移与相似三角形综合应用 【例13】（2023·河南南阳·统考二模）如图，三角形B 的顶点O (0,0)、A (6,0)、B (6,8)，是B 边的中点， 过点作CD⊥OB交x 轴于点D，将△OCD沿x 轴向右平移，当点的对应点恰好落在B 边上时，此时点D 对应点的坐标为（ ） ．( 34 3 ,0) B．( 25 3 ,0) ．( 25 4 ,0) D．( 17 2 ,0) 【变式13-1】（2022·山西晋城·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4． AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A ' B 'C '．A 'C '与BC相交于点E，连接B A '并延 长，与边AC相交于点F．当点E为A 'C '的中点时，A ' F的长为 ． 【变式13-2】（2023·广东深圳·校考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点C(2，0)， 点B( 13 2 ,0)，双曲线y= 16 5 x 经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到△A ' B 'C '，点A '在反比例函数 y= k x 上，边AC与边A ' B '相交于点D，若点D在A ' B '的三等分点（A ' D>B ' D），则k=¿ ． 【变式13-3】（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，正方形ABCD的边长是4，对角线AC的中点为O． △ACD沿AC方向平移得到△A 'C ' D '． (1)如图2，当点A '移动到点O时，点A '移动的距离是____