2016年高考数学试卷（文）（浙江）（解析卷）

2016年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（5分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3， 5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（ ） A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 【分析】先求出∁UP，再得出（∁UP）∪Q． 【解答】解：∁UP={2，4，6}， （∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}． 故选C． 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． 2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满 足m∥α，n⊥β，则（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l． 【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空 间思维能力的培养． 3．（5分）（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可． 【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2， ∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C； 由y=sinx2=0， 则x2=kπ，k≥0，则x=± ，k≥0， 故函数有无穷多个零点，排除B， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的 性质是解决本题的关键．比较基础． 4．（5分）（2016•浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为1的平行直 线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计 算距离． 【解答】解：作出平面区域如图所示： ∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距 离相等． 联立方程组 ，解得A（2，1）， 联立方程组 ，解得B（1，2）． 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为d= = ， 故选：B． 【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题． 5．（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜ 0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1 进行判断即可． 【解答】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0， b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即 （b﹣1）（b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的 数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的 最小值与f（x）的最小值相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最 小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断． 【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣ ． （1）若b＜0，则﹣＞﹣ ，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）= ﹣ ， 即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等． ∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件． （2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等， 则fmin（x）≤﹣，即﹣ ≤﹣，解得b≤0或b≥2． ∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件． 故选A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． 7．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x， x∈R．（ ） A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b 【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可． 【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|， 即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误， B．若f（a）≤2b， 则由条件知f（x）≥2x， 即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b， 则a≤b，故B正确， C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C 错误，D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定 成立，即a≥b不一定成立，故D错误， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是 解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上， 且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1， n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则 （ ） A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 【分析】设锐角的顶点为O，再 设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b 不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角 形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn= d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列 {Sn}为等差数列． 【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b， |AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d， 由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列， {dn 2}不一定是等差数列， 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn， 由三角形的相似可得 = = ， = = ， 两式相加可得， = =2， 即有hn+hn+2=2hn+1， 由Sn= d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1， 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn， 则数列{Sn}为等差数列． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性 质，考查化简整理的推理能力，属于中档题． 二、填空题 9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几 何体的表面积是 80 cm2，体积是 40 cm3． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方 体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2， 表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3； 上部为正方体，其棱长为2， 表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3； 所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2， 体积为32+8=40cm3． 故答案为：80；40． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了 空间想象和计算能力，是基础题． 10．（6分）（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示 圆，则圆心坐标是 （﹣2，﹣4） ，半径是 5 ． 【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求 得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆， 则答案可求． 【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆， ∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2． 当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0， 配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为 ，此时 ，方程不表 示圆， 故答案为：（﹣2，﹣4），5． 【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题． 11．（6分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则 A= ，b= 1 ． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答 案． 【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ （ cos2x+ sin2x）+1 = sin（2x+ ）+1， ∴A= ，b=1， 故答案为： ；1． 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握 公式是解题的关键． 12．（6分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f （a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ． 【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据 等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值． 【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1， ∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1） =x3+3x2﹣（a3+3a2） ∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b， 且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2， ∴ ，解得 或 （舍去）， 故答案为：﹣2；1． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档 题． 13．（4分）（2016•浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2，若点 P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ． 【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为 直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围． 【解答】解：如图， 由双曲线x2﹣ =1，得a2=1，b2=3，∴ ． 不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时， 把x=2代入x2﹣ =1，得y=±3，即|PF2|=3， 此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由PF1⊥PF2，得 ， 又|PF1|﹣|PF2|=2，① 两边平方得： ， ∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得： ， 此时|PF1|+|PF2|= ． ∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（ ）． 故答案为：（ ）． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义 的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3， CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与 BD′所成角的余弦的最大值是 ． 【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得 BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC= ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= ．CO= ，CE= = ，EO=CO﹣CE= ．过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则 EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩 形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为 θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出． 【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC， 在Rt△ACD′中， = ． 作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= = ． CO= ，CE= = = ， ∴EO=CO﹣CE= ． 过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线 AC与BD′所成的角． 则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO= ． EF=BO= = ． 则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ． 则D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1时取等号． ∴D′B的最小值= =2． ∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值= = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间 想象能力、推理能力与计算能力，属于难题． 15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量，，| |=1，| |=2， =1，若为平 面单位向量，则| |+| |的最大值是 ．【分析】由题意可知，| |+| |为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与 共线时，| |+| |取得最大值，即 ． 【解答】解：| |+| |= ， 其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和， 当与 共线时，取得最大值． ∴ = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概 念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题． 三、解答题 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B； （2）若cosB= ，求cosC的值． 【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由 A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明． （II）cosB= ，可得sinB= ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA= ．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出． 【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B． （II）解：cosB= ，∴sinB= = ． cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ，sinA= = ． ∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB= + × = ． 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系 式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4， an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an； （Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和． 【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证 明数列{an}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an； （Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列 {|an﹣n﹣2|}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*． ∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1， 解得a1=1，a2=3， 当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1， 两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an， 即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3， 满足an+1=3an， ∴ =3，则数列{an}是公比q=3的等比数列， 则通项公式an=3n﹣1． （Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2， 设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|， 则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1， 当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0， 则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2， 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+ ﹣ = ， 则Tn= = ． 【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方 程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中 使用了转化法和分组法进行数列求和． 18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面 ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值． 【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一 点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出 AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边 BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据 线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据 条件可以求出BF= ，DF= ，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出 cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示： ∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK； ∴BF⊥AC； 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2； ∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD； ∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC； ∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴ ； 又 ； ∴在Rt△BFD中， ，cos ； 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ． 【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中 线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义 及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义． 19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物 线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的 直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方 程，进一步求得p值； （Ⅱ）设出直线A