2017年高考数学试卷（文）（北京）（解析卷）

2017年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【考点】1F：补集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合． 【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R， ∴∁UA=[﹣2，2]， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的 取值范围是（ ） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】A1：虚数单位i、复数． 【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， 可得 ，解得a范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象 限，∴ ，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．2 B． C． D． 【考点】EF：程序框图． 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得 答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：，故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方法解答． 4．（5分）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值 即可． 【解答】解：x，y满足 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A （3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可 行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ） A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【专题】2A：探究型；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增 函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性 质的综合应用，难度不大，属于基础题． 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A．60 B．30 C．20 D．10 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积= =10． 故选：D． 【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了 推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑． 【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相 反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0， 而=λ 不成立．即可判断出结论． 【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向 相反，可得• ＜0． 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．∴， 为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测 宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是 （ ） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【考点】4G：指数式与对数式的互化． 【专题】11：计算题． 【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为 10为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173， ∴≈ =1093， 故选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T= ，考查指数 形式与对数形式的互化，属于简单题． 二、填空题 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关 于y轴对称，若sinα= ，则sinβ= ． 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转 化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求 出结果． 【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边 关于y轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z， ∵sinα= ， ∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα= ． 故答案为：． 【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想，是基础题． 10．（5分）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= 2 ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 [ ，1] ． 【考点】3V：二次函数的性质与图象． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0， 1]， 则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x= ，开口向上， 所以函数的最小值为：f（）= = ． 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1． 则x2+y2的取值范围是：[ ，1]． 故答案为：[ ，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 • 的最大值为 6 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5A：平面向量及应用；5B：直 线与圆． 【分析】设P（cosα，sinα）．可得 =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．利用 数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）． 则 • =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6． 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方 程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题 的一组整数a，b，c的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3 ． 【考点】FC：反证法． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑． 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞ c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条 件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为 12 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；5L：简易逻辑；5M：推理和证明． 【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则 ，进而 可得答案； ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则 ，进而可得答案； 【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为4，则 ，即4＜y＜x＜8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6． ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则 ，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档． 三、解答题 15．（13分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10， b2b4=a5． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1． 【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式； （Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可． 【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解 得d=2， 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或 ﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）． ∴q2=3， {b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1． b1+b3+b5+…+b2n﹣1= = ． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求 解，考查计算能力． 16．（13分）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣． 【考点】GA：三角函数线；GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的 周期性． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值； 57：三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin （2x+ ），根据周期的定义即可求出， （Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx， = （co2x+ sin2x）﹣sin2x， = cos2x+ sin2x， =sin（2x+ ）， ∴T= =π， ∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]， ∴2x+ ∈[﹣ ， ]， ∴﹣≤sin（2x+ ）≤1， ∴f（x）≥﹣ 【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性 质，属于基础题 17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比 例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将 数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分 布直方图： （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一 人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50） 内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女 生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11：计算题；27：图表型；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据频率= 组距× 高，可得分数小于70 的概率为：1 ﹣ （0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数 在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女 生人数相等．进而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70 的频率为：1 ﹣ （0.04+0.02）×10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05， 则分数在区间[40 ，50 ）内的频率为：1 ﹣（0.04+0.02+0.02+0.01 ）×10 ﹣ 0.05=0.05， 估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人， （Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为：0.6， 即女生的频率为：0.4， 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大， 属于基础题． 18 ．（14 分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA⊥AB ，PA⊥BC ，AB⊥BC ， PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD； （2）求证：平面BDE⊥平面PAC； （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平 面垂直． 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可 得证； （2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判 定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用 面面垂直的性质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及 DE⊥ 平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求 值． 【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD⊂平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC=AC， BD⊂平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE= PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC= ×1×1= ． 【点评】 本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关 系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面 面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想 象能力和推理能力，属于中档题． 19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x 轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作 AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合． 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得 c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角 形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为 4：5． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞ 0）， 则a=2，e= = ，则c= ， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆C的方程 ；