2017年高考数学试卷（文）（天津）（解析卷）

2017年天津市高考数学试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B） ∩C=（ ） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、 紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩 笔的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输 出N的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的 渐近线上，△ OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f （log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ） A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣ C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= 8．（5分）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ． 10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切 线为l，则l在y轴上的截距为 ． 11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面 积为18，则这个球的体积为 ． 12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的 圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ． 13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ． 14 ．（5 分）在△ABC 中，∠A=60° ，AB=3 ，AC=2 ．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值． 16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广 告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收 视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分 钟） 广告播放时长（分 钟） 收视人次 （万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总 播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最 多？ 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB， AD=1，BC=3，CD=4，PD=2． （Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn （n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣ 2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）． 19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=exf（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范 围． 20．（14分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点 为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ． （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴 上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程． 2017年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2017•天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， 则（A∪B）∩C=（ ） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． 【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B． 【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交 集和交集定义的合理运用． 2．（5分）（2017•天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可． 【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2， 由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1， 得0≤x≤2． 则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件 的定义以及不等式的性质是解决本题的关键． 3．（5分）（2017•天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、 黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔 中含有红色彩笔的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔 包含的基本事件个数m= =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的 概率． 【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、 紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n= =10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ． 故选：C． 【点评】 本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和 推理论证能力，是基础题． 4．（5分）（2017•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的 值为19，则输出N的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立， 第二次N=18，18能被3整除，N= =6，N=6≤3不成立， 第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立， 输出N=2， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决 本题的关键． 5．（5分）（2017•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F， 点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双 曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后 等到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐 近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2， ，即 ， ， 解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 6．（5分）（2017•天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的 大小． 【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数， ∴a=﹣f（ ）=f（log25）， b=f（log24.1）， c=f（20.8）， 又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25）， 即c＜b＜a． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题． 7．（5分）（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ| ＜π．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则 （ ） A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣ C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= 【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值． 【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ， 又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ， ∴T=3π，则 ，即 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ）， 由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1． ∴φ+ = ，k∈Z． 取k=0，得φ= ＜π． ∴ ，φ= ． 故选：A． 【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函 数的性质，是中档题． 8．（5分）（2017•天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不 等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| +a|，分析g（x）的图 象特点，将不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x） 上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范 围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如 图： 令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数， 若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交， 则必有f（0）≥g（0）， 即2≥|a|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A． 【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f （x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）（2017•天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值 为 ﹣2 ． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的 条件：虚部为0，解方程即可得到所求值． 【解答】解：a∈R，i为虚数单位， = = = ﹣ i由 为实数， 可得﹣ =0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数 的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题． 10．（5分）（2017•天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f （1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 1 ． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线 方程，推出l在y轴上的截距． 【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1） =a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 11．（5分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个 正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的 体积公式进行计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a2=18， 则a2=3，即a= ， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R， 即R= ， 则球的体积V= π•（）3= ； 故答案为： ． 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直 径，结合球的体积公式是解决本题的关键． 12．（5分）（2017•天津）设抛物线y2 =4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于 点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 （x+1）2+ =1 ． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA 的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程． 【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上， 以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如 图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物 线的简单几何性质，属于中档题． 13．（5分）（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 4 ． 【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式 等号成立的条件是什么． 【方法二】将 拆成 + ，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 【解法二】a，b∈R，ab＞0， ∴ = + + + ≥4 =4， 当且仅当 ，即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 14．（5分）（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ， 再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值． 【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ）•（λ ﹣ ） =（λ﹣） • ﹣ + λ =（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1，解得λ= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问 题，是中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． 15．（13分）（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c．已知asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由 ，得 ，代入余弦定理的推论可求cosA的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利 用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值． 【解答】（Ⅰ）解：由 ，得asinB=bsinA， 又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA， 两式作比得： ，∴a=2b． 由 ，得 ， 由余弦定理，得 ； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入asinA=4bsinB，得 ． 由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角， ∴ ． 于是 ， ， 故 ． 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应 用，是中档题． 16．（13分）（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧 时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广 告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分 钟） 广告播放时长（分 钟） 收视人次 （万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总 播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最 多？ 【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可 画出二元一次不等式所表示的平面区域； （Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合 得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 ，即 ． 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为 z=60x+25y． 考虑z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随z变化的一族平行 直线． 为直线在y轴上的截距，当 取得最大值时，z的值最大． 又∵x，y满足约束条件， ∴由图可