2016年高考数学试卷（文）（北京）（解析卷）

2016年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ） A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合． 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定 义的合理运用． 2．（5分）复数 =（ ） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案． 【解答】解： = = =i， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难 度不大，属于基础题． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ） A．8 B．9 C．27 D．36 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1， 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2， 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为9， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时， 可采用模拟程序法进行解答． 4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ） A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x 【考点】3E：函数单调性的性质与判断． 【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据 函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个 选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴ 增大； ∴函数 在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误； C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函 数，即该选项错误； D. ； ∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选：D． 【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦 函数和指数函数的单调性，指数式的运算． 5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ） A．1 B．2 C． D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J1：圆的标准方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式 求解． 【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d= = ． 故选：C． 【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用． 6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 （ ）A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】5I：概率与统计． 【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲 被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人， 基本事件总数n= =10， 甲被选中包含的基本事件的个数m= =4， ∴甲被选中的概率p= = = ． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事 件概率计算公式的合理运用． 7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（ ） A．﹣1 B．3 C．7 D．8 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等 式． 【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可． 【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关 键． 8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛 两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳 远 （单 位： 米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳 绳 （单 位： 次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒 跳绳决赛的有6人，则（ ） A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5M：推理和证明． 【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立 定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结 论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人， 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人， 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛， 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进 入30秒跳绳决赛， 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑 推理过程，是解答的关键． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）已知向量=（1， ），=（ ，1），则与夹角的大小为 ． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】11：计算题；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵向量=（1， ），=（ ，1）， ∴与夹角θ满足： cosθ= = = ， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角 公式，是解答的关键． 10．（5分）函数f（x）= （x≥2）的最大值为 2 ． 【考点】34：函数的值域． 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函 数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大 值． 【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数 的单调性，根据函数单调性求最值的方法． 11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ． 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱 柱，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四 棱柱， 棱柱的底面面积S= ×（1+2）×1= ， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V= ， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视 图，判断几何体的形状是解答的关键． 12．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个 焦点为（ ，0），则a= 1 ，b= 2 ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ，0），列出方程 组，由此能出a，b． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦 点为（ ，0）， ∴ ， 解得a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意双曲线的性质的合理运用． 13．（5分）在△ABC中，∠A= ，a= c，则= 1 ． 【考点】HP：正弦定理． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形． 【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求 解比值即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A= ，a= c， 由正弦定理可得： ， = ，sinC= ，C= ，则B= = ． 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c， 则=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力． 14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商 品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种； ②这三天售出的商品最少有 29 种． 【考点】^7：容斥原理；18：集合的包含关系判断及应用． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合． 【分析】①由题意画出图形得答案；② 求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数． 【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天售出商品的种类集为C， 如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，第三天售出但第二天未售 出的商品有18﹣4=14种，当这14种 商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的 商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29． 【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元 素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 三、解答题（共6小题，满分80分） 15．（13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1， a14=b4． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用 通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式； （2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数 列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列， 由b2=3，b3=9，可得q= =3， bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1； 即有a1=b1=1，a14=b4=27， 则d= =2，则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1， 则数列{cn}的前n项和为 （1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+ =n2+ ． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考 查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题． 16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为 π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 【考点】H1：三角函数的周期性；HM：复合三角函数的单调性． 【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；57：三角函数的图像 与性质． 【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω 的值； （2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增 区间． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx= = ． 由T= ，得ω=1； （2）由（1）得，f（x）= ． 再由 ，得 ． ∴f（x）的单调递增区间为[ ]（k∈Z）． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正 弦，属中档题． 17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米 的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市 随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频 率分布直方图： （1）如果w为整数，那么根据此次调查， 为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市 居民该月的人均水费． 【考点】B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量 在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2， 2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的 频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为 0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定 为3立方米． （2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： 用水量在[0.5，1）的频率为0.1， 用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2， 用水量在[2，2.5）的频率为0.25， 用水量在[2.5，3）的频率为0.15， 用水量在[3，3.5）的频率为0.05， 用水量在[3.5，4）的频率为0.05， 用水量在[4，4.5）的频率为0.05， ∵用水量小于等于3立方米的频率为85%， ∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米， ∴w至少定为3立方米． （2）当w=3时，该市居民的人均水费为： （ 0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3 ） ×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10. 5， ∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人 均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图 的合理运用． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理 由． 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平 面与平面之间的位置关系． 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5Q：立体几何． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC； （2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面 PAC； （3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明． 【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC； （3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA， ∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF， ∴PA∥平面CEF． 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查 学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19．（14分）已知椭圆C： + =1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求 椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴 交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合． 【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ，则椭圆C的方程可 求，离心率为e= ； （2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得 |AN|，|BM|．由 ，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定 值2． 【解答】（1）解：∵椭圆C： + =1过点A（2，0），B（0，1）两点， ∴a=2，b=1，则 ， ∴椭圆C的方程为 ，离心率为e= ； （2）证明：如图， 设P（x0，y0），则 ，PA所在直线方程为y= ， 取x=0，得 ； ，PB所在直线方程为 ， 取y=0，得 ． ∴|AN|= ，|BM|=1﹣ ． ∴ = =﹣ = = = ． ∴四边形ABNM的面积为定值2． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单 性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题． 20．（1