模型02 飞镖、8字模型（解析版）

模型一：飞镖模型 （1）角的飞镖模型 结论： 解答：①方法一：延长 交 于点 得证 ②方法二：延长 交 于点 得证 ③方法三：延长 到在其延长方向上任取一点为点 得证 总结：利用三角形外角的性质证明 （2）边的飞镖模型 结论： 解答：延长 交 于点 +三角形三边关系+同号不等式 大的放左边，小的放在右边得证 模型二：8 在模型 （1）角的8 字模型 结论： 解答： 模型介绍 飞镖模型和8 字模型 大 招 ①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角 的性质得证 总结：①利用三角形内角和等于 证明 推出 ②利用三角形外角的性质证明 （2）边的8 字模型 结论： 解答：三角形三边关系+同号不等式得证 总结： ①三角形两边之和大于第三边 考点一：飞镖模型 【例1】．如图，∠＝70°，∠B＝40°，∠＝20°，则∠B=_______ 解：延长B，交于点D， ∵∠B＝∠+∠D，∠D＝∠+∠B，∠＝70°，∠B＝40°，∠＝20°， ∴∠B＝∠+∠+∠B ＝20°+70°+40° ＝130°． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，∠BD、∠D 的角平分线交于点P，若∠＝55°，∠D＝15°，则∠P 的 度数为（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 解：如图，延长P 交BD 于E， ∵∠BD，∠D 的角平分线交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由三角形的内角和定理得，∠+∠1＝∠P+∠3①， 在△PBE 中，∠5＝∠2+∠P， 在△DE 中，∠5＝∠4 ∠ ﹣ D， ∴∠2+∠P＝∠4 ∠ ﹣ D②， ① ② ﹣ 得，∠﹣∠P＝∠P+∠D， ∴∠P＝ （∠﹣∠D）， ∵∠＝55°，∠D＝15°， ∴∠P＝ （55° 15° ﹣ ）＝20°． 故选：B． 【变式1-2】．在△B 中，∠B 与∠B 的平分线交于点，∠B+∠B＝100°，则∠B 的度数为（ ） ．80° B．50° ．100° D．130° 解（1）∵∠B 与∠B 的平分线交于点， ∴∠B＝ ∠B， ∠B＝ ∠B， ∴∠B＝180° ∠ ﹣ B ∠ ﹣ B＝180°﹣ 100°＝130°；故选：D． 【变式1-3】．如图，已知∠BF＝120°，则∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数． 解：如图， 根据三角形的外角性质，∠1＝∠+∠，∠2＝∠B+∠D， ∵∠BF＝120°， ∴∠3＝180° 120° ﹣ ＝60°， 根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180° 60° ﹣ ＝120°， ∠F+∠2＝180° 60° ﹣ ＝120°， 所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°， 即∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝240°． 【变式1-4】．如图所示，已知P 是△B 内一点，试说明P +PB +P＞ （B +B +）． 证明：在△BP 中：P +BP＞B． 同理：BP +P＞B，P +P＞． 以上三式分别相加得到： 2（P +PB +P）＞B +B +，即P+PB+P＞ （B +B +）． 考点二：8 字模型 【例2】．如图，∠1＝60°，则∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ 解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠+∠E，∠2＝∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°， ∴∠2+∠3＝120°， 即：∠+∠E+∠F+∠D＝120°， ∵∠B+∠＝120°， ∴∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝240°． 变式训练 【变式2-1】．如图，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ 360 °． 解：在△E 中：∠+∠+∠E＝180°， 在△BDF 中：∠B+∠D+∠F＝180°， 则：∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝360°，故答为：360． 【变式2-2 】．如图，，B ，，D ，E ，F 是平面上的6 个点，则∠+ ∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数是 360 度． 解：延长FE 交B 于M，设FE 交D 于， ∵∠E＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠， 又∵∠+∠B+∠E+∠FMB＝360°， ∴∠+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠＝360°， 即∠+∠B+∠+∠D+∠DEF+∠F＝360°， 故答为：360． 【变式2-3】．如图，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ 360 °． 解：∵∠1＝∠+∠B，∠2＝∠ +∠D， 又∵∠1+∠2+∠E +∠F＝360° ∴∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝360°．故答为：360． 【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜 边上，边B 与DF 交于点，则∠BD 的度数是 105° ． 解：△F 中，∵∠F＝45°，∠F＝30°， ∴∠F＝180° ∠ ﹣ F ∠ ﹣ F＝180° 45° 30° ﹣ ﹣ ＝105°， ∵∠F＝∠BD， ∴∠BD＝105°，故答为：105°． 1．如图，已知B⊥BD，⊥D，∠＝35°，则∠D 的度数为（ ） ．35° B．45° ．55° D．65° 解：因为∠EB 与∠DE 是一组对顶角， 所以∠EB＝∠DE． 在△B 中B⊥BD，∠＝35°， 所以∠EB＝65°． 在△D 中⊥D，∠DE＝65°，所以∠D＝35°．故选：． 2．如图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E 的度数为（ ） 实战演练 ．120° B．150° ．180° D．200° 解：如图可知： 4 ∠是三角形的外角， 4 ∠＝∠+ 2 ∠， 同理∠2 也是三角形的外角， 2 ∴∠＝∠E+∠， 在△BDG 中，∵∠B+∠D+ 4 ∠＝180°， ∴∠B+∠E+ + ∠∠D+∠＝180°．故选：． 3．如图，在△B 中，M，分别是边B，B 上的点，将△BM 沿M 折叠；使点B 落在点B'处， 若∠B＝35°，∠BM＝28°，则∠MB'的度数为（ ） ．30° B．37° ．54° D．63° 解：∵△BM 沿M 折叠，使点B 落在点B'处， ∴△BM≌△B'M， ∴∠BM＝∠B'M， ∵∠B＝35°，∠BM＝28°， ∴∠BM＝180° 35° 28° ﹣ ﹣ ＝117°，∠M＝35°+28°＝63°， ∴∠MB'＝∠B'M﹣∠M＝117° 63° ﹣ ＝54°，故选：． 4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成 的角为65°，则图中角α 的度数为 140° ． 解：如图， ∵∠B＝30°，∠DB＝65°， ∴∠DFB＝∠B+∠DB＝30°+65°＝95°， ∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答为：140°． 5 已知如图，BQ 平分∠BP，Q 平分∠P，∠B＝α，∠BP＝β，则∠BQ＝ （ α + β ） ． （用α，β 表示） 解：连接B， ∵BQ 平分∠BP，Q 平分∠P， 3 ∴∠＝ BP，∠4＝ P， 1+ 2 ∵∠ ∠＝180°﹣β，2（∠3+ 4 ∠）+（∠1+ 2 ∠）＝180°﹣α， 3+ 4 ∴∠ ∠＝ （β﹣α）， ∵∠BQ＝180°﹣（∠1+ 2 ∠）﹣（∠3+ 4 ∠）＝180°﹣（180°﹣β）﹣ （β﹣α）， 即：∠BQ＝ （α+β）． 故答为： （α+β）． 6．如图，则∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠＝ 540 度． 解：如图，连接， 由三角形的内角和定理得，∠+∠B＝∠1+ 2 ∠， 由多边形的内角和公式得，∠1+ 2+ + ∠ ∠∠D+∠E+∠F+∠＝（5 2 ﹣）•180°＝540°， 所以，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠＝540°． 故答为：540． 7．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F＝ 230° ． 解：∵∠1＝∠+∠B，∠2＝∠D+∠E， 又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠＝115°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F＝115°+115°＝230°． 故答为：230°． 8．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + + ∠∠∠K 的度数为 解：连KF，G，如图， 7 ∵边形BDEFK 的内角和＝（7 2 ﹣）×180°＝900°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+ 2 ∠）， 即∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+ 2 ∠）＝900°， 1+ 2 ∵∠ ∠＝∠3+ 4 ∠，∠5+ 6+ ∠ ∠＝180°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+ 4 ∠）＝900°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+ 4 ∠）+ 5+ 6+ ∠ ∠ ∠＝900°+180°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + + ∠∠∠K＝1080°．故选：． 9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），E 与BD 的交点为，且∠，∠B，∠E 保持不变． 为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D 应 减少 （填“增加”或 “减少”） 10 度． 解：连接F，并延长至点M，如图所示． 在△B 中，∠＝50°，∠B＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠﹣∠B＝180° 50° 60° ﹣ ﹣ ＝70°， ∴∠DE＝∠B＝70°． ∵∠DFM＝∠DF+∠D，∠EFM＝∠EF+∠E， ∴∠EFD＝∠DF+∠EF+∠D+∠E＝∠DE+∠D+∠E， 即110°＝70°+∠D+30°， ∴∠D＝10°， 20° 10° ∴ ﹣ ＝10°， ∴图中∠D 应减少（填“增加”或“减少”）10 度． 故答为：减少；10． 10．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠的值． 解：如图所示，分别延长B、交EF 于点M、， 由三角形的外角的性质可知： + ∠∠D＝∠1， ∠G+∠＝∠2， 4 ∠＝∠1+∠B＝∠+∠D+∠B， 3 ∠＝∠2+∠F＝∠G+ + ∠∠F， 3+ 4 ∴∠ ∠＝∠5+∠M+ 5+ ∠ ∠M＝180°+ 5 ∠， 5 ∵∠＝∠6＝360°﹣∠﹣∠B﹣∠， + ∴∠∠D+∠B+∠G+ + ∠∠F＝180°+360°﹣∠﹣∠B﹣∠， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠＝180°+360°＝540° 11．如图，已知B∥DE，∠B、∠ED 的平分线交于点F．探究∠BFE 与∠BE 之间的数量关系， 并证明你的结论． 解：过点作直线M∥B， ∵B∥DE，M∥B， ∴M∥DE， ∴∠DE＝∠E， ∵B∥DE， ∴∠B＝∠B， ∴∠BE＝∠B+∠DE， 同理∠BFE＝∠BF+∠DEF， ∵∠B、∠ED 的平分线交于点F， ∴∠B＝2∠BF，∠DE＝2∠DEF， ∴∠BE＝2∠BF+2∠DEF＝2∠BFE． 12．如图，DP 平分∠D，PB 平分∠B，求证：∠P＝ （∠+∠） 证明：如右图所示， ∵∠MP＝∠+∠DP＝∠P+∠BP，∠P＝∠P+∠DP＝∠+∠BP， ∴∠P+∠BP+∠P+∠DP＝∠+∠DP+ + ∠∠BP， 又∵DP、BP 是∠D、∠B 的角平分线， ∴∠DP＝∠DP，∠BP＝∠BP， 2 ∴∠P＝∠+∠， ∴∠P＝ （∠+∠）． 13．如图，在四边形BD 中，M、M 分别平分∠DB 和∠DB，M 与M 交于M．探究∠M 与 ∠B、∠D 间的数量关系． 解：∠M＝180°﹣ ∠B+ ∠D，理由如下： ∵M、M 分别平分∠DB 和∠DB， ∴∠BD＝2∠BM，∠BD＝2∠BM， ∵∠BD+∠B+∠BD+∠d＝360°， ∴∠BM+∠BM+ ∠B+ ∠D＝180°， ∴∠BM+∠BM＝180°﹣ ∠B﹣ ∠D， ∵∠B+∠M+∠BM+∠BM＝∠B+∠M+180°﹣ ∠B﹣ ∠D＝360°， ∴∠M＝360°﹣（180°﹣ ∠B﹣ ∠D）﹣∠B＝180°﹣ ∠B+ ∠D． 14．（1）探究：如图1，求证：∠B＝∠+∠B+∠． （2）应用：如图2，∠B＝100°，∠DEF＝130°，求∠+ + ∠∠D+∠F 的度数． 解：（1）作射线， 3 ∵∠是△B 的外角， 1+ ∴∠ ∠B＝∠3，① 4 ∵∠是△的外角， 2+ ∴∠ ∠＝∠4，② ①+②得，∠1+∠B+ 2+ ∠ ∠＝∠3+ 4 ∠， 即∠B＝∠+∠B+∠； （2）连接D，同（1）可得，∠F+ 2+ 3 ∠ ∠＝∠DEF③，∠1+ 4+ ∠ ∠＝∠B④， ③+④得，∠F+ 2+ 3+ 1+ 4+ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠＝∠DEF+∠B＝130°+100°＝230°， 即∠BF+ + ∠∠DE+∠F＝230°． 15．如图1，已知线段B、D 相交于点，连接、BD，我们把形如图1 的图形称之为“8 字形 “．如图2，∠B 和∠BD 的平分线P 和DP 相交于点P，并且与D、B 分别相交于点 M、．试解答下列问题： ①仔细观察，在图2 中有 3 个以线段为边的“8 字形”； ②若∠B＝76°，∠＝80°，试求∠P 的度数； ③∠和∠B 为任意角时P、DP 分别是∠B、∠BD 的三等分线，写出∠P 与∠、∠B 之间数量 关系，并说明理由． 解：①3； 故答为3． ②证明：∵∠B 和∠BD 的平分线P 和DP 相交于点P， ∴∠P＝∠BP，∠BDP＝∠DP， ∵∠P+∠＝∠DP+∠P，∠BP+∠P＝∠BDP+∠B， ∴∠ ∠ ﹣ P＝∠P﹣∠B， 即∠P＝ （∠+∠B）， ∵∠＝80°，∠B＝76°， ∴∠P＝ （80°+76°）＝78°； ③∠P＝ （2 + ∠∠B）或∠P＝ （∠+2∠B）． 证明：设∠B＝3α，∠BD＝3β， ）如图3，∠P：∠BP＝∠DP：∠BDP＝2：1， ∴∠P＝2α，∠BP＝α，∠BDP＝β，∠DP＝2β， ∵∠P+∠＝∠DP+∠P，∠BP+∠P＝∠BDP+∠B， ∴∠ ∠ ﹣ P＝2β 2 ﹣α，∠P﹣∠B＝β﹣α， ∴∠ ∠ ﹣ P＝2∠P 2 ﹣∠B， ∴∠P＝ （∠+2∠B）， ）如图4，∠P：∠BP＝∠DP：∠BDP＝1：2， ∴∠P＝α，∠BP＝2α，∠BDP＝2β，∠DP＝β， ∵∠P+∠＝∠DP+∠P，∠BP+∠P＝∠BDP+∠B， ∴∠ ∠ ﹣ P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β 2 ﹣α， 2 ∴（∠﹣∠P）＝∠P﹣∠B， ∴∠P＝ （2 + ∠∠B）， 16．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系为 ∠ +∠ B ＝ ∠ +∠ D ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数为 25° ； 探索三：如图3，P、G 分别平分∠BE、∠FD，G 反向延长线交P 于点P，则∠P、∠B、 ∠D 之间的数量关系为 ∠ P ＝ ． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、，交于点，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＞ 180°，四边形的内角∠MB 与外角∠D 的角平分线BP，P 相交于点P，则∠＝ α + β ﹣ 180° （用含有α 和β 的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α 和β 的 代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MB 与外角∠D 的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α 和β 的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠＝x，∠B＝y，∠P＝ ∠B，∠DP＝ ∠DB，试问∠P 与∠、∠B 之 间的数量关系为 ∠ P ＝ ．（用x、y 表示∠P） 拓展二：如图7，P 平分∠BD，P 平分∠BD 的邻补角∠BE，猜想∠P 与∠B、∠D 的关系， 直接写出结论 2∠ P ﹣∠ B ﹣∠ D ＝ 180° ． 解：探索一：如图1，∵∠B+ + ∠∠B＝∠D+ + ∠∠D＝180°，∠B＝∠D， + ∴∠∠B＝∠+∠D， 故答为∠+∠B＝∠+∠D； 探索二：如图2，∵P、P 分别平分∠BD、∠BD， 1 ∴∠＝∠2，∠3＝∠4， 由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， 即2∠P＝∠B+∠D， ∵∠B＝36°，∠D＝14°， ∴∠P＝25°， 故答为25°； 探索三：由①∠D+2 1 ∠＝∠B+2 3 ∠， 由②2∠B+2 3 ∠＝2∠P+2 1 ∠， ①+②得：∠D+2∠B+2 1+2 3 ∠ ∠＝∠B+2 3+2 ∠ ∠P+2 1 ∠ ∠D+2∠B＝2∠P+∠B． ∴∠P＝ ． 故答为：∠P＝ ． 应用一：如图4，由题意知延长BM、，交于点， ∵∠M＝α，∠＝β，α+β＞180°， ∴∠M＝180°﹣α，∠M＝180°﹣β， ∴∠＝180°﹣（∠M+∠M）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β 180° ﹣ ； ∵BP、P 分别平分∠B、∠B， ∴∠PB＝ ∠B，∠PD＝ ∠D， ∵∠PD＝∠P+∠PB， ∴∠P＝∠PD﹣∠PB＝ （∠D﹣∠B）＝ ∠＝ ， 故答为：α+β 180° ﹣ ， ； 应用二：如图5，延长MB、，交于点，设T 是B 的延长线上一点，R 是B 延长线上一点， ∵∠M＝α，∠＝β，α+β＜180°， ∴∠＝180°﹣α﹣β， ∵BP 平分∠MB，P 平分∠R， ∴BP 平分∠BT，P 平分∠B， 由应用一得：∠P＝ ∠＝ ， 故答为： ； 拓展一：如图6，由探索一可得： ∠P+∠PB＝∠B+∠PDB，∠P+∠DP＝∠+∠P，∠B+∠DB＝∠+∠B， ∵∠＝x，∠B＝y，∠P＝ ∠B，∠DP＝ ∠DB， ∴∠DB﹣∠B＝∠﹣∠B＝x﹣y， ∠PB＝ ∠B，∠PDB＝ ∠DB， ∴∠P+ ∠B＝∠B+ ∠DB，∠P+ ∠DB＝∠+ ∠B， 2 ∴∠P＝∠+∠B+ （∠DB﹣∠B）＝x+y+ （x﹣y）＝ ， ∴∠P＝ ， 故答为：∠P＝ ； 拓展二：如图7， ∵P 平分∠BD，P 平分∠BD 的邻补角∠BE， ∴∠PD＝ ∠BD，∠PD＝90°+ ∠BD， 由探索一得：①∠B+