专题18.9 平行四边形中常见的四种思想方法专项训练（30道）（解析版）

专题189 平行四边形中常见的四种思想方法 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常 见的四种思想方法的理解！ 【类型1 整体思想】 1（2021 秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形BD 中，点E 在边D 上，若 点关于BE 的对称点A '落在D 上，△DEA '的周长为8，△CBA '的周长为18，则A ' C的 长为__________ 【答】 5 【解析】由折叠的性质得，EA '=AE，BA '=AB. ∵四边形BD 是平行四边形， ∴AD=BC，AB=DC . ∵△A ' DE的周长为8，即DA '+DE+EA '=8， ∴DA '+DE+ AE=8，即DA '+ AD=8. ∵△A ' CB的周长为18，即A ' C+BC+BA '=18， ∴A ' C+ AD+DC=18，即2 A ' C+ AD+DA '=18. ∴2 A ' C+8=18， ∴A ' C=5 2（2022 秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形BD 的周长为40，面 积为80，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线B、D 的垂线段PE、PF，则PE+PF等 于__________ 【答】 8 1 【解析】 解析：∵菱形BD 的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40.∵ 分别作P 点到直线B、D 的垂线段PE、PF，∴1 2 × AB× PE+ 1 2 × PF × AD=40， ∴1 2 ×10( PE+PF )=40，∴PE+PF=8. 3 （2022 春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠B＝45°，B＝2，B＝2❑ √2，点P 为B 上一 动点，Q∥B，Q∥P，Q 、Q 交于点Q，则四边形PQ 的形状是______，连接PQ，当PQ 取得 最小值时，四边形PQ 的周长为_____． 【答】 平行四边形 ❑ √2+❑ √10##❑ √10+❑ √2 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ 是Q 和B 间距离 时PQ 取得最小值，计算四边形PQ 的周长即可． 【详解】解：如图，∵Q∥B，Q∥P， ∴四边形PQ 是平行四边形． 当PQ⊥B 时，PQ 取得最小值， ∵四边形PQ 是平行四边形， == ∴ 1 2，Q=P=1 2PQ， ∵∠B=45°，B=2，B=2❑ √2， =2 ∴ ，∠B=45°， ∵QP⊥B， ∴∠P=45°， ∴P=P= ❑ √2 2 ， ∴PQ=❑ √2， ∴Q=❑ √PC 2+PQ 2= ❑ √( ❑ √2 2 ) 2 +(❑ √2) 2= ❑ √10 2 ， ∴四边形PQ 的周长为：2P+2Q=2× ❑ √2 2 +2× ❑ √10 2 =❑ √2+❑ √10， 故答为：平行四边形；❑ √2+❑ √10． 1 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综 合性较强． 4（2022 春·河南南阳·八年级统考期末）在▱BD 中，点E 为B 边的中点，连接E，将△BE 沿着E 翻折，点B 落在点G 处，连接G 并延长，交D 于F． (1)求证：四边形EF 是平行四边形； (2)若F＝5，△GE 的周长为20，求四边形BF 的周长． 【答】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AE∥FC，根据折叠及已知条件得出E＝GE， 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明∠FE＝∠EB，再根据平行线的判定得出 AF ∥EC，即可证明结论； （2）由折叠的性质得：GE＝BE，G＝B，根据△GE 的周长为20，得出GE＋E＋G＝20， 即可得出BE＋E＋B＝20，再根据平行四边形的性质求出F＝E，E＝F＝5，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形BD 是平行四边形， ∴AE∥FC， ∵点E 是B 边的中点， ∴E＝BE， ∵将△BE 沿着E 翻折，点B 落在点G 处， ∴BE＝GE，∠EB＝∠EG， ∴E＝GE， ∴∠FE＝∠GE， ∵∠EB＝∠EG＝ ∠BEG，∠BEG＝∠FE＋∠GE， ∴∠FE＝ ∠BEG， 1 ∴∠FE＝∠EB， ∴AF ∥EC， ∴四边形EF 是平行四边形． （2）解：由折叠的性质得：GE＝BE，G＝B， ∵△GE 的周长为20， ∴GE＋E＋G＝20， ∴BE＋E＋B＝20， ∵四边形EF 是平行四边形， ∴F＝E，E＝F＝5， ∴四边形BF 的周长＝B＋B＋F＋F＝E＋BE＋B＋E＋F＝5＋20＋5＝30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性 质，熟练掌握平行四边形的性质和判定，是解题的关键． 5（2022 秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形BD 中，D＞B，点E、F 分别在边D、B 上，且E＝F，连接BE、DF． (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)若平行四边形BD 的周长为26，面积为18❑ √3，且∠＝60°，当BE 平分∠B 时，则四边形 BEDF 的周长为____． 【答】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得D∥B，D=B，从而可得DE=BF，然后利用平行 四边形的判定方法，即可解答； （2）过点B 作BM⊥D，垂足为M，根据平行四边形的周长和面积可得方程组，根据含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理得出MB=❑ √3 AM=¿ ❑ √3 2 B，进而可得¿，解方程组 即可求得AD , AB，然后证明△BE 是等边三角形，从而求出BE 的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）（1）证明：∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B，D=B， ∵E=F， 1 ∴D-E=B-F， ∴DE=BF， ∴四边形BEDF 是平行四边形； （2）过点B 作BM⊥D，垂足为M， ∵平行四边形BD 的周长为26，面积为18 ❑ √3， ∴¿， 在Rt△BM 中，∠=60°， ∴∠ABM=30° ∴2 AM=AB ∴MB=❑ √3 AM=¿ ❑ √3 2 B ∴¿， 化简得：¿， 解得：¿或¿， ∵D＞B， ∴D=9，B=4， ∵BE 平分∠B， ∴∠BE=∠EB， ∵D∥B， ∴∠EB=∠EB， ∴∠BE=∠EB， ∴E=B=4， ∴DE=D-E=9-4=5， =60° ∵∠ ， ∴△BE 是等边三角形， ∴BE=B=4， ∴四边形BEDF 的周长=2（BE+DE）=18， 故答为：18． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行 1 四边形的判定与性质是解题的关键． 6（2021 秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△D 和△B 关于点中心对称，∠D＝60°， △D＝90°，BD＝12，P 是上一动点，Q 是上一动点（点P，Q 不与端点重合），且P＝Q． 连接BQ，DP，则DP+BQ 的最小值是_______． 【答】12 【分析】由中心对称的性质可得B＝D＝6，＝，可证四边形BD 是平行四边形，由直角三 角形的性质可得＝2D＝12，当P＝P 时，DP+BQ 的值最小，此时P 为的中点，由直角三角 形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果． 【详解】解：∵△D 和△B 关于点中心对称， ∴B＝D＝6，＝， ∴四边形BD 是平行四边形， ∵∠D＝60°，∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴＝2D＝12， ∵P＝Q， ∴PQ＝＝12， 如图，作DK ∥AC，使得DK＝PQ＝12，连接BK， ∴四边形DPQK 为平行四边形， ∴DP=KQ，∠BDK=∠B=∠D=60°， 此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK 的值最小， ∵DK=PQ=BD=12， ∴△BDK 是等边三角形， ∴BK=DB=12， ∴DP+BQ 的最小值为12． 故答为：12． 1 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判 定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和 性质是解题的关键． 7（2023 春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，（3，0），B（0，4），D 为边B 的中点 (1)若E 为边上的一个动点，求△CDE的周长最小值； (2)若E、F 为边上的两个动点，且EF=1，当四边形DEF 的周长最小时，求点E、F 的坐标 【答】(1)❑ √13+3 ❑ √5 (2)( 2 3 ,0)，( 5 3 ,0) 【分析】（1）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接C D '与x 轴交于点E，连接DE，先求出 直线C D '的关系式，得出点E 的坐标，求出E=2，根据勾股定理求出CD=❑ √13，DE=❑ √5， CE=2❑ √5，即可得出答； （2）将点D 向右平移1 个单位得到D '（1,2），作D '关于x 轴的对称点D ″（1,−2）， 连接C D ″交x 轴于点F，将点F 向左平移1 个单位到点E，此时点E 和点F 为所求作的点， 用待定系数法求出C D ″的关系式，然后求出与x 轴的交点坐标，即可得出答． 【详解】（1）解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接C D '与x 轴交于点E，连接 DE，由模型可知△CDE的周长最小， 1 ∵在矩形B 中，=3，B=4，D 为B 的中点， ∴D（0，2），（3，4），D '（0，−2）， 设直线C D '为y=kx＋b，把（3，4），D '（0，−2）代入， 得3k ＋b=4，b=−2，解得k=2，b=−2， ∴直线C D '为y=2 x−2， 令y=0，得x=1， ∴点E 的坐标为（1，0） ∴E=1，E=2， 利用勾股定理得CD= ❑ √3 2+2 2=❑ √13， DE= ❑ √1 2+2 2=❑ √5， CE= ❑ √2 2+4 2=2❑ √5， ∴△DE 周长的最小值为：❑ √13+❑ √5+2❑ √5=❑ √13+3 ❑ √5． （2）解：如图，将点D 向右平移1 个单位得到D '（1,2），作D '关于x 轴的对称点 D ″（1,−2），连接C D ″交x 轴于点F，将点F 向左平移1 个单位到点E，此时点E 和点 F 为所求作的点，连接D ″ F，此时四边形DEF 周长最小， 理由如下： ∵四边形DEF 的周长为D＋DE＋EF＋F，D 与EF 是定值， ∴DE＋F 最小时，四边形DEF 周长最小， ∵D D '∥EF，且D D '=EF， ∴四边形D D ' FE为平行四边形， 1 ∴DE=D ' F， 根据轴对称可知，D ' F=D ″ F， ∴DE＋CF=D ' F ＋CF=F D ″＋CF=C D ″， 设直线C D ″的解析式为y=kx＋b，把（3，4），D ″（1,−2）代入， 得¿，解得¿， ∴直线C D ″的解析式为y=3 x−5， 令y=0，得x=5 3， ∴点F 坐标为( 5 3 ,0)， ∴点E 坐标为( 2 3 ,0)． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短 时动点的位置，是解题的关键． 【类型2 转化思想】 8 （2022 秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形BD 中，点E、F 分别 是B、D 的中点，连接DE 和BF，分别取DE、BF 的中点M、，连接M、、M，若AB=4， BC=6，则图中阴影部分的面积为 ( ) 4 B 6 12 D 24 【答】 【解析】解:点E、F 分别是B、D 的中点,M、分别为DE、BF 的中点, 矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合, 阴影部分的面积等于二分之一空白部分的面积, 阴影部分的面积=矩形的面积, B=4,B=6, 阴影部分的面积=12, 故选: 9 如图，P 为▱BD 的边D 上的一点，E、F 分别是PB、P 的中点，△PEF、△PDC、 △PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1+S2的值是 ( ) 1 3 B 6 12 D 24 【答】 【解析】如图，过点P 作PQ/¿ DC交B 于点Q. 由DC/¿ AB，得PQ/¿ AB，易证△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB. ∵EF为△PCB的中位线， ∴EF/¿ BC，EF=1 2 BC . 取B 中点M，连接EM、FM，则有△PEF≌△EBM≌△FMC≌△MFE， ∴S△PEF=S△EBM=S△FMC=S△EFM， ∴S△PBC=4 S△PEF=12， ∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12.故选C . 10 如图，在□ABCD中，E、F 分别是B、D 边上的点，F 与DE 交于点P，BF 与E 交于点 Q，若S△APD=20c m 2，S△BQC=30c m 2，则图中阴影部分的面积为__________c m 2. 【答】 50 【解析】连接E、F 两点， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴AB/¿CD .∴△EFC的F 边上的高与△BCF的F 边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFQ=S△BCQ.同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△ADP.∵S△APD=20c m 2，S△BQC=30c m 2， 1 ∴S四边形EPFQ=50c m 2. 11 正方形BD、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形 BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为__________ 【答】 16 【解析】 【分析】 此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式，平行线之间的距离，结合图形巧 妙转化解决问题． 连接DB，GE，FK，则DB/¿≥¿/FK，再根据正方形BEFG 的边长为4，可求出 S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答． 【解答】 解：如图， 连接DB，GE，FK，则DB/¿≥¿/FK， 在梯形GDBE 中，S△DGE=S△GEB(同底等高的两三角形面积相等)， 同理S△GKE=S△GFE. ∴S阴影=S△DGE+S△GKE， ¿ S△GEB+S△GEF， ¿ S正方形GBEF， ¿4×4¿16.故答为：16. 12（2022 秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在▱ABCD中，E为边 BC延长线上一点，连结AE、DE．若△DE 的面积为2，则▱ABCD的面积为（ ）． 1 ．5 B．4 ．3 D．2 【答】B 【分析】首先根据平行四边形的性质，平行四边形ABCD和△ADE的高相等，即可得出 ▱ABCD的面积 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴平行四边形ABCD和△ABE的高相等， 设其高为h，S▱ABCD=2S△ADE=4， 故答为B． 【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积． 13（2023 春·八年级期末）如图，平行四边形BD 中，G 在D 上，E、F 是G、BG 的中点， 那么四边形BD 的面积是△GEF 面积的____倍． 【答】8 【分析】过点G 作G⊥B 交EF 于，垂足为，根据三角形的中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：过点G 作G⊥B 交EF 于，垂足为，如下图： ∵E、F 是G、BG 的中点， ∴EF=1 2B，G=1 2G，EF ∥AB， 又∵S▱ABCD=AB·GH ，S△GEF=1 2 GI·EF， 1 ∴S△GEF=1 2 × 1 2 × 1 2 GH·AB=1 8 GH·AB， ∴S▱ABCD=8 S△GEF， 故答为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线． 14（2020 秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点 E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、 CN、MN．若AB=3，BC=2❑ √5，则图中阴影部分的面积为______． 【答】3 ❑ √5 【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出S△AEM=S△AMD，S△BNC=S△FNC， S四边形EBNM=S四边形DMNF，即可得出答． 【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点 M、N， ∴S△AEM=S△AMD，S△BNC=S△FNC，S四边形EBNM=S四边形DMNF， ∴图中阴影部分的面积¿ 1 2 × AB×BC=1 2 ×3×2❑ √5=3 ❑ √5． 故答为：3 ❑ √5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积等 于矩形ABCD面积的一半是解题关键． 15（2023 春·八年级期末）如图，平行四边形BD 中，过对角线BD 上一点P 作EF B ∥，G B ∥， 且G＝2BG，连接P，若S△PBG＝2，则S 四边形EP＝_____． 【答】8 【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解 【详解】解：∵EF B ∥，G B ∥， ∴四边形PFD、四边形PGF、四边形BGPE 是平行四边形， 1 ∴S△BEP=S△PBG,S△HPD=S△PFD,S△ABD=S△BCD， S ∵△PBG＝2， ∴S四边形BGPE=2+2=4， G ∵＝2BG， ∴S四边形PGCF=2S四边形BGPE=2×4=8， ∵S四边形AEPH=S△ABD−S△BEP−S△HPD,S四边形PGCF=S△BCD−S△PBG−S△PFD, ∴S四边形AEPH=S四边形PGCF=8 故答为：8 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题 的关键． 【类型3 分类讨论思想】 16 在▱BD 中，已知AB=6，BE 平分∠ABC交D 边于点E，点E 将D 分为1:3两部分，则 D 的长为__________ 【答】 8 或24 【解析】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识； 熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解题的关键．由平行四边形的性质和角平分 线得出AB=AE=6，再由已知条件得出DE=18或DE=2，分别求出D 即可． 【解答】 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴AD/¿ BC， ∴∠BEA=∠CBE， ∴∠ABE=∠BEA， ∴AB=AE=6.∵点E 将