3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

31 代数计算及通过代数计算进行说理问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年上海市中考第24 题 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 点在线段B 上，以点为顶点的抛物线M：y＝x2＋bx＋经过点B． （1）求点、B 的坐标； （2）求b、的值； （3）平移抛物线M 至，点、B 分别平 移至点P、D，联结D，且D//x 轴．如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B，求新抛物线 的函数解析式． 图1 例 2023 年云南省中考第24 题 数和形是研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性． 形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形 式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、 几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点． 设函数y＝(4＋2)x2＋(9－6)x－4＋4（实数为常数）的图像为图像T． （1）求证：无论取什么实数，图像T 与x 轴总有公共点； （2）是否存在整数，使图像T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值； 若不存在，请说明理由． 例 2023 年吉林省中考第26 题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋经过点(0, 1)，点P、Q 在此抛物 线上，其横坐标分别为m、2m（m＞0），连结P、Q． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值； （3）当∠PQ 的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵 坐标的差； （4）设此抛物线在点与点P 之间部分（包括点和点 P）的最高点与最低点的纵坐标的差为1，在点与点Q 之 间部分（包括点和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差 为2，当2－1＝m 时，直接写出m 的值． 图1 例 2023 年潜江市天门市仙桃市中考第24 题 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx－6（≠0）与x 轴交于(－2, 0)、 B(6, 0)两点，与y 轴交于点，顶点为D，连结B． （1）抛物线的解析式为____________________________；（直接写出结果） （2）在图1 中，连结并延长交BD 的延长线于点E，求∠EB 的度数； （3）如图2，若动直线l 与抛物线交于M、两点（直线l 与B 不重合），连结、BM， 直线与BM 相交于点P．当M//B 时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由． 图1 图2 例 2023 年天津市中考第25 题 已知抛物线y＝－x2＋bx＋（b、为常数，＞1）的顶点为P，与x 轴相交于、B 两点 （点在点B 的左侧），与y 轴相交于点，抛物线上的点M 的横坐标为m，且 ， 过点M 作M⊥，垂足为点． （）若b＝－2，＝3． ①求点P 和点的坐标； ②当M＝ 时，求点M 的坐标； （）若点的坐标为(－, 0)，且MP//，当＋3M＝ 时，求点M 的坐标． 例 2023 年陕西省中考第25 题 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与 拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素．设计部门按要求给出了两个 设计方．现把这两个方中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示． 方一，如图1，抛物线型拱门的跨度＝12m，拱高PE＝4m，其中点在x 轴上，PE⊥， E＝E． 方二，如图2，抛物线型拱门的跨度′＝8m，拱高P′E′＝6m，其中点′在x 轴上，P′E′ ′ ⊥ ′，E′＝E′′． 要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方 一中，矩形框架BD 的面积记为S1，点、D 在抛物线上，边B 在上；方二中，矩形框架′B′ ′D′的面积记为S2，点′、D′在抛物线上，边B′′在′上． 现知，小华已正确求出方二中，当′B′＝3m 时，S2＝ m2． （1）求方一中抛物线的函数表达式； （2）在方一中，当B＝3m 时，求矩形框架BD 的面积S1，并比较S1、S2的大小． 图1 图2 例 2023 年河北省中考第25 题 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x, y)移动到点(x＋2, y＋1)称为 一次甲方式，从点(x, y)移动到点(x＋1, y＋2)称为一次乙方式． 例 点P 从原点出发连续移动2 次．若都按甲方式，最终移动到点M(4, 2)；若都按乙方 式，最终移动到点(2, 4)；若按1 次甲方式和1 次乙方式，最终移动到点E(3, 3)． （1）设直线l1经过上例中的点M、，求直线l1的解析式；并直接写出将直线l1向上平 移9 个单位长度得到的直线l2的解析式； （2）点P 从原点出发连续移动10 次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 Q(x, y)．其中，按甲方式移动了m 次． ①用含m 的式子分别表示x、y； ②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图1 中直接画出直线l3的图像； （3）在（1）和（2）中的直线l1、l2、l3上分别有一个动点、B、，横坐标依次为、 b、，若、B、三点始终在一条直线上，直接写出此时、b、之间的关系式． 图1 例 2023 年福建省中考第24 题 已知抛物线y＝x2＋bx＋3 交x 轴于(1, 0)、B(3, 0)两点，M 为抛物线的顶点，、D 为抛 物线上不与点、B 重合的相异两点，记B 的中点为E，直线D、B 的交点为P． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若(4, 3)，D ，且m＜2，求证：、D、E 三点共线； （3）小明研究发现：无论、D 在抛物线上如何运动，只要、D、E 三点共线，△MP、 △MEP、△BP 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面 积，不必说明理由． 例 2023 年宜昌市中考第24 题 如图1，已知(0, 2)，B(2, 0)．点E 位于第二象限且在直线y＝－2x 上，∠ED＝90°，D ＝E，连结B、DE、E、DB． （1）直接判断△B 的形状：△B 是_________三角形； （2）求证：△E≌△BD； （3）直线E 交x 轴于点(t, 0)，t＞2．将经过B、两点的抛物线y1＝x2＋bx－4 向左平移 2 个单位，得到抛物线y2． ①若直线E 与抛物线y1有唯一的交点，求t 的值； ②若抛物线y2的顶点P 在直线E 上，求t 的值； ③将抛物线y2再向下平移 个单位，得到抛物线y3，若点D 在抛物线y3上，求 点D 的坐标． 图1 备用图 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 丽水23）已知点(－m, 0)和(3m, 0)在二次函数y＝x2＋bx＋3（、b 是常数，≠0）的 图像上． （1）当m＝－1 时，求和b 的值； （2）若二次函数的图像经过点(, 3)且点不在坐标轴上，当－2＜m＜－1 时，求的取值 范围； （3）求证：b2＋4＝0． 备用图 （23 南充25）如图1，抛物线y＝x2＋bx＋3（≠0）与x 轴交于(－1, 0)、B(3,0)两点， 与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B、、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形， 求点P 的坐标； （3）如图2，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴交于点E，过点K(1, 3)的直线（直线 KD 除外）与抛物线交于G、两点，直线DG、D 分别交x 轴于点M、．试探究EM·E 是否 为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 图1 图2 （23 嘉兴舟山23）在二次函数y＝x2－2tx＋3（t＞0）中． （1）若它的图像过点(2, 1)，则t 的值为多少？ （2）当0≤x≤3 时，y 的最小值为－2，求出t 的值； （3）如果(m－2, )、B(4, b)、(m, )都在这个二次函数的图像上，且＜b＜3，求m 的取 值范围．