专题20 全等与相似模型之手拉手模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题20 全等与相似模型之手拉手模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知 识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法， 熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 手拉手模型（全等模型）...................................................................................................................2 模型2 手拉手模型（相似模型）.................................................................................................................12 ...............................................................................................................................................26 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ 模型1 手拉手模型（全等模型） 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等， 也叫旋转型全等。其中：公共顶点记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为 “左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进 行解决。SS 型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△B 和△DE 均为等边三角形，为公共点；连接BE，D 交于点F。 结论：①△D △ ≌BE；②BE=D；③∠FM=∠BM=60°；④F 平分∠BFD。 证明： ∵△B 和△DE 均为等边三角形，∴B=，E=D，∠B=∠ED=60° ∠ ∴ B+∠E=∠ED+∠E，即：∠BE=∠D，∴△D △ ≌BE（SS）， ∴BE=D，∠BE=∠D，又∵∠MB=∠MF，∴∠FM=∠BM=60°， 过点作P⊥D,Q⊥BE,则∠QB=∠P=90°，又∵∠BE=∠D，B=，∴△BQ △ ≌P（S） ∴Q=P，根据角平分线的判定可得：F 平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△B 和△DE 均为等腰直角三角形，为公共点；连接BE，D 交于点。 结论：①△D △ ≌BE；②BE=D；③∠M=∠BM=90°；④平分∠BD。 证明： ∵△B 和△DE 均为等腰直角三角形，∴B=，E=D，∠B=∠ED=90° ∠ ∴ B+∠E=∠ED+∠E，即∠BE=∠D，∴△D △ ≌BE（SS）， ∴BE=D，∠BE=∠D，又∵∠MB=∠M，∴∠M=∠BM=90°， 过点作P⊥D,Q⊥BE,则∠QB=∠P=90°，又∵∠BE=∠D，B=，∴△BQ △ ≌P（S） ∴Q=P，根据角平分线的判定可得：平分∠BD。 3）双等腰三角形型 条件：B=，E=D，∠B=∠ED，为公共点；连接BE，D 交于点F。 结论：①△D △ ≌BE；②BE=D；③∠BM=∠FM；④F 平分∠BFD。 证明： ∵∠B=∠ED，∴∠B+∠E=∠ED+∠E，即∠BE=∠D， 又∵B=，E=D，∴△D △ ≌BE（SS），∴BE=D，∠BE=∠D， 又∵∠MB=∠MF，∴∠BM=∠FM，过点作P⊥D,Q⊥BE,则∠QB=∠P=90°， 又∵∠BE=∠D，B=，∴△BQ △ ≌P（S） ∴Q=P，根据角平分线的判定可得：F 平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形BD 和四边形EFG 都是正方形，为公共点；连接BG，ED 交于点。 结论：①△BG △ ≌DE；②BG=DE；③∠BM=∠DM=90°；④平分∠BE。 证明： ∵四边形BD 和四边形EFG 都是正方形，∴B=，E=G，∠BD=∠EG=90° ∠ ∴ BD+∠DG=∠EG+∠DG，即∠BG=∠DE，∴△BG △ ≌DE（SS）， ∴BG=DE，∠BG=∠DE，又∵∠MB=∠DM，∴∠BM=∠DM=90°， 过点作P⊥DE,Q⊥BG,则∠PD=∠PB=90°，又∵∠BG=∠DE，B=D，∴△BQ △ ≌DP（S） ∴Q=P，根据角平分线的判定可得：平分∠BD。 例1．（23-24 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点，B，在同一条直线上， ， 均为等边三角 形，连接 和 ， 分别交 、 于点M，P， 交 于点Q，连接 ， ，下面结论：① ；② ；③ 为等边三角形；④ 平分 ；⑤ ．其中结论 正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别 在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ． (1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2 的位置． ①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ． 例3．（2023·山东·九年级专题练习）已知， 为等边三角形，点 在边 上． 【基本图形】如图1，以 为一边作等边三角形 ，连结 ．可得 （不需证明）． 【迁移运用】如图2，点 是 边上一点，以 为一边作等边三角 ．求证： ． 【类比探究】如图3，点 是 边的延长线上一点，以 为一边作等边三角 ．试探究线段 ， ， 三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 例4．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）如图，将 绕点顺时针旋转得到 ，并使点的对应点D 点落在直线 上．(1)如图1，证明： 平分 ；(2)如图2， 与 交于点F，若 ，求 的度数；(3)如图3，连接 ，若 ，则 的 长为 ． 例5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在Rt△B 中，∠B＝90°，，b 分别表示∠，∠B 的对边， ． 记△B 的面积为S． (1)如图1，分别以，B 为边向形外作正方形DE 和正方形BGF．记正方形DE 的面积为 ，正方形BGF 的 面积为 ．①若 ， ，求S 的值；②延长E 交GB 的延长线于点，连结F，交B 于点M，交B 于 点．若F⊥B（如图2 所示），求证： ． (2)如图3，分别以，B 为边向形外作等边三角形D 和等边三角形BE，记等边三角形D 的面积为 ，等边三 角形BE 的面积为 ．以B 为边向上作等边三角形BF（点在△BF 内），连结EF，F．若EF⊥F，试探索 与S 之间的等量关系，并说明理由． 例6．（2024·黑龙江·九年级期中）已知Rt△B 中，=B，∠B＝90°，F 为B 边的中点，且DF=EF，∠DFE＝ 90°，D 是B 上一个动点．如图1，当D 与重合时，易证：D2＋DB2＝2DF2； （1）当D 不与、B 重合时，如图2，D、DB、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D 在B 的延长线上时，如图3，D、DB、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 模型2 手拉手模型（相似模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的 图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2 个 三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠B=∠DE= ， ； 结论：△DE∽△B，△BD∽△E； ；∠BF=∠B 证明：∵ ，∴ ，∵∠B=∠DE= ，∴△DE∽△B， ∵∠B=∠DE= ，∴∠B-∠D=∠DE-∠D，∴∠BD=∠E， ∵ ，∴△BD∽△E，∴ ，∠BD=∠E，∴∠BF=∠B=∠DE= ， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图， ， ； 结论：△∽△BD； ，⊥BD， 证明：∵ ，∴∠B-∠B=∠D-∠B，∴∠=∠BD， ∵ ，∴△∽△BD，∴ ，∠B=∠BD， ∴∠EB=∠B=90°，∴⊥BD，∴ 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件: M 为等边三角形B 和DEF 的边和DF 的中点； 结论：△BME∽△MF； 证明：∵M 为等边三角形B 和DEF 的边和DF 的中点，∴ ，∠BM=∠EMF=90°， ∴∠BM-∠EM=∠EMF-∠EM，∴∠BME=∠MF，∴△BME∽△MF，∴ ， 条件:△B 和DE 是等腰直角三角形； 结论：△BD∽△E；∠E=90°； 证明：∵△B 和DE 是等腰直角三角形，∴ ，∠B=∠DE=45°， ∴∠B-∠D=∠DE-∠D，∴∠BD=∠E，∴△BD∽△E， ∴ ，∠E=∠BD=90° 例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形 的旋转变换进行研究． (1)[观察猜想]如图1，△B 是以B、为腰的等腰三角形，点D、点E 分别在B、上．且DE∥B，将△DE 绕点逆 时针旋转（0°≤≤360°）．请直接写出旋转后BD 与E 的数量关系 ； (2)[探究证明]如图2，△B 是以∠为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥B 分别交与B 两边于点E、点D．将 △DE 绕点逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由； (3)[拓展延伸]如图3，BD 是等边△B 底边的中线，E⊥BE，E∥B．将△BE 绕点B 逆时针旋转到△FBE，点落在 点F 的位置，若等边三角形的边长为4，当B⊥BE 时，求出DF2的值． 例2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度 存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在 中， ， ，分别取 ， 的中点D，E，作 ．如图2 所示，将 绕点逆时针旋转，连接 ， ． (1)探究发现：旋转过程中，线段 和 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当 所在直线首次经过点B 时，求 的长． 例3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一 个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中， ， ， ． 【初步感知】（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上 时，延长 交 于点 ，求 的长． 【拓展延伸】（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能， 直接写出所有直角三角形 的面积；若不能，请说明理由． 例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接 ， ， 延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ； (2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且点 ， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数量关系：_____ _； (4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则 ______． 例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知 和 均为等边三角 形，是 和 的中点，将 绕点顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在 旋转的过程中，当点E 恰好在 的延长线上时， 交 于点，试判断 的形状，并说明理由；(2)如图②，在 旋转的过程中，当点E 恰好落在边 上时，连接 ， 试猜想线段 与线段 的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若 ，连接 ，设 所在直线与 所在直线交于点M，在 旋转的过程中，当点B，F，E 在同一直线上时，在M，两点 中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，请直接写出此时 的长． 例6．（2024·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形 与矩形 相似，且矩形 的两边分别在矩形 的边 和 上， ，连接 ．线段 F 与 的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形 绕点逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是 否仍然成立，请利用图2 进行说理． (3)解决问题：当矩形 的边 时，点E 为直线 上异于D，的一点，以 为边作正方形 ，点为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角 中， ，D 为 上一点，E 为 延长 线上一点，且 ， ，则 ． 1．（23-24 九年级·辽宁盘锦·开学考试）如图，在 中， ，过点作 于点D，过点 B 作 于点M，连接 ，过点D 作 ，交 于点． 与 相交于点E，若点E 是 的中点，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）个． ．4 B．3 ．2 D．1 2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 3．（23-24 九年级上·辽宁大连·期中）如图，在 中， ，点D 是边 上的一个动点，连接 ，过点作 ，使 ，连接 ，点F 是 的中点，连接 并延长， 交 边所在直线于点G，若 ，则 的长为 ． 4（23-24 九年级上·广东深圳·期中）如图，等腰直角 中， ， ，过点 作 ， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 长为 ． 5．（2024·河南周口·模拟预测）如图， 是等边三角形， ，点E 是 的平分线 上的一 动点，连接 ，将点E 绕点顺时针旋转 得到点F，连接 ， ．若 是直角三角形，则线段 的长为 6．（2024·山东泰安·三模）将矩形BD 绕点B 顺时针旋转得到矩形 ，点、、D 的对应点分别为 、 、 ．如图，当 过点时，若 ， ，则 的长为 ． 7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点 落在 上， 与 交于点E 若 ，则 （从“ ”中选择一个符 合要求的填空）； ． 8．（2024·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点D 为斜边B 上一点，且 BD=3D，将△BD 沿直线D 翻折，点B 的对应点为B′，则s∠B′D= ． 9．（23-24 九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图 1， 和 是等边三角形，点B、、E 不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结 论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】（2）如下图，已知四边形 中， ， ， 是 的 平分线，且 ．将线段 绕点E 顺时针旋转 得到线段 ．当 时，连接 ，试判断线 段 和线段 的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段 和线段 的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件 ，则 ，再通过“手拉手” 模型，合理添加辅助线，构造与 全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如下图， 中，当 时，点D、E 为 、 上的点， ， ，若 ， ，求线段 的长． 10．（23-24 九年级下·四川达州·开学考试）已知， 与 都是等腰直角三角形， ， ，连接 ， ． (1)如图，求证 ；(2)如图 ，点 在 内， ， ， 三点在同一直线上，过点 作 的高 ，证明： ；(3)如图，点 在 内， 平分 ， 的延长线与 交 于点 ，点 恰好为 中点，若 ，求线段 的长． 11．（2023·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△B 中，B＝， ，D 为B 边上一点（不 与点B，重合），将线段D 绕点逆时针旋转60°得到E，则： (1) ∠ ① E 的度数是 ；②线段，D，E 之间的数量关系是 ． 拓展探究：(2)如图2，在△B 中，B＝， D 为B 边上一点（不与点B，重合），将线段D 绕点 逆时针旋转90°得到E，连接E，请写出∠E 的度数及线段D，BD，D 之间得数量关系，并说明理由； 解决问题：(3)如图3，在Rt△DB 中，DB＝3，D=5，∠BD＝90°，若点满足B＝，∠B＝90°，请直接写出线 段D 的长度． 12．（2024·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△B 中，B＝， ，D 为B 边上一点（不 与点B，重合），将线段D 绕点逆时针旋转60°得到E，则： (1) ∠ ① E 的度数是 ；②线段，D，E 之间的数量关系是 ． 拓展探究：(2)如图2，在△B 中，B＝， D 为B 边上一点（不与点B，重合），将线段D 绕点