专题3.5 一元一次方程中的动点压轴题专项训练（60题）（解析版）

专题35 一元一次方程中的动点压轴题专项训练（60 题） 【人版】 参考答与试题解析 一．解答题（共60 小题） 1．（2022 秋•沙坪坝区校级期末）如图，是数轴的原点，、B 是数轴上的两个点，点对应 的数是﹣1，B 点对应的数是8，是线段B 上一点，满足AC BC = 5 4 ． （1）求点对应的数； （2）动点M 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M 到达 点后停留2 秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B 点后停止．在点M 从点出发 的同时，动点从B 点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动 到点后停止．设点的运动时间为t 秒． ①当M＝4 时，求t 的值； ②在点M，出发的同时，点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运 动，当点P 与点M 相遇后，点P 立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P 与点相 遇后，点P 又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到点后停止．当PM＝2P 时，请直接 写出t 的值． 【分析】（1）根据点对应的数是﹣1，B 点对应的数是8，得B＝9，又AC BC = 5 4 ，可得 ＝5，B＝4，故点对应的数是8﹣B＝4； （2）①设运动t 秒时，M＝4，当M、未相遇，可得8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，解得t¿ 5 3， 当M、相遇后，有2t 5 ﹣﹣（8﹣t）＝4，解得t¿ 17 3 ； ②P 与M 还未第一次相遇时，4 3 ﹣t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4 3 ﹣t）]，解得t¿−1 3（舍 去），此种情况不存在，P 与M 在t＝1 时第一次相遇，相遇后P 掉头按原速沿数轴向右 匀速运动，可得3t 2 ﹣﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t 2 ﹣）]，解得t¿ 7 3，由已知可知，当 P 与M 在表示1 的点处相遇，此时运动到表示7 的点处，再经过7−1 3+1 =¿15 秒，即t＝ 25 时，P 与相遇，此时M 正好运动到，P 与相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运 1 动，可得13 3 ﹣t 4 ﹣＝2[8﹣t﹣（13 3 ﹣t）]，解得t¿ 19 7 ，当P 与M 第二次相遇后，有2t 5 ﹣﹣（13 3 ﹣t）＝2[8﹣t﹣（13 3 ﹣t）]，解得t＝8 舍去，当P 运动到后，若为PM 的中 点，此时PM＝2P，可得t＝55． 【详解】解：（1）∵点对应的数是﹣1，B 点对应的数是8， ∴B＝9， ∵AC BC = 5 4 ， ∴＝5，B＝4， ∴点对应的数是8﹣B＝8 4 ﹣＝4， 答：点对应的数是4； （2）①设运动t 秒时，M＝4 当M、未相遇，则M 在上运动，M 表示的数是﹣1+2t，在B 上运动，表示的数是8﹣t， 8 ∴﹣t﹣（﹣1+2t）＝4， 解得t¿ 5 3， 当M、相遇后，M 在B 上运动，M 表示的数是4+2（t−5 2 −¿2）＝2t 5 ﹣，在上运动，表 示的数是8﹣t， 2 ∴t 5 ﹣﹣（8﹣t）＝4， 解得t¿ 17 3 ， 综上所述，t 的值为5 3或17 3 ； ②P 与M 还未第一次相遇时，P 表示的数是4 3 ﹣t，M 表示的数是﹣1+2t，表示的数是8 ﹣t， 4 3 ∴﹣t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4 3 ﹣t）]， 解得t¿−1 3（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P 与M 在t＝1 时第一次相遇，相遇后P 掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在 未遇到前，P 表示的数是（4 3×1 ﹣ ）+3（t 1 ﹣）＝3t 2 ﹣， 3 ∴t 2 ﹣﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t 2 ﹣）]， 解得t¿ 7 3， 由已知可知，当P 与M 在表示1 的点处相遇，此时运动到表示7 的点处，再经过 1 7−1 3+1 =¿15 秒，即t＝25 时，P 与相遇，此时M 正好运动到，P 与相遇后又立即掉头按 原速沿数轴向左匀速运动，未与M 第二次相遇，此时P 表示的数是（8 25 ﹣ ）﹣3（t﹣ 25）＝13 3 ﹣t， 13 3 ∴ ﹣t 4 ﹣＝2[8﹣t﹣（13 3 ﹣t）]， 解得t¿ 19 7 ， 当P 与M 第二次相遇后，P 表示的数是13 3 ﹣t，M 在B 上运动，M 表示的数是2t 5 ﹣， 2 ∴t 5 ﹣﹣（13 3 ﹣t）＝2[8﹣t﹣（13 3 ﹣t）]， 解得t＝8，此时13 3 ﹣t＝﹣11＜﹣1， ∴t＝8 舍去，这种情况不存在， 当P 运动到后，若为PM 的中点，此时PM＝2P， 1+ ∴﹣ （2t 5 ﹣）＝2（8﹣t）， 解得t＝55， 综上所述，t 的值为7 3 或19 7 或55． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t 的代数式表示点运 动后表示的数． 2．（2022 秋•城关区期末）已知数轴上两点、B 对应的数分别为﹣1、3，点P 为数轴上一 动点，其对应的数为x． （1）若点P 为B 的中点，直接写出点P 对应的数； （2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P 到点、点B 的距离之和为8？若存在，请求 出x 的值；若不存在，说明理由； （3）现在点、点B 分别以每秒2 个单位长度和每秒05 个单位长度的速度同时向右运动， 同时点P 以每秒6 个单位长度的速度从表示数1 的点向左运动．当点与点B 之间的距离 为3 个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？ 【分析】（1）由点P 为B 的中点，而、B 对应的数分别为﹣1、3，根据中点公式即可 确定点P 对应的数； （2）根据题意可知，点P 在B 点右边时，根据点P 到点、点B 的距离之和为8，列出方 程求出x 的值即可． （3）分两种情况讨论，①当点在点B 左边两点相距3 个单位时，②当点在点B 右边时， 两点相距3 个单位时，分别求出t 的值，然后求出点P 对应的数即可． 【详解】解：（1）∵点P 是B 的中点，点、B 对应的数分别为﹣1、3， 1 ∴点P 对应的数是（﹣1+3）÷2＝1； （2）点P 在B 点右边时，x 3+ ﹣ x﹣（﹣1）＝8， 解得：x＝5， 即存在x 的值，当x＝5 时，满足点P 到点、点B 的距离之和为8； （3）①当点在点B 左边两点相距3 个单位时，此时需要的时间为t， 则3+05t﹣（2t 1 ﹣）＝3， 解得：t¿ 2 3， 则点P 对应的数为﹣6× 2 3 +¿1＝﹣3； ②当点在点B 右边两点相距3 个单位时，此时需要的时间为t， 则2t 1 ﹣﹣（3+05t）＝3，15t＝7 解得：t¿ 14 3 ， 则点P 对应的数为﹣6× 14 3 +¿1＝﹣27； 综上可得当点与点B 之间的距离为3 个单位长度时，求点P 所对应的数是﹣3 或﹣27． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要 读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 3．（2022 秋•汉阳区校级期中）如图，点和点B 在数轴上分别对应数和b，其中和b 满足 （+4）2＝﹣|8﹣b|，原点记作． （1）求和b； （2）数轴有一对动点1和B1分别从点和B 出发沿数轴正方向运动，速度分别为1 个单位 长 度/秒和2 个单位长度/秒． ①经过多少秒后满足B1＝31B？ ②另有一动点1从原点以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在1与B1之间，且 满足A1O1 B1O1 =1 2，运动过程中对于确定的m 值有且只有一个时刻t 满足等式：1+B1＝m， 请直接写出符合条件m 的取值范围． 【分析】（1）利用非负数的性质求得、b； 1 （2）①设运动时间为x 秒，则点1 和点B1 表示的数分别为﹣4+x、8+2x，再求出B1 和 1B，根据B1＝31B 列出方程求解即可； ②设1点的速度为v 个单位长度/秒，点1和点B1表示的数分别为﹣4+t，8+2t，点表示的 数为vt，再求出11，B11，利用A1O1 B1O1 =1 2，求出v，然后再根据运动过程中对于确定的m 值有且只有一个时刻t 满足等式：1+B1＝m，求出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵和b 满足（+4）2＝﹣|8﹣b|， ∴（+4）2+|8﹣b|＝0， ∵（+4）2≥0，|8﹣b|≥0， +4 ∴ ＝0 且8﹣b＝0， ∴＝﹣4，b＝8； （2）①设运动时间为x 秒，则点1和点B1表示的数分别为﹣4+x、8+2x， ∴B1＝8+2x﹣（﹣4）＝12+2x， 1B＝|8﹣（﹣4+x）|＝|12﹣x|， 若B1＝31B，则 12+2x＝3|12﹣x|， 即12+2x＝±3（12﹣x）， 解得：x¿ 24 5 或x＝48， ∴经过24 5 秒或48 秒后满足B1＝31B； ②设1点的速度为v 个单位长度/秒， 则此时，点1和点B1表示的数分别为﹣4+t，8+2t，点表示的数为vt， ∴1＝vt﹣（﹣4）＝vt+4， 11＝vt﹣（﹣4+t）＝vt+4﹣t， B11＝8+2t﹣vt， B1＝|8﹣vt|， ∴A1O1 B1O1 = vt+4−t 8+2t−vt =1 2， 化简，得v¿ 4 3 ， ∴1+B1＝vt+4+|8﹣vt|¿ 4 3 t+4+|8−4 3 t|， 当8−4 3 t≥0 即0＜t≤6 时， 1 1+B1¿ 4 3 t+4+8−4 3 t＝12， 当8−4 3 t＜0 即t＞6 时， 1+B1¿ 4 3 t+4﹣（8−4 3 t）¿ 8 3 t 4 ﹣， ∵运动过程中对于确定的m 值有且只有一个时刻t 满足等式：1+B1＝m， ∴m¿ 8 3t 4 ﹣，此时t＞6， ∴t¿ 3m+12 8 ＞6， ∴m＞12． ∴符合条件m 的取值范围m＞12． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握两点之间的距离计算方法与绝对值的 意义是解决问题的关键． 4．（2022 秋•荔城区期末）点在数轴上对应的数为，点B 对应的数为b，且，b 满足|+2|+ （b 10 ﹣ ）2＝0． （1）求线段B 的长； （2）线段D 在点左侧沿数轴向右匀速运动，经过线段B 需要10 秒，经过点的时间是2 秒，求D 的长度； （3）点E 在数轴上对应的数为6，点F 与点B 重合．线段EF 以每秒2 个单位长度的速 度向左运动，同时点P 从点左侧某处以每秒3 个单位长度的速度向右运动，点G 是线段 BE 的中点，点P 与点E 相遇t 秒后与点G 相遇．若在整个运动过程中，PE＝kFG 恒成 立，求k 与t 的值． 【分析】（1）由|+2|+（b 10 ﹣ ）2＝0，得＝﹣2，b＝10，即得B＝12； （2）根据经过线段B 需要10 秒，经过点的时间是2 秒，得线段D 向右匀速运动的速度 是3 2（单位长度/秒），故D 的长度为2× 3 2=¿3（单位长度）； （3）设P 开始位置表示的数是m，运动x 秒后P 与E 相遇，则相遇时P 表示的数是 m+3x，E 表示的数是6 2 ﹣x，有m+3x＝6 2 ﹣x，解得x¿ 6−m 5 ，而运动（x+t）秒后P 与 G 相遇，可得m+3（x+t）＝8﹣x﹣t，解得x＝2﹣t−1 4 m，即知6−m 5 =¿2﹣t−1 4 m，根 据在整个运动过程中，PE＝kFG 恒成立，设运动时间是y 秒，则6 2 ﹣y﹣（m+3y）＝k （10 2 ﹣y 8+ ﹣ y）恒成立，可得k＝5，m＝﹣4，把m＝﹣4 代入6−m 5 =¿2﹣t−1 4 m 即得 1 答． 【详解】解：（1）∵|+2|+（b 10 ﹣ ）2＝0， +2 ∴ ＝0，b 10 ﹣ ＝0， ∴＝﹣2，b＝10； ∴B＝10﹣（﹣2）＝12； （2）∵经过线段B 需要10 秒，经过点的时间是2 秒， ∴线段D 向右匀速运动的速度是12 10−2=3 2（单位长度/秒）， ∴D 的长度为2× 3 2=¿3（单位长度）， 答：D 的长度是3 个单位长度； （3）设P 开始位置表示的数是m，运动x 秒后P 与E 相遇，则相遇时P 表示的数是 m+3x，E 表示的数是6 2 ﹣x， ∴m+3x＝6 2 ﹣x， 解得x¿ 6−m 5 ， 根据题意，运动（x+t）秒后P 与G 相遇，此时P 表示的数是m+3（x+t），G 表示的数 是10+6−2( x+t ) 2 =¿8﹣x﹣t， ∴m+3（x+t）＝8﹣x﹣t， 解得x＝2﹣t−1 4 m， ∴6−m 5 =¿2﹣t−1 4 m， ∵在整个运动过程中，PE＝kFG 恒成立，设运动时间是y 秒，则P 表示的数是m+3y，E 表示的数是6 2 ﹣y，F 表示的数是10 2 ﹣y，G 表示的数是10+6−2 y 2 =¿8﹣y， 6 2 ∴﹣y﹣（m+3y）＝k（10 2 ﹣y 8+ ﹣ y）恒成立， 即（k 5 ﹣）y＝2k+m 6 ﹣恒成立（与y 的取值无关）， ∴k 5 ﹣＝0，即k＝5， 此时2×5+m 6 ﹣＝0，解得m＝﹣4， 把m＝﹣4 代入6−m 5 =¿2﹣t−1 4 m 得：6−(−4) 5 =¿2﹣t−1 4 ×（﹣4）， ∴t＝1， 答：k 的值是5，t 的值是1． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含字母的代数式表示运 1 动后点表示的数及线段的长度． 5．（2022 秋•宝鸡校级期中）如图，在数轴上点、B 表示的数分别为﹣2、4． （1）若点M 到点、点B 的距离相等，那么点M 所对应的数是 1 ． （2）若点M 从点B 出发，以1 个单位/秒的速度向左运动，同时点恰好从点出发，以2 个单位/秒的速度向右运动，设M、两点在数轴上的点E 相遇，则点E 对应的数是 2 ． （3）若点D 是数轴上一动点，当动点D 到点的距离与到点B 的距离之和等于10 时，则 点D 对应的数是 ﹣ 4 或 6 ． （4）若点M 从点出发以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从B 点出发 以每秒4 个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、同时出发，运动时间为t 秒，经 过多少秒后，M、两点间的距离为24 个单位长度． 【分析】（1）求出B 的长度，再根据点M 到点、点B 的距离相等可得M 对应的数； （2）根据点M 和点的运动方向和速度分别用含t 的代数式表示出来，再列方程即可； （3）设点D 对应的数是x，分D 在的左边和B 的右边两种情况求解即可； （4）分别用含t 的代数式表示出M、对应的数，再根据两点距离公式列出方程可得答． 【详解】解：（1）∵点M 到点、点B 的距离相等， ∴点M 是线段B 的中点， ∵点、B 对应的数分别为﹣2、4， ∴点M 对应的数是1； 故答为：1； （2）t 秒后，点M 表示4﹣t，点表示﹣2+2t， 若两点相遇则4﹣t＝﹣2+2t， 解得t＝2， 4 2 ﹣＝2， 所以点E 对应的数是2． 故答为：2； （3）设点D 对应的数是x， ∵B＝6， ∴点D 不可能在线段B 上． ①点D 在的左边时，D＝﹣2﹣x，DB＝4﹣x， （﹣2﹣x）+（4﹣x）＝10，解得x＝﹣4； ②点D 在B 的右边时，D＝2+x，DB＝x 4 ﹣， 1 （2+x）+（x 4 ﹣）＝10，解得x＝6； 故答为：﹣4 或6； （4）①若点向右运动， t 秒后，点M 对应的数是5t 2 ﹣，点对应的数是4+4t， M＝|（5t 2 ﹣）﹣（4+4t）|＝|t 6| ﹣＝24， 解得t＝30 或﹣18（舍去）； ②若点向左运动， t 秒后，点M 对应的数是5t 2 ﹣，点对应的数是4 4 ﹣t， M＝|（5t 2 ﹣）﹣（4 4 ﹣t）|＝|9t 6| ﹣＝24， 解得t¿ 10 3 或﹣2（舍去）； 答：经过30 秒或10 3 秒后，M、两点间的距离为24 个单位长度． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要 读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 6．（2022 春•海珠区月考）如图，已知，B 两点在数轴上，点表示的数为﹣10，B＝3，点 M 以每秒3 个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒2 个单位长度的速度从点向右运 动（点M，点同时出发）． （1）数轴上点B 对应的数是 30 ． （2）当点M 运动到距离点为2 个单位长度时，所经过的时间是 8 3秒或 4 秒 ． （3）经过几秒，点M，点分别到原点的距离相等？ 【分析】（1）根据点表示的数为﹣10，B＝3，可得点B 对应的数； （2）①点在点B 左侧；②点在点B 右侧两种情况讨论求解； （3）分①点M、点在点两侧；②点M、点重合两种情况讨论求解． 【详解】解：（1）B＝3＝30． 故B 对应的数是30， 故答为：30． （2）设经过y 秒，点M 距离点为2 个单位长度， ①点M 在点左侧，则 3y＝10 2 ﹣， 解得y¿ 8 3， 1 所以经过8 3 秒时，点M 距离点为2 个单位长度； ②点M 在点右侧，则 3y＝10+2， 解得y＝4， 所以经过4 秒时，点M 距离点为2 个单位长度． 综上所述，经过8 3秒或4 秒时点M 距离点为2 个单位长度． （3）设经过x 秒，点M、点分别到原点的距离相等， ①点M、点在点两侧，则 10 3 ﹣x＝2x， 解得x＝2； ②点M、点重合，则 3x 10 ﹣ ＝2x， 解得x＝10． 所以经过2 秒或10 秒，点M、点分别到原点的距离相等． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．（2022 秋•新丰县期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，B 是数轴上位于点左侧一 点，且B＝22，动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设 运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B 表示的数 ﹣ 14 ；点P 表示的数 8 5 ﹣ t （用含t 的代数式表示） （2）若M 为P 的中点，为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段M 的长度是 11 ． （3）动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q 同时出发，问多少秒时P、Q 之间的距离恰好等于2？ （4）动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q？ 【分析】（1）根据已知可得B 点表示的数为8 22 ﹣ ；点P 表示的数为8 5 ﹣t； （2）分①当点P 在点、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，利用中点 的定义和线段的和差求出M 的长即可； （3）分①点P、Q 相遇之前，②点P、Q 相遇之后，根据P、Q 之间的距离恰好等于2 列出方程求解即可； 1 （4）点P 运动x