专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（解析版）

专题61 平方根与立方根【九大题型】 【人版】 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】.............................................................................................................1 【题型2 平方根性质的运用】.................................................................................................................................3 【题型3 开平方、开立方的运算】.........................................................................................................................4 【题型4 利用开平方、开立方解方程】................................................................................................................. 6 【题型5 算术平方根的概念及非负性】................................................................................................................. 8 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】.............................................................................................................9 【题型7 平方根与立方根综合】........................................................................................................................... 11 【题型8 算术平方根、立方根的应用】............................................................................................................... 13 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】.......................................................................................................14 【知识点1 平方根的概念及表示】 ①定义：如果x 2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根 ②表示方法：正数a的正的平方根记作❑ √a，负的平方根记作−❑ √a，正数a的两个平方根记 作± ❑ √a，读作正、 负根号a，其中a叫做被开方数 【知识点2 立方根的概念及性质】 （1）一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。即如果 x3=，那么x 叫做的立方根，记作 。即 。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是0 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 【例1】（2022 春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ） ．﹣ B．﹣2+1 ．﹣2 D．﹣2 1 ﹣ 【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答． 【解答】解：在﹣，﹣2+1，﹣2，﹣2 1 ﹣中，﹣2 1 ﹣是负数，没有平方根． 故选：D． 【变式1-1】（2022 春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ） ．﹣1 是1 的平方根 B．﹣1 是-1 的平方根 ．﹣1 是1 的立方根 D．﹣1 没有立方根 【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可． 1 【解答】解：∵±1 都是1 的平方根， ∴选项符合题意； -1 ∵ 没有平方根， ∴选项B 符合题意； 1 ∵的立方根是1， ∴选项不符合题意； 1 ∵﹣的立方根是﹣1， ∴选项D 符合题意， 故选：． 【变式1-2】（2022 春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ） ．−❑ √−9=3 B．3 √−27=−3 ． 3 √ 1 8=± 1 2 D．3 √8=−2 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：．−❑ √−9无意义，故不符合题意． B．3 √−27=−3，故B 符合题意． ．3 √ 1 8=1 2 ，故不符合题意． D．3 √8=2，故D 不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（2022 春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ） ．0 只有一个平方根 B．若x2＝3，则x＝±❑ √3 ．❑ √64的立方根是2 D．512 的立方根是±8 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答． 【解答】解：、0 只有一个平方根，故不符合题意． B、若x2＝3，则x＝±❑ √3，故B 不符合题意． 、❑ √64=¿8，8 的立方根是2，故不符合题意． D、512 的立方根是8，故D 符合题意． 故选：D． 【知识点3 平方根的性质】 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型2 平方根性质的运用】 【例2】（2022 春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2 1 ﹣与﹣+2，求的值和 这个正数x 的值． 【分析】正数x 有两个平方根，分别是﹣+2 与2 11 ﹣ ，所以﹣+2 与2 1 ﹣互为相反数； 1 即﹣+2+2 1 ﹣＝0 解答可求出；根据x＝（﹣+2）2，代入可求出x 的值． 【解答】解：∵正数x 有两个平方根，分别是﹣+2 与2 1 ﹣， +2+2 1 ∴﹣ ﹣＝0 解得＝﹣1． 所以x＝（﹣+2）2＝（1+2）2＝9． 【变式2-1】（2022•工业区期中）一个正数M 的两个平方根分别是2+3 和2b 1 ﹣，求 （+b）2022． 【分析】利用正数的平方根有2 个，且互为相反数求出+b 的值，代入原式计算即可得到 结果． 【解答】解：根据题意得：2+3+2b 1 ﹣＝0， 整理得：+b＝﹣1， 则原式＝1． 【变式2-2】（2022 春•孟村县期中）已知正实数x 的两个平方根是m 和m+b． （1）当b＝8 时，m 的值是 ﹣ 4 ； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ ❑ √2 ． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m 的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4 即可求 出x 值． 【解答】解：（1）∵正实数x 的平方根是m 和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， 2 ∴m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数x 的平方根是m 和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x¿ ❑ √2． 故答为：（1）﹣4；（2）❑ √2． 【变式2-3】（2022 春•建安区期中）若是（﹣4）2的平方根，b 的一个平方根是2，则代数 式+b 的值为（ ） 1 ．8 B．0 ．8 或0 D．4 或﹣4 【分析】先依据平方根的定义和性质求得、b 的值，然后依据有理数的加法法则求解即 可． 【解答】解：∵是（﹣4）2的平方根， ∴＝±4． ∵b 的一个平方根是2， ∴b＝4． ∴当＝4，b＝4 时，+b＝8； 当＝﹣4，b＝4 时，+b＝0． 故选：． 【知识点4 开平方】 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 【知识点5 开立方】 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 【题型3 开平方、开立方的运算】 【例3】（2022 春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知＝ ﹣ 2020 ，b＝ ﹣ 2020 ． 【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题． 【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020 的立方根是m，的立方根是﹣m， ∴m3＝2020，（﹣m）3＝， ∴＝﹣2020； 又∵的平方根是2020 和b， ∴b＝﹣2020． 故答为：﹣2020，﹣2020． 【变式3-1】（2022 春•绥棱县期末）已知x、y 为实数，且满足❑ √1+x+❑ √1−y=¿0，那么 x2022﹣y2022＝ 0 ． 【分析】根据❑ √1+x+❑ √1−y=¿0，且❑ √1+x与❑ √1−y均大于等于0，以此解出x、y 值 进而计算出结果． 1 【解答】解：∵❑ √1+x+❑ √1−y=¿0，且❑ √1+x与❑ √1−y均≥0， 1+ ∴ x＝0，1﹣y＝0， 得x＝﹣1，y＝1， x2022﹣y2022＝（﹣1）2022 1 ﹣ 2022＝1 1 ﹣＝0， 故答为：0． 【变式3-2】（2022 春•五常市期末）1 10 6的平方根是 ± 1 1000 ，﹣27 的立方根是 ﹣ 3 ． 【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：1 10 6的平方根为± ❑ √ 1 10 6=± 1 10 3=± 1 1000； 27 ﹣ 的立方根为3 √−27=−¿3， 故答为：± 1 1000，﹣3． 【变式3-3】（2022 春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64 时，输 出的y 是（ ） ．2❑ √2 B．2 ．❑ √2 D．±❑ √2 【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答． 【解答】解：由题意可得：64 的立方根为4，4 的算术平方根是2，2 的算术平方根是 ❑ √2， 即y¿ ❑ √2． 故选：． 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x 的值： （1）4x2 9 ﹣＝0； （2）8（x+1）3＝125． 【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x； （2）把二次项系数化为1，开立方求出x． 【解答】解：（1）4x2 9 ﹣＝0， 4x2＝9， x2¿ 9 4 ， 1 x1¿ 3 2，x2¿−3 2； （2）8（x+1）3＝125， （x+1）3¿ 125 8 ， x+1¿ 5 2， x＝15． 【变式4-1】（2022 春•阆中市期中）（1）已知4（x 3 ﹣）2＝64，求x 的值． （2）已知（x+1）3+27＝0，求x 的值． 【分析】（1）根据题意可化为（x 3 ﹣）2＝16，根据平方根的定义可得x 3 ﹣¿± ❑ √16，计算 即可得出答； （2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1¿ 3 √−27，计算即可得出 答． 【解答】解：（1）4（x 3 ﹣）2＝64， （x 3 ﹣）2＝16， x 3 ﹣¿± ❑ √16， x 3 ﹣＝±4， x 3 ﹣＝4 或x 3 ﹣＝﹣4， x＝7 或x＝﹣1； （2）（x+1）3+27＝0， （x+1）3＝﹣27， x+1¿ 3 √−27， x+1＝﹣3， x＝﹣4． 【变式4-2】（2022 春•安陆市期中）求x 的值：（1）2x2＝50； （2）（x+1）3+3¿−3 8． 【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答； （2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答． 【解答】解：（1）2x2＝50， 两边都除以2 得，x2＝25， 根据平方根的定义得，x＝±5； （2）（x+1）3+3¿−3 8， 移项得，（x+1）3¿−3 8−¿3， 合并同类项得，（x+1）3¿−27 8 ， 根据立方根的定义得，x+1¿−3 2， 1 解得x¿−5 2． 【变式4-3】（2017 秋•金牛区校级月考）解方程：若（x 1 ﹣）2 1 ﹣＝8，则x＝ ﹣ 2 或 4 ；若x3−8 27 =¿0，则x＝ 2 3 ． 【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x 的值； （2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x 的值． 【解答】解：（1）（x 1 ﹣）2 1 ﹣＝8， （x 1 ﹣）2＝9， x 1 ﹣＝±3， x＝﹣2 或4； （2）x3−8 27 =¿0， x3¿ 8 27 ， x¿ 2 3． 故答为：﹣2 或4；2 3． 【知识点6 算术平方根的概念】 正数a有两个平方根± ❑ √a，我们把正数a的正的平方根❑ √a，叫做a的算术平方根． 【知识点7 算术平方根的性质】 ①正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是0； ②负数没有算术平方根当a≥0时，❑ √a 2=a； ③算术平方根具有双重非负性：a≥0；❑ √a≥0 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 【例5】（2022 春•饶平县校级期末）❑ √( x 2+4) 2的算术平方根是（ ） ．（x2+4）4 B．（x2+4）2 ．x2+4 D．❑ √x 2+4 【分析】根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝，则x 就是 的平方根．我们把正的平方根叫的算术平方根，由此即可求出❑ √( x 2+4) 2的算术平方根． 【解答】解：∵❑ √( x 2+4) 2=¿x2+4， 1 ∴❑ √( x 2+4) 2的算术平方根是❑ √x 2+4． 故选：D． 【变式5-1】（2022 春•巴彦县期末）若x 5 ﹣有算术平方根，则x 满足的条件是 x ≥5 ． 【分析】根据非负数有平方根列式求解即可． 【解答】解：根据题意得，x 5≥0 ﹣ ， 解得x≥5， 故答为：x≥5． 【变式5-2】（2022 春•宁县期末）若❑ √7−x为整数，x 为正整数，则x 的值为 3 或 6 或 7 ． 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【解答】解：由题意得，7﹣x≥0． ∴x≤7． ∵x 为正整数， ∴x 可能为1、2、3、4、5、6、7． ∵❑ √7−x为整数， ∴x＝3 或6 或7． 故答为：3 或6 或7． 【变式5-3】（2022 春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相 等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如： ﹣9 ，﹣4 ，﹣1 这三个数， ❑ √(−9)×(−4)=6， ❑ √(−9)×(−1)=3， ❑ √(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2 都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9 这三个数称为“完 美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求m 的值． 【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是 整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断； （2）分两种情况讨论：①当❑ √−3m=¿12 时，②当❑ √−12m=¿12 时，分别计算即可． 【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2 这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵❑ √(−18)×(−8)=¿12，❑ √(−18)×(−2)=¿6，❑ √(−8)×(−2)=¿4， 18 ∴﹣ ，﹣8，﹣2 这三个数是“完美组合数”； （2）∵❑ √(−3)×(−12)=¿6， ∴分两种情况讨论： 1 ①当❑ √−3m=¿12 时，﹣3m＝144， ∴m＝﹣48； ②当❑ √−12m=¿12 时，﹣12m＝144， ∴m＝﹣12（不符合题意，舍）； 综上，m 的值是﹣48． 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 【例6】（2022 春•遵义期末）如下表，被开方数和它的算术平方根❑ √a的小数点位置移动 符合一定的规律，根据规律可得m，的值分别为 00625 0625 625 625 625 6250 62500 625000 ❑ √a 025 0791 m 25 791 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（ ） ．m＝0025，≈791 B．m＝25，≈791 ．m≈791，＝25 D．m＝25，≈0791 【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题． 【解答】解：由题意得，❑ √0.0625=0.25，❑ √0.625≈0.791，❑ √6.25=m，❑ √62.5=n． ∵❑ √6.25=❑ √0.0625×100=❑ √0.0625×10=¿025×10＝25， ❑ √62.5=❑ √0.625×100=❑ √0.625×10≈0791×10≈791， ∴m＝25，≈791． 故选：B． 【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表： 0000001 0001 1 1000 1000000 3 √a 001 01 1 10 100 （2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． 被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位； （3）根据你发现的规律填空： ①已知3 √3=¿1442，则3 √3000=¿ 1442 ； ②已知3 √0.000456=¿007696，则3 √456=¿ 7696 ． 【分析】（1）开立方运算，然后填表即可； （2）根据表格信息，可得答； （3）根据（2）的规律求解即可． 【解答】解：（1）如表格所示； （2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1 位； 1 （3）①已知3 √3=¿1442，则3 √3000=¿1442； ②已知3 √0.000456=¿007696，则 3 √456=¿7696； 【变式6-2】（2022 春•岳麓区校级期中）已知❑ √25.36≈503587，❑ √253.6≈1592482，则 ❑ √253600≈ 503587 （结果保留3 位小数）． 【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平 方根的小数点就相应地向左或向右移动1 位，进行解答即可． 【解答】解：❑ √25.36≈5.03587， ❑ √253600 ¿ ❑ √25.36×10 4， ¿ ❑ √25.36× ❑ √10 4， ＝503587×100， ＝503587． 故答为：503587． 【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题： … 0001 ﹣