模型50 12345模型（原卷版）

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次 函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开 直角三角形。而在直角二角形中，345 的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2 以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特殊更加重要。因为345 不仅仅是自己特 殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：3： )，综合性非常大， 深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，345 的独特魅力` 【引入】 1．如图，在 3×3 的格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝ 2．如图 ，在△B 中，∠B＝45°，D 是 B 边上的高，BD＝3，D＝2， D 的长为 第2 题 第3 题 3．（0,6）B（3,0）在X 轴上有一点P，若∠PB=45°，则P 点坐标为 模型介绍 【“1 2 3”+“4 5”的来源】 此外，还可以得到 【例1】．如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝（ ）°（点，B，P 是格交点）． ．30 B．45 ．60 D．75 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的边长为6，点E、F 分别在B，D 上，若E＝3 ，且 ∠EF＝45°，则F 的长为（ ） ．2 B．3 ． D． 【变式1-2】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 为B 上一点，B＝5，BD＝1，tB＝ ． （1）求D 的长； （2）求sα 的值． 例题精讲 【例2】．如图，在边长为6 的正方形BD 内作∠EF＝45°，E 交B 于点E，F 交D 于点F， 连接EF，将△DF 绕点顺时针旋转90°得到△BG．若DF＝3，则BE 的长为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝8，点E，F 分别在B，D 上．若BE＝2， ∠EF＝45°，则DF 的长是 ． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x 轴，y 轴 于，B 两点，已知点（3，0）．点P 为线段B 的中点，连接P，P，若∠P＝45°，则m 的 值是 ． 1．如图，在矩形BD 中B＝8，D＝6，将△BE 沿BE 折叠，使点恰好落在对角线BD 上F 处， 则DE 的长是（ ） ．3 B． ．5 D． 2．如图，正方形BD 中，B＝6，G 是B 的中点．将△BG 沿G 对折至△FG，延长GF 交D 于 点E，则DE 的长是（ ） ．2 B．25 ．35 D．4 3．如图，在矩形纸片BD 中，点E、F 分别在矩形的边B、D 上，将矩形纸片沿E、F 折叠， 点B 落在处，点D 落在G 处，点、、G 恰好在同一直线上，若B＝6，D＝4，BE＝2， 则DF 的长是（ ） ．2 B． ． D．3 4．如图，在边长为3 的正方形BD 中，点E 是边B 上的点，且BE＝2E，过点E 作DE 的垂 线交正方形外角∠BG 的平分线于点F，交边B 于点M，连接DF 交边B 于点，则M 的长 为（ ） ． B． ． D．1 5．如图，在边长相同的小正方形组成的格中，点、B、都在这些小正方形的顶点上，那么 s∠B 的值为 ． 6．如图，等腰直角三角形B 中，∠＝90°，D 为B 的中点．将△B 折叠，使点与点D 重合． 若EF 为折痕，则s∠BED 的值为 ， 的值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系xy 中，点和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝ 的图象上， 如果∠E＝45°，那么直线的表达式是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x 1 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、B，将直 线B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式是 ． 9．如图，在正方形BD 中，P 是B 的中点，把△PB 沿着P 翻折得到△PE，过作F⊥DE 于 F，若F＝2，则DF＝ ． 10．如图，已知点（2，3）和点B（0，2），点在反比例函数y＝ 的图象上，作射线B， 再将射线B 绕点按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 ． 11．如图，已知正方形BD 的边长为 ，对角线、BD 交于点，点E 在B 上，且E＝ 2BE，过B 点作BF⊥E 于点F，连接F，则线段F 的长度为 ． 12．如图，在正方形BD 中，是D 的中点，M 是D 上异于D 的点，且∠MB＝∠MB，求 t∠BM． 13．如图，将矩形BD 沿对角线BD 折叠，使点落在点E 处，BE 与D 交于点F． （1）求证：△BF≌△EDF； （2）若B＝6，B＝8，求F 的长， 14．如图，二次函数y＝﹣ x+2 的图象与x 轴交于点、B，与y 轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）连接B，判断∠B 和∠B 的数量关系，并说明理由； （3）设点D 为直线上方抛物线上一点（与、不重合），连BD、D，且BD 交于点E， △BE 的面积记作S1，△DE 的面积记作S2，求 的最小值． 15．下面图片是八年级科书中的一道题． 如图，四边形BD 是正方形，点E 是边B 的中点，∠EF＝90°，且EF 交正方形外角的平 分线F 于点F．求证E＝EF．（提示：取B 的中点G，连接EG．） （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； （2）如图1，若点E 是B 边上任意一点（不与B、重合），其他条件不变．求证：E＝ EF； （3）在（2）的条件下，连接，过点E 作EP⊥，垂足为P． 设 ＝k，当k 为何值时，四边形EFP 是平行四边形，并给予证明． 16．已知抛物线y＝x2 2 ﹣x+与x 轴交于．B 两点，与y 轴交于点，抛物线的顶点为D 点，点 的坐标为（﹣1，0）． （1）求D 点的坐标； （2）如图1，连接，BD 并延长交于点E，求∠E 的度数； （3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段于点 M，当∠PM＝∠E 时，求点Q 的坐标． 17．已知⊙是△B 的外接圆，B 为⊙的直径，点为的中点，连接并延长交⊙于点E，连接 BE，BE 交于点D． （1）如图1，求证：∠DE+ ∠B＝135°； （2）如图2，过点D 作DG⊥BE，DG 交B 于点F，交⊙于点G，连接G，D，若DG＝ BD，求证：G∥； （3）如图3，在（2）的条件下，连接G，若D＝ ，求G 的长． 18．已知抛物线y＝x2 2 ﹣x+过点（﹣1，0）和（0，3），与x 轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标； （2）如图1，E 为线段B 上方的抛物线上一点，EF⊥B，垂足为F，EM⊥x 轴，垂足为 M，交B 于点G．当BG＝F 时，求△EFG 的面积； （3）如图2，与BD 的延长线交于点，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠PB＝ ∠B？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，正方形BD 的边长是4，点E 是D 边上一个动点，连接BE，将△BE 沿直线BE 翻折得到△FBE． （1）如图1，若点F 落在对角线BD 上，则线段DE 与E 的数量关系是 ； （2）若点F 落在线段D 的垂直平分线上，在图2 中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法， 保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝ °； （3）如图3，连接F，DF，若∠FD＝90°，求E 的长． 20．如图（1），抛物线y＝x2+（﹣5）x+3（为常数，≠0）与x 轴正半轴分别交于，B（在 B 的右边）．与y 轴的正半轴交于点．连接B，t∠B＝ ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P 是第一象限抛物线上的点，连接PQ，Q，， 若∠QP＝∠B，求点P 的坐标； （3）如图（3），D 是线段上的点，连接BD，满足∠DB＝3∠B，求点D 的坐标．