专题27.2 平行线分线段成比例【八大题型】（解析版）

专题272 平行线分线段成比例【八大题型】 【人版】 【题型1 “#”字型】................................................................................................................................................... 1 【题型2 “X”字型】...................................................................................................................................................4 【题型3 “”字型】..................................................................................................................................................... 6 【题型4 “8”字型】................................................................................................................................................... 9 【题型5 判断比例式】........................................................................................................................................... 11 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】................................................................................15 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】............................................................................................19 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】...............................................................................................23 【知识点1 平行线分线段成比例定理】 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定 理．如图：如果 ，则 ， ， ． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如B）称为上，位置靠下的称为下，两条 线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为  上 上 下 下，  上 上 全 全，  下 下 全 全． 【题型1 “#”字型】 【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线和DF 被l1，l2，l3所截，如果B＝ 2，B＝3，EF＝2，那么DE 的长是（ ） ．2 B．4 3 ．1 D．3 4 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 1 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴AB BC = DE EF ， ∵B＝2，B＝3，EF＝2， ∴2 3= DE 2 ， ∴DE¿ 4 3 ， 故选：B． 【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，∥b∥，两条直线与这三条平行线分别交于点，B，和 D，E，F．已知B＝3，B＝2，DE＝6，则DF 等于（ ） ．4 B．9 ．10 D．15 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：∵∥b∥， ∴AB BC = DE EF ，即3 2= 6 EF ， ∴EF＝4， ∴DF＝EF+DE＝4+6＝10， 故选：． 【变式1-2】（2022 秋•清苑区期中）如图，直线∥b∥，点，B 在直线上，点，D 在直线上， 线段，BD 分别交直线b 于点E，F，则下列线段的比与AE AC 一定相等的是（ ） ．CE AC B．BF BD ．BF FD D．AB CD 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【解答】解：∵∥b∥， 1 ∴AE AC = BF BD ， 故选：B． 【变式1-3】（2022 秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点、B、， 交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，＝24 （1）求B 的长； （2）当D＝4，F＝20 时，求BE 的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到AB AC = DE DF ，然后利用比例的性质求出 B，再计算﹣B 即可； （2）作∥DF 交F 于，交EB 于M，如图，易得四边形DEB 和四边形DF 为平行四边形， 则BE＝F＝D＝4，所以＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥得到BM 16 = 9 24 ， 然后求出BM 后计算EM+BM 即可． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴AB AC = DE DF ， 即AB 24 =3 8，解得B＝9， ∴B＝﹣B＝24 9 ﹣＝15； （2）作∥DF 交F 于，交EB 于M，如图， 易得四边形DEB 和四边形DF 为平行四边形， ∴BE＝F＝D＝4， ∴＝F﹣F＝20 4 ﹣＝16， ∵BM∥， ∴BM CN = AB AC ，即BM 16 = 9 24 ，BM＝6， ∴BE＝EM+BM＝4+6＝10． 1 【题型2 “X”字型】 【例2】（2022 春•莱西市期末）如图：B∥D∥EF，D：DF＝3：1，BE＝12，那么E 的长为 （ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据D：DF＝3：1，BE＝12， 可计算出E 的长． 【解答】解：∵B∥D∥EF， ∴BC CE = AD DF =¿3， ∴B＝3E， ∴E¿ 1 4 BE¿ 1 4 ×12＝3， 故选：． 【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，B∥D∥EF，F 与BE 相交于点G，且DG＝2，DF＝ 10，BC BE =3 8，则G 的长为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定 理，即可得出G 的长． 1 【解答】解：∵B∥D∥EF， ∴AD AF = BC BE ， 又∵DG＝2，DF＝10，BC BE =3 8， ∴ AG+2 AG+2+10=3 8， ∴G＝4． 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•船山区校级期末）如图：B∥D∥EF，D：F＝3：5，BE＝12，那么E 的长为（ ） ．2 B．4 ．24 5 D．36 5 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵B∥D∥EF， ∴BC BE = AD AF ， ∵D：F＝3：5，BE＝12， ∴BC 12 =3 5， 解得：B¿ 36 5 ， ∴E＝BE﹣B＝12−36 5 =24 5 ， 故选：． 【变式2-3】（2022 秋•合肥校级期末）如图，B∥D∥EF，BE 与F 相交于点，且＝2D¿ 1 2 DF，则BC CE 的值为（ ） 1 ．1 B．3 4 ．2 3 D．5 6 【分析】设D＝x，则＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵＝2D¿ 1 2DF， ∴设D＝x，则＝2x，DF＝4x， ∵B∥D∥EF， ∴BC CE = AD DF = 3 x 4 x = 3 4 ， 故选：B． 【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图：如果EF//B，则 ， ， ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 或 或 ，则有EF//B． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中 一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交于 ' F 点，再证明F’与F 重合即可． 【题型3 “”字型】 【例3】（2022 秋•零陵区期末）如图，已知D 为△B 的角平分线，DE∥B 交于E，如果 AE EC =3 5，那么BD：B 等于（ ） 1 ．3：5 B．5：3 ．8：5 D．3：8 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：∵DE∥B， ∴BD DC = AE EC =3 5， ∴BD BC =3 8， 故选：D． 【变式3-1】（2022 秋•越城区期末）如图，在△B 中，DE∥B，DE 分别与B、相交于点D、 E，若E＝4，E＝2，则AD AB 的值为（ ） ．2 3 B．1 2 ．1 3 D．1 4 【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值． 【解答】解：∵DE∥B， ∴AD AB = AE AC ， ∴AD AB = 4 6 =2 3， 故选：． 【变式3-2】（2022 秋•新民市期末）如图，点，B 在格点上，若B¿ 2 3，则的长为（ ） ．1 B．4 3 ．2 D．3 1 【分析】根据平行线分线段成比例可得B：＝1：2，然后代入数据计算即可． 【解答】解：观察图形可知，B：＝1：2， ∵B¿ 2 3， ∴＝3B＝2× 2 3= 4 3 ． 故选：B． 【变式3-3】（2022 秋•覃塘区期末）如图，B 与D 相交于点E，点F 在线段D 上，且 BD∥EF∥．若DE＝5，DF＝3，E＝D，则EF BD 的值为 3 5 ． 【分析】设E＝D＝x，则DE CE = DF AF ，求出E，由EF∥DB 可求出EF BD 的值． 【解答】解：设E＝D＝x， ∵EF∥， ∴DE CE = DF AF ， ∴5 x = 3 x−3， 解得x＝75， ∴F＝45， ∵EF∥DB， ∴EF BD = AF AD = 4.5 7.5 =3 5． 故答为：3 5． 【题型4 “8”字型】 【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形BD 中，点F 是D 上的点，F＝ 2FD，直线BF 交于点E，交D 的延长线于点G，则BE EG 的值为（ ） 1 ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．3 4 【分析】由F＝2DF，可以假设DF＝k，则F＝2k，D＝3k，证明B＝F＝2k，DF＝DG＝ k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：由F＝2DF，可以假设DF＝k，则F＝2k，D＝3k， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B，B∥D，D＝B＝3k， ∴AE EC = AF BC =2 3， ∴BE EG = AE EC =2 3 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•金牛区期末）如图，△B 中，D、E 分别为B、延长线上的点， DE∥B，BD＝3D，若E＝6，则的长为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE AC = AD AB ，把已知数据代入计算，得到答． 【解答】解：∵DE∥B， ∴AE AC = AD AB ，即6−AC AC =1 2， 解得：＝4， 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•南皮县校级月考）如图，B．D 相交于点E，且∥EF∥DB，点，F，B 在同一条直线上．已知＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论p q = r p，淇淇得出结论 r p + r q =1，则（ ） 1 ．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 ．两人均正确 D．两人均不正确 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EF AC = BF BC ，EF BD =CF BC ，两式相加即可得 出结论． 【解答】解：∵∥EF， ∴EF AC = BF BC ， ∵EF∥DB， ∴EF BD =CF BC ， ∴EF AC + EF BD = BF BC + CF BC = BF+CF BC = BC BC =¿1， 即r p + r q =¿1， ∴r p + r q =¿1． 故选：B． 【变式4-3】（2022 秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，F：BF＝2：5，B：D＝4：1，则 E：E 的值为（ ） ．5：2 B．1：4 ．2：1 D．3：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AG BD = AF BF =2 5，AE EC = AG CD ，求出G¿ 2 5 BD，D¿ 1 5BD，再求出AG CD 即可． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴AG BD = AF BF ， 1 ∵F：BF＝2：5， ∴AG BD =2 5， 即G¿ 2 5BD， ∵B：D＝4：1，B+D＝BD， ∴D¿ 1 5BD， ∴AG CD = 2 5 BD 1 5 BD =2 1， ∵l1∥l2， ∴AE EC = AG CD =2 1， 故选：． 【题型5 判断比例式】 【例5】（2022 春•潍坊期末）如图，B∥D∥EF，F 交BE 于点G，若＝G，G＝FG，则下列 结论错误的是（ ） ．DG BG =1 2 B．CD EF =1 2 ．CG CF =1 3 D．DG BE =1 3 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 【解答】解：∵B∥D， ∴DG BG = CG AG ， ∵＝G， ∴DG BG = CG AG =1 2， 故正确，不符合题意； ∵D∥EF， ∴CD EF = DG EG ， ∵DE＝3DG， 1 ∴EG＝2DG， ∴CD EF = DG EG =1 2， 故B 正确，不符合题意． ∵D∥EF， ∴CG CF = DG DE ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴CG CF = DG DE =1 3， 故正确，不符合题意； ∵B∥D∥EF， ∴BG EG = AG FG ， ∵G＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵DG BG =CG AG =1 2， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴DG BE = 1 4 ， 故D 错误，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（2022 春•东平县期末）已知，在△B 中，点D 为B 上一点，过点D 作DE∥B， D∥分别交、B 于点E、，点F 是B 延长线上一点，连接FD 交于点G，则下列结论中错 误的是（ ） 1 ．AD DB = AE DH B．CF DE = DH CG ．FD FG = EC CG D．CH BC = AE AC 【分析】首先证明四边形DE 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断 即可． 【解答】解：∵DE∥B，D∥， ∴四边形DE 是平行四边形， ∴D＝E，DE＝， ∵DE∥B， ∴AD DB = AE EC = AE DH ，故选项正确，不符合题意， ∵D∥G， ∴DF FG = DH GC = EC CG ，故正确，不符合题意， ∵DE∥B， ∴DE BC = AE AC ， ∴CH BC = AE AC ，故D 正确，不符合题意， 故选：B． 【变式5-2】（2022 秋•青浦区期末）如图，点D、E 分别在△B 的边B、B 上，下列条件中 一定能判定DE∥的是（ ） ．AD DB = BE CE B．BD AD = BE EC ．AD AB =CE BE D．BD BA = DE AC 【分析】根据平行线分线段成比例判断即可． 【解答】解：．因为AD DB = EC BE ，所以DE∥，故不符合题意； B．因为BD AD = BE CE ，所以DE∥，故B 符合题意； ．因为AD AB = CE BC ，所以DE∥，故不符合题意； D．因为BD AB = BE BC ，所以DE∥，故D 不符合题意； 1 故选：B． 【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，B∥D∥EF，F 交BE 于点G，若＝G，G＝FG，则下 列结论错误的是（ ） ．DG BG =1 2 B．DG BE =1 3 ．CG CF =1 3 D．CD EF =1 2 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 【解答】解：B∥D， ∴DG BG = CG AG ， ∵＝G， ∴DG BG = CG AG =1 2， 故正确，不符合题意； ∵B∥D∥EF， ∴BG EG = AG FG ， ∵G＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵DG BG =CG AG =1 2， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴DG BE = 1 4 ， 故B 错误，符合题意； ∵D∥EF， ∴CG CF = DG DE ， 1 ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴CG CF = DG DE =1 3， 故正确，不符合题意； ∵D∥EF， ∴CD EF = DG EG ， ∵DE＝3DG， ∴EG＝2DG， ∴CD EF = DG EG =1 2， 故D 正确，不符合题意． 故选：B． 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE 是△B 的中线，点F 在BE 上，延长F 交B 于点D， 若BF＝3EF，则BD DC =¿（ ） ．4 3 B．3 2 ．6 5 D．2 3 【分析】过点E 作E∥D 交B 于，根据平行线分线段成比例定理得到＝D，BD DH = BF EF =¿ 3，计算即可． 【解答】解：过点E 作E∥D 交B 于， 则CH HD =CE EA ， ∵BE 是△B 的中线， ∴E＝E， ∴＝D， ∵E∥D， 1 ∴BD DH = BF EF =¿3， ∴BD DC =3 2， 故选：B． 【变式6-1】（2022 春•任城区校级期末）如图，D 是△B