重难点突破15 与圆有关的压轴题（原卷版）

重难点突破15 与圆有关的压轴题 目 录 题型01 利用圆的相关知识解决多结论问题 题型02 圆与三角形综合问题 题型03 圆与四边形综合问题 题型04 圆与函数综合问题 题型05 正多边形与圆综合 题型06 求不规则图形面积 题型07 三角形内切圆与外切圆综合 题型08 阿氏圆模型 题型09 隐圆模型 题型01 利用圆的相关知识解决多结论问题 一、单选题 1．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，´ CEB= ´ EBD， sin∠BAC=3 5 ，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线 与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ） ①∠DBF=3∠DAB； ②CG是⊙O的切线； ③B，E 两点间的距离是❑ √10； ④DF=11❑ √10 9 ． ．1 B．2 ．3 D．4 2．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在正方形BD 中，点E 是边B 的中点，连接E、DE，分别交 BD、于点P、Q，过点P 作PF⊥E 交B 的延长线于F，下列结论： ①∠ED+∠E+∠EDB＝90°， ②P＝FP， ③E＝ ❑ √10 2 ， ④若四边形PEQ 的面积为4，则该正方形BD 的面积为36， ⑤E•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（ ） ．5 个 B．4 个 ．3 个 D．2 个 3．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点是对角线BD的中点，点P 在线段OD 上，连接AP并延长交CD于点E，过点P 作PF ⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有 以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=❑ √2BF；④S△AEF为定值；⑤ S四边形PEFG=S△APG．以上结论正确的有 （填入正确的序号即可）． 4．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，正方形BD 的边长为4，点E 是边B 上一点，且BE=3，以点 为圆心，3 为半径的圆分别交B、D 于点F、G，DF 与E 交于点．并与⊙A交于点K，连结G、．给出下 列四个结论．（1）是FK 的中点；（2）△HGD≌△HEC；（3）S△AHG：S△DHC=9∶16；（4） DK=7 5 ，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 题型02 圆与三角形综合问题 5．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点、B、P 均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角 ∠APB的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P 在´ AC上（点P 不与点、 重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结BE， 通过证明△PBC ≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE， ∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴∠BAP+∠BCP=180°． ∵∠BAP+∠BAE=180°， ∴∠BCP=∠BAE． ∵△ABC是等边三角形． ∴BA=BC， ∴△PBC ≌△EBA(SAS) 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P 在⊙O上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=2❑ √2 PA，则PB PC 的值为__________． 6．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系， 用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q 是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D． (1)如图1，当AB=6，BP ⏜的长为π时，求BC的长． (2)如图2，当AQ AB = 3 4 ，´ BP= ´ PQ时，求BC CD 的值． (3)如图3，当sin∠BAQ= ❑ √6 4 ，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出PQ BP 的值． 7．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使 得∠BAC=∠BDA，点E 在DA的延长线上，点A在线段AC上，CE交BM于，CE交AB于G． (1)求证：ED是⊙O的切线； (2)若AC=❑ √6,BD=5, AC>CD，求BC的长； (3)若DE⋅AM=AC ⋅AD，求证：BM ⊥CE． 8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt △ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D， 点E是BC的中点，连接OE 、DE． (1)求证：DE是⊙O的切线． (2)若sinC= 4 5 , DE=5，求AD的长． (3)求证：2 D E 2=CD⋅OE． 9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点在⊙O上，AB与⊙O相切于点，与OC 延长线交于点B，过点B 作BD⊥OB，交AC的延长线于点D． (1)求证：AB=BD； (2)点F 为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=3 7 ，求 ⊙O的半径及AD的长． 10．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC 交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=2，tan∠BAC=1 2 ，求AD的长； (3)在（2）的条件下，点P 是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值． 11．（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆O , AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF , EF/¿ AB , CO⊥AB , EF的中点为D ,OA=4. (1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6, DF=0.8,求CD的长度． (2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线， ∠OHM=∠OHN=45° ,tan∠COH= 3 4 ,求ON的长度． (3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50° , HN为反射光线交圆O于点N ,在M 从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长． 题型03 圆与四边形综合问题 12．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，正方形BD 的边长为4，点P 在边B 上，⊙经过，B，P 三点． （1）若BP＝3，判断边D 所在直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）如图2，E 是D 的中点，⊙交射线E 于点Q，当P 平分∠EB 时，求t∠EP 的值． 13．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的弦，D，为 ´ ACB的三等分点，AC // BE． （1）求证：∠A=∠E； （2）若BC=3，BE=5，求CE的长． 14．（2021·浙江宁波·统考中考真题）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，´ AD上存在点E， 满足´ AE= ´ CD，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G． （1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表列∠AGB． （2）如图2，连接CE ,CE=BG．求证；EF=DG． （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，AD=2． ①若tan∠ADB= ❑ √3 2 ，求△FGD的周长． ②求CG的最小值． 15．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长 线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD>1，CD=1． （1）求证：△DBC ∼△AMD； （2）设AD=x，求△COM的面积（用x的式子表示）； （3）若∠AOE=∠COD，求OE的长． 16．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 边上的一点，以D 为直径的⊙ 交B 于点E，交于点F，过点作G⊥B 交B 于点G，交E 于点，过点E 的弦EP 交B 于点Q（EP 不是直径）， 点Q 为弦EP 的中点，连结BP，BP 恰好为⊙的切线． （1）求证：B 是⊙的切线． （2）求证：´ EF＝´ ED． （3）若s∠B═3 5 ，＝15，求四边形QE 的面积． 17．（2018·浙江台州·统考中考真题）如图，△B 是⊙的内接三角形，点D 在´ BC上，点E 在弦B 上（E 不 与重合），且四边形BDE 为菱形． （1）求证：=E； （2）求证：B2﹣2=B•； （3）已知⊙的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求B 的长； ②当AB AC 为何值时，B•的值最大？ 题型04 圆与函数综合问题 18．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝x2+9 4 x+经过点（﹣1，0）和点 （0，3）与x 轴的 另一交点为点B，点M 是直线B 上一动点，过点M 作MP∥y 轴，交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△Q 是等边三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由； （3）以M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径． 19．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点P (m,n)在函数y=−2 x (x<0)的图象上． (1)若m=−2，求的值； (2)抛物线y=(x−m) (x−n)与x 轴交于两点M，（M 在的左边），与y 轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m 为何值时，点E 到达最高处； ②设△GMN的外接圆圆心为，⊙C与y 轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为 平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点，B，在⊙O上运动，满足A B 2=BC 2+ A C 2，延长AC至点 D，使得∠DBC=∠CAB，点E 是弦AC上一动点（不与点，重合），过点E 作弦AB的垂线，交AB于 点F，交BC的延长线于点，交⊙O于点M（点M 在劣弧´ AC上）． (1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； (2)记△BDC ，△ABC ，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1⋅S=(S2) 2，求 (tan D ) 2的值； (3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN ⋅❑ √ 1 BC ⋅BN + 1 AE⋅AC = y，试求y 关于x 的函数解析式，并 写出自变量x 的取值范围． 21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数y=x 2−6 x+8的图像与x轴分别交于点A ,B（点在 点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA , PB，过点P作PM ⊥l，垂 足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T． (1)求点A ,B的坐标； (2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3,2)，求PM长 的取值范围． 22．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于 点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=3 2 ，AC=1．如图2，连接AF，P为线 段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH ⊥AB于点H．设PH=x， MN= y． (1)求CE的长和y关于x的函数表达式． (2)当PH <PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值． (3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ=15 4 x−3时，求MN的长． 23．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+bx−8与x轴交 于A(−4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐 标； (3)设直线l1: y=kx+k−35 4 交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2: y=−37 4 上 总存在一点E，使得∠MEN为直角． 24．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，直线l: y=1 2 x+4分别与x 轴，y 轴 相交于、B 两点，点P (x , y )为直线l在第二象限的点 （1）求、B 两点的坐标； （2）设△PAO的面积为S，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围； （3）作△PAO的外接圆⊙C，延长P 交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径． 25．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，直线y= 3 4 x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线 MN // AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y=−30 x 在第二象限内的图象交于C、D两点． （1）求点A，B的坐标和⊙P的半径； （2）求直线MN所对应的函数表达式； （3）求△BCN的面积． 题型05 正多边形与圆综合 26．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答 下列问题，作法：如图2，①作直径AF；②以F 为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，；③连接 AM , MN , NA． (1)求∠ABC的度数． (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由． (3)从点开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 27．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，⊙O为等边ΔABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB ⏜上运 动（不与点A ,B重合），连接DA，DB，DC． （1）求证：DC是∠ADB的平分线； （2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理 由； （3）若点M , N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置， ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值． 28．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段 进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ❑ √5−1 2 ≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为， OA与BE交于点，AC、AD与BE分别交于点M、．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究． （其它可同理得出） （1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状； （2）求证：BM BN = BN BE ，且其比值k= ❑ √5−1 2 ； （3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知MN BM 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值． 29．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾 股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点把线段AB分成两部分，如果CB AC = ❑ √5−1 2 ≈0.618，那么称点为线段AB的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长； （2）知识探究：如图②，作⊙的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径MN、AI； ②作ON的中点P，以P 为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q； ③以点为圆心，AQ为半径，在⊙上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE； 则五边形ABCDE为正五边形． 在该正五边形作法中，点Q 是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割 有着密切的联系． 延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E 是线段PD的黄金 分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值． 30．（2020·内蒙古通辽·中考真题）中心为的正六边形ABCDEF的半径为6cm．点P ,Q同时分别从A , D 两点出发，以1cm/s的速度沿AF , DC向终点F ,C运动，连接PB , PE ,QB ,QE，设运动时间为t (s)． （1）求证：四边形PBQE为平行四边形； （2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比． 31．（2018·四川达州·统考中考真题）阅读下列材料： 已知：如图1，等边△123内接于⊙，点P 是⃗ A1 A2 上的任意一点，连接P1，P2，P3，可证：P1+P2=P3，从而 得到： P A1+P A2 P A1+P A2+P A3 =1 2 是定值． （1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整； 证明：如图1，作∠P1M=60°，1M 交2P 的延长线于点M． ∵△123是等边三角形， ∴∠312=60°， ∴∠31P=∠21M 又31=21，∠13P=∠12P， ∴△13P≌△12M P ∴ 3=M2=P2+PM=P2+P1． ∴ P A1+P A2 P A1+P A2+P A3 =1 2 ，是定值． （2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△123”改为“正方形1234”，其余条件不变，请问： P A1+P A2 P A1+P A2+P A3+P A4 还是定值吗？为什么？ （3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△123”改为“正五边形12345”，其余条件不变，则 P A1+P A2 P A1+P A2+P A3+P A4+P A5 = （只写出结果）． 题型06 求不规则图形面积 32．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在´ AB上取一点E，连接AE， DE．过点作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG． (1)求证：△AFD ≌△CGD； (2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积． 33．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，点E 为B 中点，E⊥DE 于点 E．点是线段E 上的点，以点为圆心，E 为半径的⊙与B 相切于点G，交B 于点F，连接G． （1）求证：△ED∽△BE； （2）求证：⊙与D 相切； （3）若B＝6，B＝3❑ √3，求⊙的半径和阴影部分的面积． 34．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后