重难点突破16 尺规作图在压轴题中的应用（7种题型归类）（原卷版）

重难点突破16 尺规作图在压轴题中的应用 7 种题型归类目 录 题型01 作线段 题型02 作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 画圆 题型06 格点作图 题型07 与尺规作图有关的计算题 题型01 作线段 1．（2022·江苏常州·统考中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm， C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC． (1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一 个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N 和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4 cm的菱形．小明的猜想是 否正确？请说明理由． 2．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】 如图①，点、B、在数轴上，B 为的中点，点表示﹣3，点B 表示1，则点表示的数为 ，长等于 ； 【找一找】 如图②，点M、、P、Q 中的一点是数轴的原点，点、B 分别表示实数 ❑ √2 2 ﹣1、 ❑ √2 2 +1，Q 是B 的中点，则 点 是这个数轴的原点； 【画一画】 如图③，点、B 分别表示实数﹣、+，在这个数轴上作出表示实数的点E（要求：尺规作图，不写作法，保 留作图痕迹）； 【用一用】 学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测个学生．凌老师提 出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3 个通道，那 么用4 分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4 个通道，那么用2 分钟可使校门口的学生全部进校． 在这些条件下，、m、b 会有怎样的数量关系呢？ 爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4 分钟内需要进校的人数m+4b 记作+(m+4b)，用点表示；将2 分 钟内由4 个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8 记作﹣8，用点B 表示． ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12 的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义； ②写出、m 的数量关系： ． 3．（2021·浙江金华·校联考二模）如图，在7×7 的格中，每个小正方形的边长为1，△B 的顶点均在格点上． 仅用无刻度的直尺，试按要求作图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，在B 作一点D，使得BD=1 3 BC； (2)如图2，E 为△B 内一格点，M，为B，B 边上的点，使四边形EMB 为平行四边形； (3)如图3，B 交格线于点F，过点F 作B 的平行线交于P． 4．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c． (1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕 迹） (2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长． 题型02 作角 5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）操作探究题 (1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=( 180 n )°（n是正整数，且n不是3 的倍数）是半圆O的一个圆心角． 操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅 用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°所对的弧三等分吗？ 探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°所对的弧三等分？ 说说你的理由． (2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=( 270 7 )°．为了将这个圆的圆周14 等分，请作出它的一条14 等分弧´ CD （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 6．（2023·广东广州·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的切线． (1)尺规作图：过点B 作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕迹，不写作法）； (2)证明：AF=BC； (3)若⊙O的半径长为5 2 ，BC=4，求EF和BF的长． 7．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保 持不变，点D在斜边AB上，DE⊥AC，垂足为点E．如图2，把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为 α (0°<α<90° )，点E的对应点为点P． (1)求作点D的对应点Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接PQ，CP，BQ，直线CP，BQ相交于点F，试探究在整个旋转过程中，直线CP，BQ所相交成的 锐角是否保持不变？若不变，请证明：若有变化，说明理由． 题型03 作角平分线 8．（2022·江苏扬州·统考中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知 扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被 这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形 MNP； 【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的 面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1 是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1 卷命题9：“平分一个已知 角．”即：作一个已知角的平分线，如图2 是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB上分别取点和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的 平分线． 请写出OE平分∠AOB的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料： 我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动 角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，重合，则过角尺顶点的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做 法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两 条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口的距离和 休息椅D 到岔路口的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意 图5 中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC． （1）请在图1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写 作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB= 48 5 ，⊙O的半径为5，则sin B=¿________．（如需画草图，请使用图 2） 11．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4 的矩形OABC分割成 4×10的小正方形格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题： （答题卷用） 作法（如图） 结论 ①在CB上取点P1，使C P1=4． ∠P1OA=45° ，点P1表示45° ． ②以O为圆心，8 为半径作弧，与BC交于 点P2． ∠P2OA=30° ，点P2表示30° ． ③分别以O , P2为圆心，大于O P2长度一 半的长为半径作弧，相交于点E , F，连结 EF与BC相交于点P3． … ④以P2为圆心，O P2的长为半径作弧，与 … 射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4 ． (1)分别求点P3, P4表示的度数． (2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）． 12．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为6． (1)如图，AB是⊙O的直径，点C是´ AB的中点． ①尺规作图：作∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）： ②求BD的长度． (2)如图，AB是⊙O的非直径弦，点C在´ AB上运动，∠ACD=∠BCD=60°，点C在运动的过程中，四 边形ADBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 13．（2022·山西晋中·统考一模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作发现： 某数学小组对图1 的矩形纸片BD 进行如下折叠操作∶ 第一步∶如图2，把矩形纸片BD 对折，使D 与 B 重合，得到折痕M，然后把纸片展开； 第二步∶如图3，将图 2 中的矩形纸片沿过点B 的直线折叠，使得点落在M 上的点A '处，折痕与 D 交于点 E，然后展开纸片，连接A A '，B A '，E A ″． 问题解决： (1)请在图 2 中利用尺规作图，作出折痕 BE；（保留作图痕迹） (2)请你判断图3 中△ B'的形状，并说明理由； (3)如图4，折痕BE 与M 交于点F，B'的延长线交直线D 于点P，若MF＝1，B＝7，请你直接写出PD 的长． 题型04 作垂线 14．（2022·重庆·统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底 为，高为的三角形的面积公式为S=1 2 ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点在边FE上，再过点作 BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与 填空：证明：用直尺和圆规过点作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹） 在△ADC和△CFA中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°． ∵∠F=90°， ______ ____ ∴ ① ． ∵EF ∥BC， ______ _____ ∴ ② ． 又∵____ ______ ③ ． ∴△ADC ≌△CFA（AAS）． 同理可得：_____ ______ ④ ． S△ABC=S△ADC+S△ABD=1 2 S矩形ADCF+ 1 2 S矩形AEBD=1 2 S矩形BCFE=1 2 ah． 15．（2022·河南·统考中考真题）如图，反比例函数y= k x (x>0)的图像经过点A (2,4 )和点B，点B在点A 的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔 作图） (3)线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB． 16．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组 成的（如图1），它的端面是圆形，如图2 是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩” 的直角尖端沿圆周移动，直到AB=AC，在圆上标记，B，三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，B，，D 四点， 连接D，B 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，B，，D 四点，连接D，B 相交于点，即为圆 心． (1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心．如图3， 点，B，在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，请作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法） (2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如 果B 和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图4，点，B，在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心．（保留 作图痕迹，不写作法） (3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作 图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点，B，是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆 心．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________． 17．（2021·北京·统考中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时， 在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B , A两点间的距离为10 步（步是古 代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使 C ,B两点间的距离为10 步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A ,B ,C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 CA的中点D（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直 线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在△ABC中，BA=¿______________，D是CA的中点， ∴CA ⊥DB（______________）（填推理的依据）． ∵直线DB表示的方向为东西方向， ∴直线CA表示的方向为南北方向． 18．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB是半径为1 的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足 CD=AB，且CD⊥AB于点（其中点在圆内，且AH >BH ，CH >DH）． (1)在图1 中用尺规作出弦CD与点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不 变，求出AD的长度； (3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M 为AP的中点，连结HM，若PD=1 2 AD．求证：MH ⊥CP． 19．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点 B ,C为圆心，以大于1 2 BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO； ②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q． 【问题提出】 在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方如下： 方一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长； 方二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长． 请你任选其中一种方求线段CQ的长． 20．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解 到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好， 谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以 考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1 中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2 为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好 若一”？ ②图3 表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 题型05 画圆 21．（2019·江苏宿迁·统考中考真题）在RtΔABC中，∠C=90°． （1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC 相切于点F．求证：∠1=∠2； （2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 22．（2020·青海·统考中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°． （1）尺规作图：作Rt △ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接D．（不写作法， 保留作图痕迹） （2）若 =6，B =8，求D 的长． 23．（2023·江苏无锡·统考一模）数学实验室：有一个直角三角形纸板，∠C=90°，AC=40cm， BC=30cm．小明计划以三角形的一条边为直径所在的边，先剪出一个最大的半圆，用这个半圆围成一个 圆锥的侧面，然后在剩下的纸板上再剪出一个完整的圆，用这个圆作为圆锥的底面圆．如图1，小明首先 以斜边为直径所在的边进行尝试，发现无法实现他的计划，他打算换成直角边来继续实验． (1)请你在图2 中，任选一条直角边为直径所在的边，帮小明画出一个最大的半圆（请使用无刻度的直尺和 圆规完成作图）； (2)如果小明按照你选的直角边继续往下操作，他能否顺利得到这个圆锥的底面圆？如果能，请说明理由； 如果不能，那么换另一条直角边能否实现？同样请说明理由．（友情提醒：请利用图3 完成题（2）的解 答） 题型06 格点作图 24．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点．点、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的格中按下列要求 作△ABC，点在格点上． (1)在图①中，△ABC的面积为9 2 ； (2)在图②中，△ABC的面积为5 (3)在图③中，△ABC是面积为5 2 的钝角三角形． 25．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市 民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200 米，为避免交通拥堵，请 在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等． (1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3； (3)建立平面直角坐标系，设M (0,2)，N (2,0)，停车位P (x , y )，请写出y与x之间的关系式，在图中画出停 车带，并判断点P (4 ,−4 )是否在停车带上． 26．（2021·湖北荆州·统考中考真题）如图，在5×5的正方形格图形中小正方形的边长都为1，线段ED与 AD的端点都在格小正方形的顶点（称为格点）上．请在格图形中画图